Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Η πραγματική ευθεία: διάταξη, διαστήματα και απόλυτη τιμή

Περίληψη

Το μάθημα αυτό μελετά τους πραγματικούς αριθμούς ως σημεία μιας ευθείας. Συνάγει από τρία αξιώματα τους κανόνες για τις πράξεις με ανισότητες, αποδεικνύει με την αρχιμήδεια ιδιότητα ότι οι ρητοί είναι πυκνοί στην ευθεία, αποδεικνύει με την πληρότητα ότι κάθε μη αρνητικός πραγματικός έχει ρίζα τάξης nn, ορίζει τα διαστήματα και τα χαρακτηρίζει ως τα σύνολα χωρίς κενά, και εισάγει την απόλυτη τιμή ως μέτρο της απόστασης, μαζί με το θεμελιώδες λήμμα της για τις ανισότητες και την τριγωνική ανισότητα. Τα προβλήματα εφαρμόζουν αυτά τα εργαλεία στη φράξη γινομένων, στη λύση εξισώσεων και ανισώσεων με απόλυτες τιμές, στον έλεγχο του σφάλματος μιας προσέγγισης και στην ελαχιστοποίηση ενός αθροίσματος αποστάσεων.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να συναχθούν από τα αξιώματα της διάταξης οι κανόνες για την πρόσθεση, τον πολλαπλασιασμό και την αντιστροφή ανισοτήτων, και να εφαρμόζονται χωρίς πολλαπλασιασμό με αριθμούς άγνωστου προσήμου.
  2. Να εφαρμόζεται η αρχιμήδεια ιδιότητα και να αποδεικνύεται με αυτήν ότι ανάμεσα σε δύο διαφορετικούς πραγματικούς υπάρχει πάντα ένας ρητός.
  3. Να περιγράφονται σύνολα πραγματικών αριθμών με διαστήματα, να γίνονται πράξεις με αυτά και να αναγνωρίζεται πότε ένα σύνολο είναι διάστημα.
  4. Να ερμηνεύεται η απόλυτη τιμή ως απόσταση, να μεταφράζονται συνθήκες με απόλυτες τιμές σε διαστήματα και να εφαρμόζεται η τριγωνική ανισότητα.

Η πραγματική ευθεία

Πάνω σε μια ευθεία επιλέγονται δύο σημεία: το ένα παριστάνει το 00 και το άλλο, που βρίσκεται δεξιά του, το 11. Το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος που τα ενώνει χρησιμεύει ως μονάδα, και σε κάθε πραγματικό αριθμό xx αντιστοιχεί ένα σημείο: αν ο xx είναι θετικός, εκείνο που βρίσκεται δεξιά της αρχής σε απόσταση xx· αν είναι αρνητικός, εκείνο που βρίσκεται αριστερά σε απόσταση −x-x. Οι ρητοί καταλαμβάνουν σημεία που κατασκευάζονται με κανόνα και διαβήτη, και η δεκαδική παράστασή τους, που μελετήθηκε στο μάθημα για τη δεκαδική παράσταση των ρητών αριθμών, δείχνει σε ποια δεκαδική υποδιαίρεση της μονάδας πέφτει ο καθένας. Ωστόσο, στο μάθημα για τα σύνολα αριθμών είδαμε ότι οι ρητοί αφήνουν κενά, όπως αυτό που καταλαμβάνει ο 2\sqrt{2}, και δεχτήκαμε ότι οι πραγματικοί σχηματίζουν ένα πλήρες διατεταγμένο σώμα, του οποίου το αξίωμα πληρότητας τα γεμίζει. Γι' αυτό δεχόμαστε ότι η αντιστοιχία ανάμεσα σε πραγματικούς και σημεία είναι αμφιμονοσήμαντη: σε κάθε πραγματικό αντιστοιχεί ένα σημείο και σε κάθε σημείο ένας πραγματικός. Η ταύτιση αυτή δεν αποδεικνύεται, γιατί η ευθεία της γεωμετρίας δεν ορίζεται εδώ ανεξάρτητα από τους αριθμούς· είναι η γεωμετρική ανάγνωση της πληρότητας και λέγεται πραγματική ευθεία.

