Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Θεώρημα ακρότατων τιμών του Βάιερστρας

Περίληψη

Αυτό το μάθημα ανοίγει τη μετάβαση από το σημειακό στο ολικό. Η συνέχεια σε ένα σημείο ελέγχει τη συνάρτηση μόνο κοντά σε αυτό το σημείο· το θεώρημα του Βάιερστρας βεβαιώνει ότι, αν η συνάρτηση είναι συνεχής σε όλα τα σημεία ενός κλειστού και φραγμένου διαστήματος, είναι φραγμένη σε όλο το διάστημα και παρουσιάζει σε αυτό μέγιστη και ελάχιστη τιμή. Και οι δύο ισχυρισμοί αποδεικνύονται με το αξίωμα πληρότητας, μέσω του supremum, όπως το θεώρημα του Μπολτσάνο: η φραγή, με το supremum των σημείων μέχρι τα οποία η συνάρτηση είναι φραγμένη και την τοπική φραγή από το μάθημα για το όριο και τη συνέχεια· η ύπαρξη του μεγίστου, με το supremum των τιμών και μια βοηθητική συνάρτηση που θα ήταν συνεχής και μη φραγμένη αν το supremum αυτό δεν επιτυγχανόταν. Το μάθημα δείχνει με αντιπαραδείγματα ότι καμία παραδοχή δεν μπορεί να παραλειφθεί, συνάγει ότι η εικόνα ενός κλειστού και φραγμένου διαστήματος είναι διάστημα του ίδιου είδους και ότι, αν η συνάρτηση παίρνει την ίδια τιμή στα άκρα, ένα από τα ακρότατά της επιτυγχάνεται στο εσωτερικό, και εφαρμόζει το θεώρημα σε θετικές, περιοδικές και ορισμένες σε όλη την ευθεία συναρτήσεις.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να διακρίνεται το supremum των τιμών μιας συνάρτησης από τη μέγιστη τιμή της, και να εκφράζεται με ποσοδείκτες ότι μια συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο ή ελάχιστο σε ένα σύνολο.
  2. Να αποδεικνύεται με το αξίωμα πληρότητας ότι μια συνάρτηση συνεχής σε κλειστό και φραγμένο διάστημα είναι φραγμένη και παρουσιάζει μέγιστο και ελάχιστο.
  3. Να δείχνεται με αντιπαραδείγματα ότι το θεώρημα αποτυγχάνει αν το διάστημα δεν είναι κλειστό, αν δεν είναι φραγμένο ή αν η συνάρτηση δεν είναι συνεχής, και να αναγνωρίζεται ότι οι παραδοχές του είναι ικανές, όχι αναγκαίες.
  4. Να χρησιμοποιείται το θεώρημα, μαζί με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών και τα όρια στο άπειρο, για την εύρεση της εικόνας ενός κλειστού και φραγμένου διαστήματος και για την απόδειξη ότι μια συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατα σε σύνολα που δεν είναι κλειστά και φραγμένα διαστήματα.

Μέγιστο, ελάχιστο και supremum μιας συνάρτησης

Οι δύο ενότητες που προηγήθηκαν μελέτησαν τις συναρτήσεις σε ένα σημείο: το όριο, η συνέχεια και η παράγωγος περιγράφουν ό,τι συμβαίνει κοντά στο aa. Πολλά ερωτήματα, αντίθετα, αφορούν ένα ολόκληρο σύνολο: ποια είναι η μεγαλύτερη τιμή που παίρνει μια συνάρτηση σε ένα διάστημα, αν υπάρχει, ή σε ποιο σημείο επιτυγχάνεται. Η συνάρτηση xx στο (0,1)\ioo{0}{1} δεν έχει τιμή μεγαλύτερη από όλες τις άλλες: για κάθε xx του διαστήματος, ο αριθμός x+12\frac{x + 1}{2} βρίσκεται επίσης σε αυτό, και είναι μεγαλύτερος. Οι τιμές της πλησιάζουν το 11 χωρίς να το φτάνουν. Είναι σκόπιμο, επομένως, να χωρίσουμε δύο έννοιες: το μικρότερο άνω φράγμα των τιμών, που υπάρχει μόλις οι τιμές είναι φραγμένες, και τη μέγιστη τιμή, που είναι τιμή της συνάρτησης.

