حل المثلثات: قانون الجيوب وقانون جيوب التمام

الترميز والحقائق المسبقة

في الدرس عن النسب المثلثية عُرِّف جيب الزاوية الحادة وجيب تمامها وظلها بأنها نسب بين أضلاع مثلث قائم، ثم مُدِّدت إلى كل زاوية بواسطة دائرة الوحدة. ولذلك يُحلّ المثلث القائم بتلك النسب وبمبرهنة فيثاغورس. غير أن معظم المثلثات التي تظهر في الهندسة وفي مسح الأراضي ليس فيها أي زاوية قائمة؛ والغرض من هذا الدرس هو حلّها جميعًا.

في مثلث رؤوسه $A$ و$B$ و$C$، يدل الحرف الكبير نفسه على الرأس وعلى قياس الزاوية الداخلية للمثلث عند ذلك الرأس، ويدل الحرف الصغير المقابل له على طول الضلع المقابل: $a$ طول الضلع $BC$، و$b$ طول الضلع $CA$، و$c$ طول الضلع $AB$. ويُرمز إلى مساحة المثلث بـ$S$، وإلى المسافة بين نقطتين $P$ و$Q$ بـ$\operatorname{d}(P, Q)$. وكما جرت العادة في حلّ المثلثات، تُعبَّر الزوايا بالدرجات. غير أن الدوال المثلثية معرّفة على الأعداد الحقيقية، وهي قياسات بالراديان؛ وبحسب قاعدة التحويل في الدرس عن الزوايا وقياسها، فإن الزاوية التي قياسها $g$ درجة قياسها $\frac{\pi g}{180}$ راديان، ويُعتمد الاصطلاح الآتي: $\sin g^\circ$ يدل على $\sin \frac{\pi g}{180}$، وكذلك سائر الدوال؛ مثلًا $\cos 60^\circ = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$. وبالمثل، فإن قوس جيب التمام، الذي يأخذ قيمه في $\icc{0}{\pi}$، يعيد قياس زاوية بالراديان، ويُعبَّر عنه بالدرجات: فالمساواة $\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = 120^\circ$ تعني أن $\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{2\pi}{3}$، أي القياس بالراديان لزاوية قياسها $120^\circ$. وبهذا الاصطلاح يصحّ كل ما يلي بالراديان أيضًا، إذا عُوِّض عن $180^\circ$ بـ$\pi$. ونسلّم، كما في الدرس عن الزوايا وقياسها، بحقيقة من الهندسة الأولية لا تبرهنها هذه الدورة لأنها لا تطوّر الهندسة التركيبية: مجموع زوايا المثلث الثلاث يساوي زاويتين قائمتين.

ومن ذلك ينتج أن كل زاوية من زوايا المثلث تقع تمامًا بين $0^\circ$ و$180^\circ$، وأن واحدة منها على الأكثر قائمة أو منفرجة. وتُستعمل فضلًا عن ذلك الحقائق الآتية من الدروس التي سبقت في هذه الوحدة:

• النقطة التي تقع على بُعد $r$ من الأصل، على نصف المستقيم الذي يصنع الزاوية $\theta$ مع نصف محور الفواصل الموجب، إحداثياها $\left( r \cos \theta, r \sin \theta \right)$: إنها نقطة دائرة الوحدة المقابلة لـ$\theta$، مضروبة في $r$.
• المتطابقة الفيثاغورية، $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$، وتناظرا الزاوية المكمّلة، $\sin \left( 180^\circ - \theta \right) = \sin \theta$ و$\cos \left( 180^\circ - \theta \right) = -\cos \theta$.
• إذا كان $0^\circ < \theta < 180^\circ$، فإن جيب $\theta$ موجب؛ وجيب التمام موجب إذا كانت $\theta$ حادة، ومنعدم إذا كانت قائمة، وسالب إذا كانت منفرجة.
• جيب التمام متناقص تمامًا بين $0^\circ$ و$180^\circ$، ويأخذ في هذه الفترة كل قيمة بين $-1$ و$1$ مرة واحدة بالضبط؛ ولذلك، وبحسب الدرس عن الدوال المثلثية العكسية، تتحدد زاوية المثلث بجيب تمامها، $\theta = \arccos x$.

أما الجيب فلا يحدد زاوية المثلث: فالزاويتان $\theta$ و$180^\circ - \theta$ لهما الجيب نفسه، ودالة قوس الجيب لا تعيد إلا الحادة منهما. وهذا اللاتناظر بين الجيب وجيب التمام سيفسّر، في القسم قبل الأخير، لماذا تقبل بعض المعطيات مثلثين مختلفين.