Τα αξιώματα της διάταξης

Η σχέση «βρίσκεται αριστερά από» μεταφράζεται στη σχέση διάταξης ανάμεσα σε πραγματικούς, η οποία ορίζεται με βάση το σύνολο των θετικών αριθμών. Ανάμεσα στα αξιώματα που το μάθημα για τα σύνολα αριθμών δέχεται για τους πραγματικούς, μαζί με τα αξιώματα σώματος και το αξίωμα πληρότητας, τα αξιώματα διάταξης αναφέρονται σε αυτό το σύνολο, και αξίζει να τα θυμηθούμε:

  1. Τριχοτομία: για κάθε πραγματικό xx ισχύει ακριβώς ένας από τους τρεις ισχυρισμούς x>0x > 0, x=0x = 0 ή −x>0-x > 0.
  2. Το άθροισμα δύο θετικών είναι θετικό.
  3. Το γινόμενο δύο θετικών είναι θετικό.

Ένας πραγματικός xx είναι αρνητικός αν ο −x-x είναι θετικός. Γράφουμε x<yx < y, ή y>xy > x, όταν η διαφορά y−xy - x είναι θετική, και x≤yx \leq y όταν x<yx < y ή x=yx = y. Εφαρμοσμένη στη y−xy - x, η τριχοτομία λέει ότι για οποιουσδήποτε δύο πραγματικούς ισχύει ακριβώς ένας από τους ισχυρισμούς x<yx < y, x=yx = y ή y<xy < x: από δύο διαφορετικά σημεία της ευθείας, το ένα βρίσκεται πάντα αριστερά από το άλλο. Επιπλέον, στο λυμένο πρόβλημα 5 του ίδιου μαθήματος αποδείχθηκε, μόνο με αυτά τα αξιώματα και τον κανόνα των προσήμων, ότι το τετράγωνο κάθε μη μηδενικού πραγματικού είναι θετικό· ειδικότερα, 1=12>01 = 1^2 > 0. Οι κανόνες για τις πράξεις με ανισότητες είναι συνέπειες αυτών των αξιωμάτων και των αξιωμάτων σώματος· το μάθημα για τα σύνολα αριθμών τους συνήγαγε στο λήμμα του για τους κανόνες της διάταξης, και εδώ συγκεντρώνονται και ερμηνεύονται πάνω στην ευθεία.

ΘεώρημαΟι ιδιότητες της διάταξης

Για όλους τους πραγματικούς xx, yy και zz: αν x<yx < y και y<zy < z, τότε x<zx < z· αν x<yx < y, τότε x+z<y+zx + z < y + z· αν x<yx < y και z>0z > 0, τότε xz<yzxz < yz· αν x<yx < y και z<0z < 0, τότε xz>yzxz > yz· αν x>0x > 0, ο αντίστροφός του είναι θετικός· και αν 0<x<y0 < x < y, τότε 0<1y<1x0 < \frac{1}{y} < \frac{1}{x}. Κάθε ισχυρισμός ανάγεται στον προσδιορισμό του προσήμου μιας διαφοράς, όπως στο μάθημα για τους ακέραιους αριθμούς, όπου οι κανόνες αυτοί αποδείχθηκαν για τους ακέραιους· η απόδειξη, που επαναλαμβάνει εκείνη του μαθήματος για τα σύνολα αριθμών, συνάγεται μόνο από τα αξιώματα, και οι κανόνες ισχύουν επομένως για όλους τους πραγματικούς. Το σχήμα παριστάνει κάθε ιδιότητα πάνω στην ευθεία: η μετατόπιση διατηρεί τη διάταξη δύο σημείων, το ίδιο και η διαστολή από την αρχή, ενώ η ανάκλαση ή η αντιστροφή την αντιστρέφει.

Απόδειξη

  1. z−x=(z−y)+(y−x)>0z - x = \resaltar{(z - y) + (y - x)} > 0

    Μεταβατικότητα: αν x<yx < y και y<zy < z, οι διαφορές y−xy - x και z−yz - y είναι θετικές, και από το δεύτερο αξίωμα το ίδιο και το άθροισμά τους, που είναι z−xz - x.