ΟρισμόςΦραγμένη συνάρτηση· μέγιστο και ελάχιστο συνάρτησης σε σύνολο

Έστω ff μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα σύνολο AA και SS ένα μη κενό υποσύνολο του AA. Λέμε ότι η ff είναι άνω φραγμένη στο SS αν υπάρχει αριθμός KK τέτοιος ώστε f(x)≤Kf(x) \leq K για κάθε xx του SS· κάτω φραγμένη, αν υπάρχει KK τέτοιος ώστε f(x)≥Kf(x) \geq K για κάθε xx του SS· και φραγμένη, αν είναι και με τους δύο τρόπους, δηλαδή αν υπάρχει KK τέτοιος ώστε ∣f(x)∣≤K\abs{f(x)} \leq K για κάθε xx του SS. Λέμε ότι η ff παρουσιάζει μέγιστο στο SS σε ένα σημείο x0x_0 του SS αν η τιμή f(x0)f(x_0) δεν ξεπερνιέται από καμία άλλη τιμή της ff στο SS, και ότι παρουσιάζει ελάχιστο στο x0x_0 αν δεν υπάρχει στο SS μικρότερη τιμή:

(∀x∈S)(f(x)≤f(x0)),(∀x∈S)(f(x0)≤f(x))(\forall x \in S)\left(f(x) \leq f(x_0)\right), \qquad (\forall x \in S)\left(f(x_0) \leq f(x)\right)

Ο αριθμός f(x0)f(x_0) είναι η μέγιστη τιμή (ή η ελάχιστη τιμή) της ff στο SS, και γράφεται max⁡x∈Sf(x)\max_{x \in S} f(x) (ή min⁡x∈Sf(x)\min_{x \in S} f(x))· το σημείο x0x_0 είναι θέση μεγίστου (ή ελαχίστου).

Η μέγιστη τιμή, αν υπάρχει, είναι μοναδική, γιατί δύο μέγιστες τιμές θα ήταν η καθεμία μεγαλύτερη ή ίση από την άλλη· η θέση μεγίστου μπορεί να μην είναι: το συνημίτονο παρουσιάζει το μέγιστό του 11 στο [0,4π]\icc{0}{4\pi} σε τρία σημεία, τα 00, 2π2\pi και 4π4\pi. Το μάθημα για τα μέγιστα και ελάχιστα θα ονομάσει ολικά αυτά τα ακρότατα, για να τα διακρίνει από τα τοπικά, που συγκρίνουν το f(x0)f(x_0) μόνο με τις κοντινές τιμές.

Αν η ff είναι άνω φραγμένη στο SS, το σύνολο των τιμών της, f(S)f(S), δεν είναι κενό και είναι άνω φραγμένο· από το αξίωμα πληρότητας, που υπενθυμίστηκε στο μάθημα για την την πραγματική ευθεία, έχει supremum, που γράφεται sup⁡x∈Sf(x)\sup_{x \in S} f(x). Η σχέση ανάμεσα στις δύο έννοιες είναι απλή: η ff παρουσιάζει μέγιστο στο SS αν και μόνο αν το supremum των τιμών της είναι μία από αυτές, και τότε τα δύο συμπίπτουν. Πράγματι, αν η f(x0)f(x_0) είναι η μέγιστη τιμή, είναι άνω φράγμα του f(S)f(S) που ανήκει στο f(S)f(S), και κανένας μικρότερος αριθμός δεν μπορεί να είναι άνω φράγμα· αντίστροφα, αν το supremum είναι μια τιμή f(x0)f(x_0), καμία τιμή δεν το ξεπερνά. Η συνάρτηση xx στο (0,1)\ioo{0}{1} είναι φραγμένη, το supremum της είναι 11 και δεν το φτάνει· το infimum της είναι 00 και ούτε αυτό το φτάνει. Το θεώρημα του Βάιερστρας δίνει συνθήκες υπό τις οποίες αυτό δεν συμβαίνει.