Ecuación de la recta y los sistemas cartesianos

Resumen

Esta clase presenta el plano cartesiano, que asigna a cada punto un par de números, y con él la distancia entre dos puntos y el punto medio de un segmento. Define la pendiente de una recta, demuestra que no depende de los puntos elegidos y deduce las formas de la ecuación de la recta, incluidas las rectas verticales. Estudia después las rectas paralelas y perpendiculares, y la intersección de dos rectas como solución de un sistema de ecuaciones, con aplicaciones a problemas de magnitudes que varían linealmente.

Objetivos de aprendizaje

Representar puntos en el plano cartesiano y calcular distancias y puntos medios.
Calcular la pendiente de una recta y obtener su ecuación a partir de un punto y la pendiente, o de dos puntos.
Reconocer rectas paralelas y perpendiculares por sus pendientes.
Hallar la intersección de dos rectas resolviendo un sistema de ecuaciones, y modelar con rectas relaciones lineales entre magnitudes.

El plano cartesiano

Los números reales se representan como los puntos de una recta: se elige un punto como origen, una unidad de longitud y un sentido positivo. La idea de Fermat y de Descartes, en la forma que tomó después de ellos, es usar dos de estas rectas, perpendiculares y con el origen común, para representar los puntos del plano: a cada punto $P$ le corresponde el par ordenado $(x, y)$ de sus proyecciones sobre el eje horizontal y el eje vertical, y a cada par ordenado, un único punto. Los números $x$ e $y$ son las coordenadas de $P$ , y los ejes dividen el plano en cuatro cuadrantes.

Con las coordenadas, los problemas geométricos se convierten en problemas algebraicos: las curvas del plano se describen mediante ecuaciones entre $x$ e $y$ . Esta es la idea de la geometría analítica.

Los hechos de la geometría euclídea que se admiten

La geometría analítica no sustituye a la de Euclides, sino que la traduce: las figuras de las que habla son las de la geometría elemental, y algunos de sus teoremas sirven de punto de partida. Su demostración pertenece a la construcción axiomática de la geometría euclídea, que este curso no desarrolla. Por eso los hechos de esa geometría que la unidad usa se reúnen en la lista siguiente y se admiten sin demostración; cada vez que una clase de la unidad recurre a uno de ellos, remite a esta lista.

Rectas y ejes. Por dos puntos distintos pasa una única recta. Los ejes coordenados pueden elegirse libremente: dos rectas perpendiculares cualesquiera, con su punto común como origen, un sentido positivo en cada una y la misma unidad de longitud en ambas, forman un sistema de ejes, y las distancias, los ángulos y las figuras no dependen de esa elección.
El teorema de Pitágoras y su recíproco. Un triángulo es rectángulo en un vértice si y solo si el cuadrado del lado opuesto a ese vértice es la suma de los cuadrados de los otros dos.
Las paralelas. Por un punto exterior a una recta pasa una única paralela a ella; y si dos rectas paralelas son cortadas por una tercera, los ángulos correspondientes que esta forma con ellas son iguales.
El teorema de Tales y la semejanza. Si varias rectas paralelas cortan a dos rectas, los segmentos que determinan sobre una son proporcionales a los que determinan sobre la otra; y dos triángulos cuyos ángulos son respectivamente iguales tienen sus lados proporcionales.
Los ángulos de un triángulo. Los tres ángulos de un triángulo suman dos rectos; en particular, los dos ángulos no rectos de un triángulo rectángulo son agudos, y el suplemento de un ángulo agudo es obtuso.
El triángulo isósceles. En un triángulo con dos lados iguales, los ángulos opuestos a esos lados son iguales.

La primera libertad es la que más se usará: para estudiar una curva conviene colocar los ejes de modo que su ecuación sea lo más sencilla posible, por ejemplo con el vértice de una parábola en el origen, y el primer hecho asegura que con ello no se pierde generalidad.

Distancia y punto medio

La distancia entre dos puntos $P_1 = (x_1, y_1)$ y $P_2 = (x_2, y_2)$ se obtiene con el teorema de Pitágoras, el segundo de los hechos admitidos: el segmento que los une es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos, paralelos a los ejes, miden el valor absoluto de la diferencia de las abscisas y el de la diferencia de las ordenadas (si una de las dos diferencias es nula, el segmento es paralelo a un eje y su longitud es el valor absoluto de la otra, que es lo que da la fórmula).

d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

El punto medio del segmento tiene por coordenadas los promedios de las coordenadas de sus extremos. Lo enunciamos como lema, porque se usará en la mediatriz, en el método de la simetría de las parábolas y en las cónicas.

LemaEl punto medio de un segmento

El punto medio del segmento de extremos $P_1 = (x_1, y_1)$ y $P_2 = (x_2, y_2)$ es el punto $M$ siguiente, y cada una de las dos mitades mide la mitad de $d(P_1, P_2)$ .

M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)

Demostración

$x_M - x_1 = \dato{t}{x_2 - x_M}$
Sea $M = (x_M, y_M)$ el punto medio. Las paralelas al eje vertical trazadas por $P_1$ , $M$ y $P_2$ cortan al eje horizontal en $x_1$ , $x_M$ y $x_2$ . Por el teorema de Tales, cuarto de los hechos admitidos, como $M$ equidista de $P_1$ y de $P_2$ , también son iguales los segmentos que esas paralelas determinan sobre el eje, de modo que $x_M$ está a medio camino entre $x_1$ y $x_2$ (si $x_1 = x_2$ , las tres abscisas coinciden y la igualdad es inmediata).
$x_M - x_1 = \resaltar{x_2 - x_M} \rightarrow x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$
Despejamos la abscisa de $M$ .
$y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$
Con las paralelas al eje horizontal se razona del mismo modo sobre el eje vertical.
$d(P_1, M) = \sqrt{\left(\frac{x_2 - x_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{y_2 - y_1}{2}\right)^2} = \frac{1}{2}d(P_1, P_2) = d(M, P_2)$
Comprobación con la fórmula de la distancia: las diferencias de coordenadas entre $P_1$ y $M$ son la mitad de las que hay entre $P_1$ y $P_2$ , y lo mismo ocurre entre $M$ y $P_2$ .

EjemploLa distancia entre dos puntos

Calcular la distancia entre los puntos $P_1 = (1, 1)$ y $P_2 = (5, 4)$ .

Demostración

$\Delta x = 5 - 1 = \dato{a}{4}, \quad \Delta y = 4 - 1 = \dato{b}{3}$
Los catetos del triángulo rectángulo miden la diferencia de las abscisas y la de las ordenadas.
$d^2 = \resaltar{4}^2 + \resaltar{3}^2 = 25$
Por el teorema de Pitágoras, el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de los catetos.
$d(P_1, P_2) = 5$
La distancia es la raíz cuadrada positiva.