Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Τριγωνομετρικοί αριθμοί και ο μοναδιαίος κύκλος

Περίληψη

Το μάθημα αυτό ορίζει το ημίτονο, το συνημίτονο και την εφαπτομένη μιας γωνίας με δύο τρόπους. Ο πρώτος, ως πηλίκα πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου, ισχύει για τις οξείες γωνίες, και αποδεικνύεται με ομοιότητα ότι δεν εξαρτάται από το τρίγωνο που επιλέγεται. Ο δεύτερος, ως συντεταγμένες του σημείου στο οποίο η τελική πλευρά της γωνίας τέμνει τον μοναδιαίο κύκλο, ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό και συμπίπτει με τον πρώτο στις οξείες γωνίες. Από αυτόν προκύπτουν τα πρόσημα σε κάθε τεταρτημόριο, η βασική τριγωνομετρική ταυτότητα, οι χαρακτηριστικές τιμές των γωνιών π6\frac{\pi}{6}, π4\frac{\pi}{4} και π3\frac{\pi}{3}, που λαμβάνονται από το μισό ισόπλευρο τρίγωνο και από το μισό τετράγωνο, και οι συμμετρίες του ημιτόνου και του συνημιτόνου, που αποδεικνύονται με ανάκλαση του σημείου πάνω στον κύκλο και επιτρέπουν τον υπολογισμό των τριγωνομετρικών αριθμών οποιασδήποτε γωνίας μέσω της γωνίας αναφοράς της.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να ορίζει τους έξι τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο και να αποδεικνύει, με ομοιότητα, ότι δεν εξαρτώνται από το τρίγωνο.
  2. Να ορίζει το ημίτονο, το συνημίτονο και τους υπόλοιπους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας οποιασδήποτε γωνίας μέσω του μοναδιαίου κύκλου, να αναγνωρίζει την εφαπτομένη ως κλίση της τελικής πλευράς και να αποδεικνύει ότι οι δύο ορισμοί συμπίπτουν στις οξείες γωνίες.
  3. Να αποδεικνύει τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα, τις χαρακτηριστικές τιμές και τις συμμετρίες του ημιτόνου και του συνημιτόνου, και να τις χρησιμοποιεί για τον υπολογισμό των τριγωνομετρικών αριθμών οποιασδήποτε γωνίας με τη μέθοδο της γωνίας αναφοράς.
  4. Να βρίσκει όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας από έναν από αυτούς και από το τεταρτημόριο, και να εφαρμόζει τους τριγωνομετρικούς αριθμούς σε προβλήματα υψών, αποστάσεων και εμβαδών.

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία λέγεται υποτείνουσα, και οι άλλες δύο κάθετες πλευρές. Οι εσωτερικές γωνίες ενός τριγώνου έχουν άθροισμα μία ευθεία γωνία, που έχει μέτρο π\pi· το γεγονός αυτό της στοιχειώδους γεωμετρίας το δεχτήκαμε χωρίς απόδειξη στο μάθημα για τις γωνίες και τη μέτρησή τους. Αν αυτό ισχύει, οι δύο μη ορθές γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου έχουν άθροισμα π2\frac{\pi}{2}, και καθεμία είναι οξεία, δηλαδή έχει μέτρο μεταξύ 00 και π2\frac{\pi}{2}. Ως προς μία από αυτές τις οξείες γωνίες, με μέτρο α\alpha, η μία κάθετη πλευρά είναι η απέναντι κάθετη πλευρά, που δεν περνά από την κορυφή της, και η άλλη είναι η προσκείμενη κάθετη πλευρά, που μαζί με την υποτείνουσα σχηματίζει τις πλευρές της γωνίας.

