Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Γεωμετρία με μιγαδικούς αριθμούς

Περίληψη

Το μάθημα αυτό χρησιμοποιεί τους μιγαδικούς αριθμούς ως συντεταγμένες του επιπέδου και μεταφράζει σε αλγεβρικές πράξεις τις έννοιες της στοιχειώδους γεωμετρίας: η απόσταση είναι το μέτρο μιας διαφοράς, το μέσο και το βαρύκεντρο είναι μέσοι όροι, και οι κινήσεις του επιπέδου είναι σύντομοι τύποι. Αποδεικνύει ότι ο R(z)=c+eiφ(z−c)R(z) = c + e^{i\varphi}(z - c) είναι η στροφή με κέντρο cc και γωνία φ\varphi, ότι η ανάκλαση σε ευθεία που διέρχεται από την αρχή με γωνία α\alpha είναι ο S(z)=e2iαz‾S(z) = e^{2i\alpha}\conj{z} και ότι η σύνθεση δύο ανακλάσεων είναι στροφή. Χαρακτηρίζει τη συνευθειακότητα και την καθετότητα μέσω ενός πηλίκου, ορίζει τον προσανατολισμό ενός τριγώνου από το πρόσημο του φανταστικού μέρους αυτού του πηλίκου, αποδεικνύει ότι τρία σημεία σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο αν και μόνο αν z1+ωz2+ω2z3=0z_1 + \omega z_2 + \omega^2 z_3 = 0, με ω=e2πi3\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}}, και αποδεικνύει ότι τα σημεία των οποίων οι αποστάσεις από δύο σταθερά σημεία έχουν σταθερό λόγο σχηματίζουν κύκλο, τον κύκλο του Απολλωνίου. Τα προβλήματα κορυφώνονται με το θεώρημα του Ναπολέοντα.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να παριστάνει σημεία, αποστάσεις, μέσα και βαρύκεντρα με μιγαδικούς αριθμούς και να εκφράζει παράλληλες μεταφορές, στροφές, ομοιοθεσίες και ανακλάσεις ως συναρτήσεις μιας μιγαδικής μεταβλητής.
  2. Να αποδεικνύει τους τύπους της στροφής γύρω από σημείο και της ανάκλασης σε ευθεία και να μελετά τις συνθέσεις ανακλάσεων και στροφών.
  3. Να αποφασίζει για τη συνευθειακότητα, την καθετότητα και τη γωνία δύο ευθύγραμμων τμημάτων μέσω του πηλίκου δύο διαφορών, να προσδιορίζει τον προσανατολισμό ενός τριγώνου από το πρόσημο του φανταστικού μέρους αυτού του πηλίκου και να χαρακτηρίζει το ισόπλευρο τρίγωνο με την κυβική ρίζα της μονάδας ω\omega.
  4. Να περιγράφει κύκλους με το μέτρο, να αποδεικνύει το θεώρημα του κύκλου του Απολλωνίου και να χρησιμοποιεί αυτά τα εργαλεία σε κλασικά προβλήματα, όπως εκείνα του Ναπολέοντα και του Βαν Ομπέλ.

Σημεία, αποστάσεις και κέντρα

Από το μάθημα του κύκλου μαθημάτων Άλγεβρα και γεωμετρία I για τους μιγαδικούς αριθμούς, κάθε μιγαδικός z=a+biz = a + bi ταυτίζεται με το σημείο (a,b)(a, b) του επιπέδου, και η διαφορά z−wz - w είναι το διάνυσμα που πηγαίνει από το σημείο ww στο σημείο zz· από το Πυθαγόρειο θεώρημα, η απόσταση των δύο σημείων είναι ∣z−w∣\abs{z - w}. Στο μάθημα αυτό η οπτική γωνία αντιστρέφεται: δεν μελετώνται οι αριθμοί μέσω του επιπέδου, αλλά το επίπεδο μέσω των αριθμών. Ένα σχήμα περιγράφεται από τους μιγαδικούς των σημείων του, και μια γεωμετρική ιδιότητα από μια ισότητα μεταξύ τους.

Το κύριο εργαλείο είναι η μιγαδική εκθετική συνάρτηση του μαθήματος για τη μιγαδική εκθετική συνάρτηση και τον τύπο του Όιλερ. Για κάθε πραγματικό φ\varphi, ο αριθμός eiφe^{i\varphi} είναι το σημείο του κύκλου ακτίνας 11 του οποίου το όρισμα είναι φ\varphi, και ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες· η τελευταία οφείλεται στο ότι cos⁡(−φ)=cos⁡φ\cos(-\varphi) = \cos \varphi και sin⁡(−φ)=−sin⁡φ\sin(-\varphi) = -\sin \varphi:

eiφ=cos⁡φ+isin⁡φ,∣eiφ∣=1,eiαeiβ=ei(α+β),eiφ‾=e−iφe^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi, \qquad \abs{e^{i\varphi}} = 1, \qquad e^{i\alpha} e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)}, \qquad \conj{e^{i\varphi}} = e^{-i\varphi}

