توصيف القطوع المكافئة وتمثيلاتها البيانية

شكلا المعادلة

رأينا في الدرس الخاص بـمعادلة القطع المكافئ أن القطع المكافئ ذا المحور الرأسي الذي رأسه $(h, k)$ وبؤرته $(h, k + f)$ ومستقيمه الدليل $y = k - f$، حيث $f \neq 0$، يحقق المعادلة التي سنسميها هنا شكل الرأس؛ والقيمة المطلقة لـ$f$ هي البعد البؤري، وإشارته تبيّن الجهة التي ينفتح نحوها المنحنى:

وقد بُرهن أيضًا، في مبرهنة التمثيلات البيانية لكثيرات الحدود من الدرجة الثانية، أن هذه المعادلة تصير، عند عزل $y$، كثير حدود تربيعيًا، وأن التمثيل البياني لكل كثير حدود تربيعي هو، عكسيًا، قطع مكافئ ذو محور رأسي. وسنسمي الشكل الحدودي المعادلة

كلاهما يصف المنحنى نفسه، لكنهما لا يُظهران المعلومات نفسها: فشكل الرأس يُبرز الهندسة (الرأس، والبؤرة، والمستقيم الدليل)، في حين يُبرز الشكل الحدودي نقطة التقاطع مع المحور $y$، وهي $(0, c)$، ويتيح حساب نقاط التقاطع مع المحور $x$ بحل معادلة تربيعية. وتوصيف القطع المكافئ هو جمع المعطيات الآتية، التي يُرسم بها تمثيله البياني رسمًا تقريبيًا:

1. جهة الانفتاح: نحو الأعلى أو نحو الأسفل.
2. الرأس ومحور التناظر.
3. البؤرة والمستقيم الدليل.
4. نقاط التقاطع مع المحور $x$، إن وُجدت، ونقطة التقاطع مع المحور $y$.