  2. (y+z)−(x+z)=y−x>0(y + z) - (x + z) = \resaltar{y - x} > 0

    Συμβατότητα με την πρόσθεση: η πρόσθεση του ίδιου αριθμού zz και στα δύο μέλη δεν αλλάζει τη διαφορά.

  3. yz−xz=(y−x)z>0\dato{pos}{yz - xz = \resaltar{(y - x) z} > 0}

    Γινόμενο με θετικό: αν z>0z > 0, η διαφορά yz−xzyz - xz είναι το γινόμενο δύο θετικών, και είναι θετική από το τρίτο αξίωμα.

  4. xz−yz=(y−x)(−z)>0\dato{neg}{xz - yz = (y - x)\resaltar{(-z)} > 0}

    Γινόμενο με αρνητικό: αν z<0z < 0, ο αντίθετός του −z-z είναι θετικός, και το προηγούμενο βήμα, εφαρμοσμένο στον −z-z, δίνει μια θετική διαφορά με την αντίθετη σειρά.

  5. x>0→1x>0\dato{inv}{x > 0 \rightarrow \frac{1}{x} > 0}

    Πρόσημο του αντιστρόφου: έστω x>0x > 0. Αν ο αντίστροφός του ήταν αρνητικός, πολλαπλασιάζοντας την 0<x0 < x με αυτόν η ανισότητα θα αντιστρεφόταν, και θα προέκυπτε 0>10 > 1, που είναι ψευδές· και ο αντίστροφος δεν είναι μηδέν, γιατί το γινόμενό του με τον xx ισούται με 11.

  6. 1x−1y=y−xxy>0\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \resaltar{\frac{y - x}{xy}} > 0

    Αντίστροφοι: αν 0<x<y0 < x < y, η διαφορά των αντιστρόφων είναι το γινόμενο της y−xy - x με τον αντίστροφο του xyxy, που είναι και οι δύο θετικοί. Η μετάβαση στους αντιστρόφους δύο θετικών αντιστρέφει τη διάταξή τους.

Από αυτούς τους κανόνες προκύπτουν άλλοι που χρησιμοποιούνται συνεχώς. Δύο ανισότητες της ίδιας φοράς μπορούν να προστεθούν: αν a<ba < b και c<dc < d, τότε a+c<b+c<b+da + c < b + c < b + d. Δύο ανισότητες ανάμεσα σε μη αρνητικούς αριθμούς μπορούν να πολλαπλασιαστούν: αν 0≤a≤b0 \leq a \leq b και 0≤c≤d0 \leq c \leq d, τότε ac≤bc≤bdac \leq bc \leq bd. Αντίθετα, δεν μπορούν να αφαιρεθούν ούτε να διαιρεθούν κατά μέλη, και δεν μπορούν να πολλαπλασιαστούν αν κάποιο μέλος είναι αρνητικό, όπως δείχνει το λυμένο πρόβλημα 1. Τέλος, ανάμεσα σε μη αρνητικούς αριθμούς η ύψωση στο τετράγωνο διατηρεί τη διάταξη και την ανακλά, όπως αποδείχθηκε στο μάθημα για τα σύνολα αριθμών για τις δυνάμεις:

0≤p∧0≤q→(p<q↔p2<q2)0 \leq p \wedge 0 \leq q \rightarrow \left(p < q \leftrightarrow p^2 < q^2\right)