Έστω α\alpha μια οξεία γωνία ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα cc, του οποίου η απέναντι στη α\alpha κάθετη πλευρά έχει μήκος aa και η προσκείμενη κάθετη πλευρά μήκος bb. Το ημίτονο, το συνημίτονο και η εφαπτομένη της α\alpha είναι, αντίστοιχα, το πηλίκο της απέναντι κάθετης πλευράς προς την υποτείνουσα, της προσκείμενης κάθετης πλευράς προς την υποτείνουσα, και της απέναντι προς την προσκείμενη.
sin⁡α=ac,cos⁡α=bc,tan⁡α=ab\sin \alpha = \frac{a}{c}, \qquad \cos \alpha = \frac{b}{c}, \qquad \tan \alpha = \frac{a}{b}

Οι αντίστροφοί τους λέγονται συντέμνουσα, τέμνουσα και συνεφαπτομένη: csc⁡α=ca\csc \alpha = \frac{c}{a}, sec⁡α=cb\sec \alpha = \frac{c}{b} και cot⁡α=ba\cot \alpha = \frac{b}{a}. Και οι έξι λέγονται τριγωνομετρικοί αριθμοί· είναι λόγοι, δηλαδή πηλίκα, πλευρών ενός τριγώνου. Ο ορισμός, ωστόσο, γεννά μια αμφιβολία: υπάρχουν άπειρα ορθογώνια τρίγωνα με μια οξεία γωνία μέτρου α\alpha, μεγάλα και μικρά, και αν καθένα έδινε διαφορετικό πηλίκο, οι λέξεις «το ημίτονο της α\alpha» δεν θα όριζαν κανέναν αριθμό. Το θεώρημα που ακολουθεί διαλύει την αμφιβολία.

ΘεώρημαΟι τριγωνομετρικοί αριθμοί δεν εξαρτώνται από το τρίγωνο

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μια οξεία γωνία του ίδιου μέτρου α\alpha, το πηλίκο δύο οποιωνδήποτε πλευρών του πρώτου ισούται με το πηλίκο των αντίστοιχων πλευρών του δεύτερου. Κατά συνέπεια, το ημίτονο, το συνημίτονο και η εφαπτομένη της α\alpha, καθώς και οι αντίστροφοί τους, εξαρτώνται μόνο από τη α\alpha. Επιπλέον, 0<sin⁡α<10 < \sin \alpha < 1 και 0<cos⁡α<10 < \cos \alpha < 1.

Έστω δύο ορθογώνια τρίγωνα με μια οξεία γωνία α\alpha, το πρώτο με κάθετες πλευρές a1a_1 και b1b_1 και υποτείνουσα c1c_1, και το δεύτερο με κάθετες πλευρές a2a_2 και b2b_2 και υποτείνουσα c2c_2, όπου a1a_1 και a2a_2 είναι οι κάθετες πλευρές που βρίσκονται απέναντι από τη α\alpha. Δεχόμαστε τα κριτήρια ομοιότητας τριγώνων της στοιχειώδους γεωμετρίας, τα ίδια που στο μάθημα του πρώτου κύκλου μαθημάτων για την εξίσωση της ευθείας εξασφάλισαν ότι η κλίση δεν εξαρτάται από τα σημεία που επιλέγονται.

Απόδειξη

  1. a2=ka1,b2=kb1,c2=kc1\dato{k}{a_2 = k a_1, \quad b_2 = k b_1, \quad c_2 = k c_1}

    Τα δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες, την ορθή και τη γωνία μέτρου α\alpha· από το κριτήριο ομοιότητας με δύο γωνίες, είναι όμοια, και οι αντίστοιχες πλευρές τους είναι ανάλογες: υπάρχει αριθμός k>0k > 0 τέτοιος ώστε κάθε πλευρά του δεύτερου να είναι kk φορές η αντίστοιχη πλευρά του πρώτου.

  2. a2c2=ka1kc1=a1c1\frac{a_2}{c_2} = \frac{\resaltar{k a_1}}{\resaltar{k c_1}} = \resaltar{\frac{a_1}{c_1}}

    Το πηλίκο της απέναντι κάθετης πλευράς προς την υποτείνουσα είναι το ίδιο και στα δύο τρίγωνα, γιατί ο παράγοντας kk απλοποιείται.

  3. b2c2=kb1kc1=b1c1\frac{b_2}{c_2} = \frac{\resaltar{k b_1}}{\resaltar{k c_1}} = \resaltar{\frac{b_1}{c_1}}

    Το ίδιο συμβαίνει με το πηλίκο της προσκείμενης κάθετης πλευράς προς την υποτείνουσα.

