انتقل إلى المحتوى
Topos Uranos
العربية

معادلة القطع المكافئ: التعاريف والخصائص

ملخص

يعرّف هذا الدرس القطع المكافئ بأنه مجموعة النقاط المتساوية البعد عن نقطة ثابتة، هي البؤرة، وعن مستقيم ثابت، هو المستقيم الدليل، ويستنتج من هذا التعريف معادلته. وبانسحاب التمثيلات البيانية يحصل على معادلة قطع مكافئ رأسه في أي نقطة، ويبيّن أن التمثيلات البيانية لكثيرات الحدود من الدرجة الثانية هي بالضبط القطوع المكافئة ذات المحور الرأسي: فإكمال المربع يعطي رأسها وبؤرتها ومستقيمها الدليل. ويختم بتقاطع القطوع المكافئة مع المستقيمات، وبالمستقيمات المماسة.

أهداف التعلم

  1. صياغة تعريف القطع المكافئ بواسطة البؤرة والمستقيم الدليل، واستنتاج معادلته منه.
  2. سحب التمثيلات البيانية بتعويض xx بـx−hx - h وyy بـy−ky - k.
  3. إيجاد رأس القطع المكافئ وبؤرته ومستقيمه الدليل إذا أُعطي بكثيرة حدود من الدرجة الثانية.
  4. تحديد تقاطع قطع مكافئ مع مستقيم، والمستقيمات المماسة ذات الميل المعطى.

فكرتان تمهيديتان

المسافة بين نقطتين

يقوم تعريف القطع المكافئ على المسافات. وكما رأينا في الدرس الخاص بـمعادلة المستقيم، تُحسب المسافة بين نقطتين من المستوى بمبرهنة فيثاغورس:

d(P1,P2)=(x2−x1)2+(y2−y1)2d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

المسافة بين نقطة (x,y)(x, y) ومستقيم أفقي y=cy = c هي طول القطعة المستقيمة الرأسية التي تصل بينهما، أي الفرق بين yy وcc مأخوذًا بإشارة موجبة. ومن الملائم كتابتها على أنها الجذر التربيعي لمربع هذا الفرق، وهو دائمًا موجب أو منعدم:

(y−c)2\sqrt{(y - c)^2}

انسحاب التمثيلات البيانية

تنص مبرهنة تحويلات التمثيل البياني، التي بُرهنت في الدرس الخاص بـالعمليات على الدوال، على أن التمثيل البياني لـy=f(x−h)+ky = f(x - h) + k هو تمثيل y=f(x)y = f(x) بعد سحبه بمقدار hh وحدات نحو اليمين وبمقدار kk نحو الأعلى. ولا يستعمل برهانها كون المنحنى تمثيلًا بيانيًا لدالة: فهي صالحة لأي معادلة بين xx وyy، لأن النقطة (a,b)(a, b) تحقق المعادلة الأصلية تمامًا عندما تحقق النقطة (a+h,b+k)(a + h, b + k) المعادلة الناتجة عن تعويض xx بـx−hx - h وyy بـy−ky - k. وبهذا ستُسحب معادلات القطوع المكافئة.

مثالسحب قطع مكافئ

الانطلاق من التمثيل البياني لـy=x2y = x^2 وسحبه بمقدار واحد نحو اليمين وبمقدار واحد نحو الأعلى.

البرهان

  1. y=x2y = x^2

    أدنى نقطة في التمثيل البياني الأصلي هي الأصل.

  2. y=(x−1)2y = (x - \resaltar{1})^2

    نعوّض xx بـx−1x - 1: تنزاح كل نقطة بمقدار واحد نحو اليمين، وتنتقل أدنى نقطة إلى (1,0)(1, 0).

  3. y−1=(x−1)2y - \resaltar{1} = (x - 1)^2

    ونعوّض أيضًا yy بـy−1y - 1: يرتفع التمثيل البياني بمقدار واحد وتنتقل أدنى نقطة إلى (1,1)(1, 1).