Η πυκνότητα των ρητών στην ευθεία

Το αξίωμα πληρότητας, που διατυπώθηκε στο μάθημα για τα σύνολα αριθμών, βεβαιώνει ότι κάθε μη κενό άνω φραγμένο σύνολο πραγματικών έχει supremum, δηλαδή ένα ελάχιστο άνω φράγμα. Στο μάθημα για τη δεκαδική παράσταση των ρητών αριθμών συνάχθηκε από αυτό η αρχιμήδεια ιδιότητα: για κάθε πραγματικό υπάρχει ένας φυσικός μεγαλύτερος από αυτόν, έτσι ώστε τα σημεία 1,2,3,…1, 2, 3, \ldots προχωρούν πάνω στην ευθεία χωρίς κανένα φράγμα. Από αυτό προκύπτει μια μορφή που χρησιμοποιείται συχνά: αν h>0h > 0 και ο xx είναι οποιοσδήποτε πραγματικός, υπάρχει ένας φυσικός nn μεγαλύτερος από τον xh\frac{x}{h}, και πολλαπλασιάζοντας με τον hh, που είναι θετικός, προκύπτει nh>xnh > x. Γεωμετρικά, ένα ευθύγραμμο τμήμα, όσο μικρό κι αν είναι, αν επαναληφθεί αρκετές φορές, ξεπερνά οποιοδήποτε άλλο· έτσι τη χρησιμοποίησε ο Αρχιμήδης, από τον οποίο παίρνει το όνομά της.

h>0→(∀x∈R)(∃n∈N)(nh>x)h > 0 \rightarrow (\forall x \in \mathbb{R})(\exists n \in \mathbb{N})(nh > x)

Στο μάθημα για τους ρητούς αριθμούς αποδείχθηκε ότι ανάμεσα σε δύο διαφορετικούς ρητούς υπάρχουν άπειροι ρητοί. Με την αρχιμήδεια ιδιότητα μπορεί να αποδειχθεί κάτι ισχυρότερο, το γεγονός που το μάθημα για τα σύνολα αριθμών άφησε δεκτό χωρίς απόδειξη: οι ρητοί είναι μοιρασμένοι σε όλη την πραγματική ευθεία, χωρίς να υπάρχει κανένα διάστημα, όσο μικρό κι αν είναι, που να μην περιέχει έναν από αυτούς.

ΘεώρημαΠυκνότητα των ρητών στην πραγματική ευθεία

Ανάμεσα σε δύο διαφορετικούς πραγματικούς υπάρχει πάντα ένας ρητός αριθμός: αν x<yx < y, υπάρχει ένας ρητός qq τέτοιος ώστε x<q<yx < q < y. Η ιδέα είναι να διευρυνθεί το διάστημα ανάμεσα στον xx και τον yy ώσπου το μήκος του να ξεπεράσει το 11, ώστε να περιέχει έναν ακέραιο, και έπειτα να συρρικνωθεί. Το σχήμα δείχνει το αρχικό διάστημα πάνω και το διευρυμένο κάτω.

Απόδειξη

  1. ny>nx+1\dato{n}{ny > nx + 1}

    Από την αρχιμήδεια ιδιότητα, εφαρμοσμένη στο h=y−x>0h = y - x > 0, υπάρχει ένας φυσικός nn τέτοιος ώστε n(y−x)>1n(y - x) > 1: διευρυμένο nn φορές, το διάστημα έχει μήκος μεγαλύτερο από τη μονάδα.

  2. m−1≤nx<m\dato{m}{m - 1 \leq nx < m}

    Έστω mm ο μικρότερος ακέραιος που είναι μεγαλύτερος από τον nxnx. Υπάρχει: από την αρχιμήδεια ιδιότητα υπάρχει ένας φυσικός kk με k>−nxk > -nx, έτσι ώστε nx+k>0nx + k > 0· το σύνολο των φυσικών που είναι μεγαλύτεροι από τον nx+knx + k δεν είναι κενό, πάλι από την αρχιμήδεια ιδιότητα, και από την αρχή της καλής διάταξης έχει ένα ελάχιστο στοιχείο jj. Ο ακέραιος m=j−km = j - k είναι μεγαλύτερος από τον nxnx, και ο m−1m - 1 δεν είναι, γιατί ο j−1j - 1 είναι μηδέν ή είναι ένας φυσικός που δεν ξεπερνά τον nx+knx + k.

  3. nx<m≤nx+1<nynx < m \leq \resaltar{nx + 1} < ny

    Προσθέτοντας 11 στην πρώτη ανισότητα και συνδέοντάς την με εκείνη του πρώτου βήματος, ο ακέραιος mm βρίσκεται αυστηρά ανάμεσα στον nxnx και τον nyny.