  4. a2b2=ka1kb1=a1b1\frac{a_2}{b_2} = \frac{\resaltar{k a_1}}{\resaltar{k b_1}} = \resaltar{\frac{a_1}{b_1}}

    Και με το πηλίκο των δύο κάθετων πλευρών. Συνεπώς, το ημίτονο, το συνημίτονο και η εφαπτομένη, και μαζί τους οι αντίστροφοί τους, παίρνουν την ίδια τιμή στα δύο τρίγωνα: εξαρτώνται μόνο από τη α\alpha.

  5. c2=a2+b2→0<ac<1,0<bc<1c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow 0 < \frac{a}{c} < 1, \quad 0 < \frac{b}{c} < 1

    Από το Πυθαγόρειο θεώρημα, το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών και υπερβαίνει καθένα από αυτά: η υποτείνουσα είναι μεγαλύτερη από κάθε κάθετη πλευρά, και τα δύο πηλίκα με την υποτείνουσα βρίσκονται μεταξύ 00 και 11.

Το θεώρημα επιτρέπει να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας με οποιοδήποτε ορθογώνιο τρίγωνο που την περιέχει, και να επιλέγουμε το πιο βολικό. Ειδικότερα, η απέναντι κάθετη πλευρά της μίας οξείας γωνίας είναι η προσκείμενη κάθετη πλευρά της άλλης, και από αυτό προκύπτει μια σχέση ανάμεσα στους τριγωνομετρικούς αριθμούς δύο γωνιών με άθροισμα π2\frac{\pi}{2}, που λέγονται συμπληρωματικές.

ΠαράδειγμαΟι τριγωνομετρικοί αριθμοί των δύο οξειών γωνιών

Σε ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές 33 και 44, έστω α\alpha η γωνία απέναντι από την κάθετη πλευρά 33 και β\beta η γωνία απέναντι από την κάθετη πλευρά 44. Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί τους αριθμοί και να συγκριθούν.

Απόδειξη

  1. c=32+42=25=5c = \sqrt{\resaltar{3^2 + 4^2}} = \sqrt{25} = \resaltar{5}

    Από το Πυθαγόρειο θεώρημα, η υποτείνουσα έχει μήκος 55.

  2. sin⁡α=35,cos⁡α=45,tan⁡α=34\dato{a}{\sin \alpha = \frac{3}{5}, \quad \cos \alpha = \frac{4}{5}, \quad \tan \alpha = \frac{3}{4}}

    Για τη α\alpha, η απέναντι κάθετη πλευρά είναι 33 και η προσκείμενη 44.

  3. sin⁡β=45,cos⁡β=35,tan⁡β=43\dato{b}{\sin \beta = \frac{4}{5}, \quad \cos \beta = \frac{3}{5}, \quad \tan \beta = \frac{4}{3}}

    Για τη β\beta, οι ρόλοι των κάθετων πλευρών αντιστρέφονται: η απέναντι είναι 44 και η προσκείμενη 33.

  4. sin⁡β=cos⁡α,cos⁡β=sin⁡α,tan⁡β=1tan⁡α=cot⁡α\sin \beta = \cos \alpha, \quad \cos \beta = \sin \alpha, \quad \tan \beta = \frac{1}{\tan \alpha} = \cot \alpha

    Αφού α+β=π2\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}, το ημίτονο κάθε γωνίας είναι το συνημίτονο της άλλης, και η εφαπτομένη καθεμιάς είναι η συνεφαπτομένη της άλλης. Το ίδιο συμβαίνει σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, γιατί η εναλλαγή των κάθετων πλευρών δεν εξαρτάται από τα μήκη τους.

Από εδώ προέρχονται τα ονόματα: το συνημίτονο είναι το ημίτονο της συμπληρωματικής γωνίας, η συνεφαπτομένη είναι η εφαπτομένη της συμπληρωματικής και η συντέμνουσα είναι η τέμνουσα της συμπληρωματικής.