معدلات التغير والمعدلات المرتبطة

ملخص

يقرأ هذا الدرس المشتقة بوصفها ما تقيسه في التطبيقات: المعدل الذي تتغير به كمية عندما تتغير كمية أخرى. ويميّز معدل التغير المتوسط واللحظي والنسبي، مع وحدات قياسها، ويصف النمو بمعدل نسبي ثابت. ويدرس الحركة على مستقيم، بالموضع والسرعة والسرعة القياسية والتسارع، ويبرهن على ما تقوله إشارة المشتقة في لحظة ما، وما لا تقوله. وأخيرًا، عندما ترتبط عدة كميات تتعلق بالزمن بعلاقة، فإن قاعدة السلسلة تربط أيضًا معدلات تغيرها: تلك هي المعدلات المرتبطة، التي تُحل مسائلها بطريقة صريحة.

أهداف التعلم

تفسير المشتقة بوصفها معدل تغير لحظيًا، مع وحدات قياسه، وتمييزه من معدل التغير المتوسط ومن النسبي.
وصف حركة مستقيمة بالموضع والسرعة والسرعة القياسية والتسارع، والبرهان على ما تقوله إشارة المشتقة في لحظة ما عن القيم القريبة.
حل مسائل المعدلات المرتبطة بطريقة صريحة، مع تبرير أن الكميات التي تُشتق قابلة للاشتقاق.
ربط معدلات التغير النسبية للجداءات والقوى بالمشتقة اللوغاريتمية، والتسارعات بالمشتقة الثانية لعلاقة.

المشتقة بوصفها معدل تغير

وصل الدرس الخاص بـالمشتقة بوصفها نهاية إلى التعريف نفسه انطلاقًا من سؤالين: ميل المماس والسرعة اللحظية. وكلاهما حالة خاصة من سؤال أعم. فكلما تعلقت كمية بأخرى، كمساحة دائرة بنصف قطرها، أو موضع متحرك بالزمن، أو كتلة قطعة من قضيب بطولها، كان من المفيد معرفة المعدل الذي تتغير به الأولى عندما تتغير الثانية.

تعريفمعدل التغير

لتكن $f$ دالة معرّفة على فترة مفتوحة $I$ ، تعبّر عن كمية $y = f(x)$ بدلالة كمية أخرى $x$ ، ولتكن $a$ و $a + h$ نقطتين من $I$ ، مع $h \neq 0$ . معدل التغير المتوسط للكمية $y$ بالنسبة إلى $x$ بين $a$ و $a + h$ هو خارج القسمة

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}

إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق عند $a$ ، فإن معدل التغير اللحظي (أو باختصار معدل التغير) للكمية $y$ بالنسبة إلى $x$ عند $a$ هو $f'(a)$ ؛ وإذا كان فوق ذلك $f(a) \neq 0$ ، فإن معدل التغير النسبي عند $a$ هو خارج القسمة $\frac{f'(a)}{f(a)}$ .

المعدل المتوسط هو ميل قاطع، واللحظي هو نهايته: ميل المماس. ويُقاس كلاهما بوحدات $y$ لكل وحدة من $x$ : أمتار في الثانية إذا كانت $y$ طولًا و $x$ زمنًا؛ وكيلوغرامات لكل متر إذا كانت $y$ كتلة قطعة من قضيب و $x$ طولها. وفي هذه الحالة الأخيرة، إذا كانت $M(x)$ كتلة القطعة المحصورة بين أحد الطرفين والنقطة الواقعة على بعد $x$ ، فإن معدل التغير $M'(x)$ هو الكثافة الخطية للقضيب عند تلك النقطة: الكتلة لكل وحدة طول التي تكون لقطعة قصيرة جدًا حولها. أما المعدل النسبي فيُقاس بمقلوب وحدات $x$ فقط (لكل ثانية، لكل يوم): لا يتعلق بالوحدة التي تُقاس بها $y$ ، ولذلك يسمح بمقارنة تغير كميات مختلفة الطبيعة أو مختلفة الحجم. إنه المشتقة اللوغاريتمية من الدرس الخاص بـالمتغير في الأس، وكثيرًا ما يُعبَّر عنه بنسبة مئوية: فمعدل نسبي قدره $0{,}03$ لكل يوم يساوي 3 في المئة لكل يوم.

يبيّن مثال هندسي كيف يُقرأ معدل التغير. مساحة الدائرة التي نصف قطرها $r$ هي $A = \pi r^2$ ، ومعدل تغيرها بالنسبة إلى نصف القطر هو $\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}r} = 2\pi r$ ، أي المحيط، كما تطلب التحقق منه المسألة المقترحة 1 من الدرس الخاص بالمشتقة بوصفها نهاية. والسبب واضح: عندما يزداد نصف القطر بمقدار $h$ ، تزداد المساحة بتاج دائري عرضه $h$ ، مساحته تقارب المحيط مضروبًا في $h$ .

قضيةالنمو بمعدل نسبي ثابت

ليكن $y_0 > 0$ و $k \neq 0$ عددين حقيقيين، ولتكن $y(t) = y_0 e^{kt}$ لكل عدد حقيقي $t$ . عندئذ يساوي معدل التغير النسبي للدالة $y$ القيمة $k$ في كل لحظة، ولكل $t$ ولكل $T$ :

y(t + T) = e^{kT} \, y(t)

وعلى الخصوص، إذا كان $k > 0$ ، فإن الكمية تتضاعف في كل فترة زمنية مدتها $\frac{\ln 2}{k}$ ، أيًّا كانت اللحظة التي تبدأ فيها؛ وإذا كان $k < 0$ ، فإنها تنقص إلى النصف في كل فترة مدتها $\frac{\ln 2}{\abs{k}}$ .

البرهان

$y'(t) = y_0 e^{kt} \cdot k = k \, y(t), \qquad \frac{y'(t)}{y(t)} = \resaltar{k}$
بحسب النتيجة الخاصة بالتركيبات مع الدالة الأسية واللوغاريتم، من الدرس الخاص بالمتغير في الأس، مع $u(t) = kt$ ، فإن الدالة $y$ قابلة للاشتقاق على كامل $\mathbb{R}$ ومشتقتها تساوي $k$ مضروبًا في الدالة نفسها، وهي لا تنعدم.
$\frac{y(t + T)}{y(t)} = \frac{y_0 e^{kt} e^{kT}}{y_0 e^{kt}} = \resaltar{e^{kT}}$
بحسب قانون الأسس، لا يتعلق خارج قسمة القيمتين اللتين تفصل بينهما فترة مدتها $T$ بـ $t$ .
$e^{kT} = 2 \Leftrightarrow T = \frac{\ln 2}{k}, \qquad e^{kT} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow T = \resaltar{\frac{\ln 2}{-k}}$
بما أن الدالة الأسية تباينية، فإن خارج القسمة يساوي $2$ إذا وفقط إذا $kT = \ln 2$ ، ويساوي $\frac{1}{2}$ إذا وفقط إذا $kT = -\ln 2$ .

إن مجتمعًا من البكتيريا في وسط بلا قيود، أو كتلة من مادة مشعة، يتغيران، بتقريب جيد، بمعدل نسبي ثابت، والقضية تفسّر لماذا يكون لهما زمن تضاعف ثابت أو عمر نصف ثابت. وكون الدوال $y_0 e^{kt}$ هي الوحيدة ذات المعدل النسبي الثابت $k$ صحيح، لكن برهانه يستلزم معرفة أن الدالة ذات المشتقة المنعدمة على فترة ثابتة، وهذا نتيجة لمبرهنة التزايدات المنتهية من الوحدة اللاحقة.