  4. x<mn<yx < \resaltar{\frac{m}{n}} < y

    Διαιρώντας με τον nn, που είναι θετικός, οι ανισότητες διατηρούνται: το πηλίκο του mm διά nn, που είναι ρητός, βρίσκεται ανάμεσα στον xx και τον yy.

Εφαρμοσμένο ξανά στο διάστημα ανάμεσα στον xx και τον ρητό που βρέθηκε, το θεώρημα δίνει έναν άλλο ρητό, και ούτω καθεξής: ανάμεσα σε δύο διαφορετικούς πραγματικούς υπάρχουν άπειροι ρητοί. Το ίδιο συμβαίνει με τους άρρητους, όπως ζητείται να αποδειχθεί στο προτεινόμενο πρόβλημα 4. Ρητοί και άρρητοι είναι, επομένως, ανακατεμένοι σε όλη την ευθεία, αν και οι δεκαδικές τους παραστάσεις είναι τόσο διαφορετικής φύσης.

Η ύπαρξη των ριζών

Στο μάθημα για τα σύνολα αριθμών ορίστηκε η κύρια ρίζα τάξης nn ενός μη αρνητικού πραγματικού aa ως ο μοναδικός μη αρνητικός πραγματικός του οποίου η nn-οστή δύναμη είναι aa· εκεί αποδείχθηκε η μοναδικότητα και η ύπαρξη έμεινε δεκτή χωρίς απόδειξη, γιατί η απόδειξή της απαιτεί ένα επιχείρημα με suprema. Με την πληρότητα και τους κανόνες της διάταξης μπορεί τώρα να δοθεί αυτό το επιχείρημα. Χρησιμοποιείται ένα φράγμα για τη διαφορά δύο δυνάμεων: αν 0≤c≤b0 \leq c \leq b, όταν επιμεριστεί το παρακάτω γινόμενο οι ενδιάμεσοι όροι απλοποιούνται, όπως στο άθροισμα μιας γεωμετρικής προόδου, και καθένας από τους nn προσθετέους του δεύτερου παράγοντα είναι το πολύ bn−1b^{n - 1}.

bn−cn=(b−c)(bn−1+bn−2c+⋯+cn−1)≤(b−c)⋅nbn−1b^n - c^n = (b - c)\left(b^{n - 1} + b^{n - 2} c + \cdots + c^{n - 1}\right) \leq (b - c) \cdot n b^{n - 1}
ΘεώρημαΎπαρξη της ρίζας τάξης nn

Έστω n≥2n \geq 2 ένας φυσικός. Για κάθε πραγματικό a≥0a \geq 0 υπάρχει ένας πραγματικός s≥0s \geq 0 τέτοιος ώστε sn=as^n = a. Αν a=0a = 0, αρκεί να πάρουμε s=0s = 0· στη συνέχεια, a>0a > 0. Η ζητούμενη ρίζα προκύπτει ως το supremum των μη αρνητικών αριθμών των οποίων η nn-οστή δύναμη δεν ξεπερνά τον aa, και οι δύο αυστηρές ανισότητες αποκλείονται χωριστά. Το σχήμα σχεδιάζει την καμπύλη y=xny = x^n και την ευθεία ύψους aa: το σύνολο SS είναι το κομμάτι του άξονα κάτω από το μέρος της καμπύλης που δεν ανεβαίνει πάνω από την ευθεία, και κάθε λανθασμένη υπόθεση για τον ss ανασκευάζεται με ένα σημείο που μένει στη λάθος πλευρά.

Απόδειξη

  1. x>1+a→xn≥x>ax > 1 + a \rightarrow x^n \geq x > a

    Το σύνολο SS των μη αρνητικών πραγματικών των οποίων η nn-οστή δύναμη δεν ξεπερνά τον aa περιέχει το 00. Είναι φραγμένο από τον 1+a1 + a: αν x>1+ax > 1 + a, τότε x>1x > 1, και η δύναμή του είναι τουλάχιστον ο xx, που ήδη ξεπερνά τον aa.

