Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Δευτεροβάθμιο πολυώνυμο και τριώνυμο βαθμού 2n: παραγοντοποίηση

Περίληψη

Το μάθημα αυτό συνάγει, με συμπλήρωση τετραγώνου, τον τύπο των ριζών του τριωνύμου δευτέρου βαθμού, μελετά τη διακρίνουσα και τους τύπους του Βιέτ για τις ρίζες και τους συντελεστές, και καταλήγει στην παραγοντοποίηση a(x−x1)(x−x2)a(x - x_1)(x - x_2). Επεκτείνει έπειτα τη μέθοδο στα τριώνυμα βαθμού 2n2n, της μορφής ax2n+bxn+ca x^{2n} + b x^n + c, με την αλλαγή μεταβλητής u=xnu = x^n, και δείχνει ότι ένα τριώνυμο βαθμού 44 μπορεί να παραγοντοποιηθεί ακόμη κι αν η διακρίνουσα είναι αρνητική.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να συναγάγει τον τύπο επίλυσης δευτεροβάθμιας εξίσωσης με συμπλήρωση τετραγώνου και να τον εφαρμόζει στην παραγοντοποίηση.
  2. Να ερμηνεύει τη διακρίνουσα και να χρησιμοποιεί τους τύπους του Βιέτ για τις ρίζες και τους συντελεστές.
  3. Να παραγοντοποιεί τριώνυμα βαθμού 2n2n με την αλλαγή μεταβλητής u=xnu = x^n και τις αξιοσημείωτες ταυτότητες.
  4. Να αναγνωρίζει πότε ένα τριώνυμο δευτέρου βαθμού είναι ανάγωγο στους πραγματικούς και να παραγοντοποιεί ένα τριώνυμο βαθμού 44 με αρνητική διακρίνουσα.
  5. Να διατυπώνει εφαρμοσμένα προβλήματα που οδηγούν σε δευτεροβάθμια εξίσωση, όπως η πτήση μιας μπάλας ή ο σχεδιασμός ενός λαχανόκηπου, και να ερμηνεύει μέσα στο πλαίσιό τους τις ρίζες και τη διακρίνουσά της.

Το τριώνυμο δευτέρου βαθμού

Τριώνυμο δευτέρου βαθμού λέγεται ένα πολυώνυμο βαθμού 22· με πραγματικούς συντελεστές aa, bb και cc, και a≠0a \neq 0, γράφεται ως εξής:

P(x)=ax2+bx+cP(x) = ax^2 + bx + c

Να το παραγοντοποιήσουμε σημαίνει να το γράψουμε ως γινόμενο δύο πολυωνύμων βαθμού 11. Σύμφωνα με το θεώρημα του παράγοντα, που μελετήθηκε στο μάθημα για την άλγεβρα των πολυωνύμων, κάθε πραγματική ρίζα rr δίνει έναν παράγοντα x−rx - r· επομένως, η παραγοντοποίηση ενός τριωνύμου δευτέρου βαθμού ισοδυναμεί με την εύρεση των ριζών του. Η μέθοδος για να βρεθούν είναι η συμπλήρωση τετραγώνου.

ΘεώρημαΤύπος επίλυσης δευτεροβάθμιας εξίσωσης

Έστω ax2+bx+cax^2 + bx + c ένα τριώνυμο δευτέρου βαθμού, με a≠0a \neq 0. Για κάθε πραγματικό xx ισχύει η ισότητα που ακολουθεί, η οποία λέγεται μορφή συμπληρωμένου τετραγώνου· και αν b2−4ac≥0b^2 - 4ac \geq 0, οι ρίζες του τριωνύμου είναι ακριβώς οι αριθμοί −b±b2−4ac2a\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.

ax2+bx+c=a[(x+b2a)2−b2−4ac4a2]ax^2 + bx + c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right]

Η ιδέα είναι γεωμετρική: το x2+baxx^2 + \frac{b}{a}x είναι το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς xx συν ένα ορθογώνιο με πλευρές xx και ba\frac{b}{a}. Αν το ορθογώνιο κοπεί σε δύο μισά και αυτά τοποθετηθούν σε δύο πλευρές του τετραγώνου, λείπει μόνο μια γωνία για να συμπληρωθεί ένα μεγαλύτερο τετράγωνο, πλευράς x+b2ax + \frac{b}{2a}.

Απόδειξη

  1. ax2+bx+c=a(x2+bax+ca)ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \dato{s}{\frac{b}{a}x} + \frac{c}{a}\right)

    Επειδή a≠0a \neq 0, βγάζουμε το aa κοινό παράγοντα.

  2. x2+bax=(x+b2a)2−b24a2x^2 + \resaltar{\frac{b}{a}x} = \dato{c}{\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2} - \resaltar{\frac{b^2}{4a^2}}

    Το τετράγωνο του x+b2ax + \frac{b}{2a} περιέχει το x2x^2, τον όρο bax\frac{b}{a}x και τη γωνία b24a2\frac{b^2}{4a^2}· αφαιρώντας τη γωνία προκύπτει το ζητούμενο άθροισμα.

  3. ax2+bx+c=a[(x+b2a)2−b2−4ac4a2]ax^2 + bx + c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \dato{d}{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}\right]

    Αντικαθιστούμε μέσα στην παρένθεση και συγκεντρώνουμε τους σταθερούς όρους σε ένα μόνο κλάσμα, επειδή ca=4ac4a2\frac{c}{a} = \frac{4ac}{4a^2}.

  4. ax2+bx+c=0↔(x+b2a)2=b2−4ac4a2ax^2 + bx + c = 0 \leftrightarrow \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}

    Επειδή a≠0a \neq 0, το τριώνυμο μηδενίζεται ακριβώς όταν μηδενίζεται η αγκύλη.

  5. (x+b2a)2−(b2−4ac2a)2=0↔x+b2a=±b2−4ac2a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \resaltar{\left(\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right)^2} = 0 \leftrightarrow x + \frac{b}{2a} = \resaltar{\pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}

    Αν b2−4ac≥0b^2 - 4ac \geq 0, ο αριθμός w=b2−4ac2aw = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ικανοποιεί τη σχέση w2=b2−4ac4a2w^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}, όποιο κι αν είναι το πρόσημο του aa. Αν ονομάσουμε uu το x+b2ax + \frac{b}{2a}, από τη διαφορά τετραγώνων η εξίσωση γίνεται (u−w)(u+w)=0(u - w)(u + w) = 0· και ένα γινόμενο πραγματικών είναι μηδέν μόνο αν κάποιος παράγοντας είναι μηδέν, σύμφωνα με το λήμμα για το πρόσημο ενός γινομένου από το μάθημα για τις αλγεβρικές συναρτήσεις. Άρα η εξίσωση ισοδυναμεί ακριβώς με u=wu = w ή u=−wu = -w: δεν χάνεται ούτε προστίθεται καμία ρίζα.

  6. x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

    Λύνουμε ως προς xx: είναι ο τύπος επίλυσης δευτεροβάθμιας εξίσωσης.