Σύμφωνα με το μάθημα για την πολική μορφή των μιγαδικών αριθμών, κάθε μη μηδενικός μιγαδικός γράφεται z=reiθz = re^{i\theta}, με r=∣z∣r = \abs{z} και θ\theta ένα όρισμα του zz· όταν πολλαπλασιάζονται δύο μιγαδικοί, τα μέτρα πολλαπλασιάζονται και τα ορίσματα προστίθενται, και όταν διαιρούνται, τα μέτρα διαιρούνται και τα ορίσματα αφαιρούνται. Ειδικότερα, ο πολλαπλασιασμός του zz με eiφe^{i\varphi} διατηρεί το μέτρο του και αυξάνει το όρισμά του κατά φ\varphi: στρέφει το σημείο zz κατά γωνία φ\varphi γύρω από την αρχή, κατά την αντίθετη φορά των δεικτών του ρολογιού αν φ>0\varphi > 0. Ο πολλαπλασιασμός με i=eiπ2i = e^{\frac{i\pi}{2}}, που μελετήθηκε στο μάθημα του πρώτου κύκλου μαθημάτων για τους μιγαδικούς αριθμούς ως στροφή κατά ένα τέταρτο του κύκλου, είναι η περίπτωση φ=π2\varphi = \frac{\pi}{2}.

Και τα σημεία ενός ευθύγραμμου τμήματος περιγράφονται με μιγαδικούς. Σύμφωνα με το μάθημα του πρώτου κύκλου μαθημάτων για τα διανύσματα στο επίπεδο, τα σημεία της ευθείας που διέρχεται από τα z1z_1 και z2z_2 είναι εκείνα της μορφής z1+t(z2−z1)z_1 + t(z_2 - z_1), με tt πραγματικό, και τα σημεία του ευθύγραμμου τμήματος που τα ενώνει αντιστοιχούν σε 0≤t≤10 \leq t \leq 1.

ΛήμμαΜέσο και βαρύκεντρο με μιγαδικούς

Το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος με άκρα z1z_1 και z2z_2 είναι το ημιάθροισμα m=z1+z22m = \frac{z_1 + z_2}{2}. Οι τρεις διάμεσοι ενός τριγώνου με κορυφές z1z_1, z2z_2 και z3z_3 διέρχονται από το σημείο g=z1+z2+z33g = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}, που λέγεται βαρύκεντρο και βρίσκεται σε κάθε διάμεσο στα δύο τρίτα της διαδρομής από την κορυφή προς το μέσο της απέναντι πλευράς. Το λήμμα αποδείχθηκε με διανύσματα στο λυμένο πρόβλημα για τις διαμέσους του μαθήματος του πρώτου κύκλου μαθημάτων για τα διανύσματα στο επίπεδο· η απόδειξη που ακολουθεί το μεταφράζει στους μιγαδικούς. Το σχήμα την παρακολουθεί με τις κορυφές z1=−2−iz_1 = -2 - i, z2=3−iz_2 = 3 - i και z3=2iz_3 = 2i.

Απόδειξη

  1. m=z1+12(z2−z1)=z1+z22\dato{m}{m = z_1 + \resaltar{\frac{1}{2}}(z_2 - z_1) = \resaltar{\frac{z_1 + z_2}{2}}}

    Το σημείο του ευθύγραμμου τμήματος που αντιστοιχεί σε t=12t = \frac{1}{2} είναι το ημιάθροισμα των άκρων.

  2. m−z1=z2−z12=z2−m→∣m−z1∣=∣z2−m∣m - z_1 = \resaltar{\frac{z_2 - z_1}{2}} = z_2 - m \rightarrow \resaltar{\abs{m - z_1} = \abs{z_2 - m}}

    Απέχει εξίσου από τα δύο άκρα, επειδή τα δύο διανύσματα που το ενώνουν με αυτά είναι ίσα: είναι το μέσο.

  3. z3+23(z1+z22−z3)=z1+z2+z33z_3 + \resaltar{\frac{2}{3}} \left( \frac{z_1 + z_2}{2} - z_3 \right) = \dato{g}{\resaltar{\frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}}}

    Στη διάμεσο που ενώνει το z3z_3 με το μέσο της απέναντι πλευράς, το σημείο που αντιστοιχεί σε t=23t = \frac{2}{3} είναι το ακόλουθο.

  4. z1+23(z2+z32−z1)=g=z2+23(z1+z32−z2)z_1 + \frac{2}{3} \left( \frac{z_2 + z_3}{2} - z_1 \right) = \resaltar{g} = z_2 + \frac{2}{3} \left( \frac{z_1 + z_3}{2} - z_2 \right)

    Η έκφραση που προέκυψε είναι συμμετρική ως προς τις τρεις κορυφές· αν αυτό ισχύει, ο ίδιος υπολογισμός με οποιαδήποτε από τις άλλες δύο διαμέσους δίνει το ίδιο σημείο, και οι τρεις διέρχονται από το gg. Με τις κορυφές του σχήματος, g=13g = \frac{1}{3}.

Έτσι, το μέσο είναι ο μέσος όρος δύο μιγαδικών, και το βαρύκεντρο ο μέσος όρος τριών.