  2. x∈S→x≤s\dato{s}{x \in S \rightarrow x \leq s}

    Από την πληρότητα, το SS έχει supremum ss, που είναι μη αρνητικό γιατί το 00 ανήκει στο SS.

  3. h=a−sna+n(s+1)n−1\dato{h}{h = \frac{a - s^n}{a + n(s + 1)^{n - 1}}}

    Ας υποθέσουμε ότι sn<as^n < a. Παίρνουμε έναν αριθμό hh θετικό και μικρότερο από το 11, γιατί ο αριθμητής του είναι μικρότερος από τον παρονομαστή του.

  4. (s+h)n−sn≤h⋅n(s+1)n−1≤a−sn(s + h)^n - s^n \leq h \cdot n(s + 1)^{n - 1} \leq \resaltar{a - s^n}

    Από το φράγμα της διαφοράς δυνάμεων, με b=s+h≤s+1b = s + h \leq s + 1 και c=sc = s, η δύναμη του s+hs + h δεν ξεπερνά τον aa· επομένως ο s+hs + h ανήκει στο SS και είναι μεγαλύτερος από το supremum του, πράγμα αδύνατο.

  5. h=sn−ansn−1\dato{k}{h = \frac{s^n - a}{n s^{n - 1}}}

    Ας υποθέσουμε ότι sn>as^n > a. Τότε s>0s > 0, και παίρνουμε έναν άλλο αριθμό hh, θετικό και μικρότερο από τον ss, γιατί h⋅nsn−1=sn−a<sn≤nsnh \cdot n s^{n - 1} = s^n - a < s^n \leq n s^n.

  6. sn−(s−h)n≤h⋅nsn−1=sn−as^n - (s - h)^n \leq h \cdot n s^{n - 1} = \resaltar{s^n - a}

    Με b=sb = s και c=s−hc = s - h, το φράγμα δίνει ότι η δύναμη του s−hs - h είναι τουλάχιστον ο aa.

  7. x∈S→x≤s−h<sx \in S \rightarrow x \leq s - h < s

    Αν ένα xx του SS ήταν μεγαλύτερο από τον s−hs - h, από τη διατήρηση της διάταξης από τις δυνάμεις θα είχαμε xn>(s−h)n≥ax^n > (s - h)^n \geq a, αντίθετα με τον ορισμό του SS. Έτσι, ο s−hs - h θα ήταν ένα άνω φράγμα του SS μικρότερο από τον ss, πράγμα αδύνατο.

  8. sn=as^n = a

    Από την τριχοτομία, μένει μόνο η ισότητα: ο ss είναι η κύρια ρίζα τάξης nn του aa, μοναδική από όσα αποδείχθηκαν στο μάθημα για τα σύνολα αριθμών.

Με αυτό το θεώρημα και την πυκνότητα των ρητών ολοκληρώνεται και η ταύτιση που το μάθημα για τα σύνολα αριθμών άφησε δεκτή χωρίς απόδειξη: το supremum του συνόλου AA των ρητών των οποίων το τετράγωνο είναι μικρότερο από το 22 είναι ο 2\sqrt{2}. Πράγματι, ο 2\sqrt{2} είναι άνω φράγμα του AA, γιατί αν ένας ρητός xx ήταν μεγαλύτερος από τον 2\sqrt{2}, θα ήταν θετικός και το τετράγωνό του θα ξεπερνούσε το 22. Και κανένα μικρότερο φράγμα δεν είναι κατάλληλο: αν u<2u < \sqrt{2}, η πυκνότητα, εφαρμοσμένη στο διάστημα που πηγαίνει από τον μεγαλύτερο από τους αριθμούς uu και 00 ως τον 2\sqrt{2}, δίνει έναν ρητό qq με 0<q<20 < q < \sqrt{2} και u<qu < q· το τετράγωνό του είναι μικρότερο από το 22, γιατί ανάμεσα σε μη αρνητικούς οι δυνάμεις διατηρούν τη διάταξη, έτσι ώστε ο qq ανήκει στο AA και ξεπερνά τον uu.