المتجهات في الفضاء والجداء السلمي

ملخص

ينقل درسنا هذا إلى الفضاء الثلاثي الأبعاد المتجهاتِ التي درسها الدرس الخاص بالمتجهات في المستوى بإحداثيين. فيثبّت نظامًا من ثلاثة محاور متعامدة ذا توجيه موجب، ويعلن حقائق الهندسة الإقليدية في الفضاء التي تُقبل، ويستخرج المسافة بين نقطتين بتطبيق مبرهنة فيثاغورس مرتين. ويعرّف المتجهات بوصفها ثلاثيات من الأعداد الحقيقية، مع جمعها وضربها في عدد والأساس القانوني ووحدانية الإحداثيات؛ ويعرّف النظيم والجداء السلمي، ويبرهن خصائصهما ومتباينة كوشي-شفارتز بواسطة المميز والمتباينة المثلثية، ويعرّف بهما الزاوية بين متجهين، التي تنطبق على زاوية الهندسة الأولية. ثم يدرس التعامد والإسقاط العمودي وجيوب تمام الاتجاه وكتابة الجداء السلمي جداءً لصف في عمود، وهي كتابة يُستنتج منها أن المصفوفات ذات الأعمدة الواحدية المتعامدة تحفظ الأطوال والزوايا. والتطبيقات هي شغل قوة، وقانون جيوب التمام في الفضاء، وزاوية جزيء الميثان؛ وتتناول المسائل قطري المكعب ومتوازي السطوح، والمتجهات العمودية على متجهين معلومين، وتوترات ثلاثة كوابل، ورباعيات الأوجه ذات الأحرف المتقابلة المتعامدة.

أهداف التعلم

تعيين نقاط في نظام إحداثيات ديكارتية في الفضاء، والتعرف على الثُّمن الذي تقع فيه، وحساب المسافات مع تعليل الصيغة بمبرهنة فيثاغورس.
إجراء العمليات على متجهات الفضاء، والتعبير عنها في الأساس القانوني، وبرهنة خصائص متوازيات الأضلاع ومتوازيات السطوح ورباعيات الأوجه بواسطتها.
حساب النظيمات والجداءات السلمية والزوايا والإسقاطات العمودية وجيوب تمام الاتجاه، وبرهنة متباينة كوشي-شفارتز والمتباينة المثلثية في الفضاء.
كتابة الجداء السلمي جداءً لمصفوفات، والحكم بواسطته على ما إذا كانت مصفوفة ما تحفظ الأطوال والزوايا.
نمذجة شغل قوة وتوازن قوى متلاقية وزوايا جزيء بواسطة الجداء السلمي.

نظام الإحداثيات في الفضاء

في دورة الجبر والهندسة 1، في درسها الخاص بـالمتجهات في المستوى، طوبقت كل نقطة من المستوى مع زوج من الأعداد وكل إزاحة مع زوج آخر، وتُرجمت هندسة المستقيمات والزوايا والمسافات إلى حسابات بتلك الأزواج. غير أن العالم الفيزيائي ثلاثي الأبعاد: فموضع طائرة، أو موضع ذرة في جزيء، أو موضع مصباح معلّق في السقف، يتطلب ثلاثة أعداد. وإذا كان الأمر كذلك، فمن المناسب أن نعيد البناء بالثلاثيات. ومعظم ما بُرهن في المستوى يمتد دون تغيير، لأن البراهين كانت تعمل مركبةً مركبة أو لا تستعمل إلا الخصائص الجبرية للجداء السلمي؛ وفي هذه الحالات يحيل درسنا هذا إلى درس المستوى. أما ما يتطلب الحذر فهو الهندسة: ففي الفضاء لا يتاح رسم مستوٍ يحوي كل شيء، والزاوية بين متجهين، مثلًا، يجب أن تُعرَّف قبل أن تُحسب.

حقائق الهندسة الإقليدية في الفضاء المقبولة

تترجم الهندسة التحليلية في الفضاء هندسة المجسمات، التي عرضها إقليدس في الكتب من الحادي عشر إلى الثالث عشر من الأصول. وبناؤها المسلَّماتي يتجاوز هذه الدورة، كما حدث مع بناء هندسة المستوى في الدرس الخاص بـمعادلة المستقيم، حيث جُمعت في قائمة حقائق الهندسة المستوية المقبولة. وعلى النحو نفسه، تُقبل دون برهان حقائق الفضاء التي تستعملها هذه الوحدة، وتُجمع في القائمة الآتية؛ وكلما لجأ درس من دروس الوحدة إلى إحداها، أحال إليها.

المستويات. يمر بثلاث نقاط غير مستقيمية مستوٍ وحيد، وإذا وقعت نقطتان من مستقيم في مستوٍ، وقع المستقيم كله فيه. وفي كل مستوٍ من الفضاء تصح حقائق الهندسة المستوية المقبولة في الدرس الخاص بمعادلة المستقيم؛ وبخاصة مبرهنة فيثاغورس وعكسها، وحرية اختيار نظام محاور فيه.
المستقيمات والمستويات المتعامدة. يمر بكل نقطة مستوٍ وحيد عمودي على مستقيم معلوم، ويقطع هذا المستوى المستقيمَ في نقطة وحيدة. والمستقيم العمودي على مستوٍ عمودي على جميع مستقيمات المستوى التي تمر بالنقطة التي يقطعه فيها.
المحاور. ثلاثة مستقيمات تمر بنقطة $O$ وكل اثنين منها متعامدان، مع اتجاه موجب على كل منها ووحدة الطول نفسها، تكوّن نظام محاور. والمسافات والزوايا والأشكال لا تتعلق بهذا الاختيار.
الإحداثيات. إذا ثُبّت نظام محاور، فإن المستويات العمودية على المحاور الثلاثة المرسومة من نقطة $P$ تقطعها في النقاط التي فواصلها على الترتيب $x$ و $y$ و $z$ ، وبالعكس، لكل ثلاثية من الأعداد تتقاطع هذه المستويات الثلاثة في نقطة وحيدة. والنقاط التي إحداثيها الثالث يساوي $c$ تكوّن مستويًا عموديًا على المحور $z$ ، يكون فيه الإحداثيان الأولان إحداثيين ديكارتيين للمستوى بوحدة الطول نفسها؛ والنقاط ذات الإحداثيين الأولين الثابتين تكوّن مستقيمًا موازيًا للمحور $z$ ، عموديًا على ذلك المستوى، يقيس عليه الإحداثي الثالث الموضعَ بوحدة الطول نفسها. ويصح الأمر نفسه بعد تبديل المحاور.

الحقيقة الرابعة نتيجة للثلاث الأولى، تبرهنها هندسة المجسمات بخصائص المستقيمات المتوازية والمستويات المتوازية؛ وتُصاغ على حدة لأن هذه هي الصيغة التي ستُستعمل بها.

نظام الإحداثيات الديكارتية في الفضاء هو نظام محاور، تسمى المحور $x$ والمحور $y$ والمحور $z$ ، تتقاطع في الأصل $O$ . وتُطابَق كل نقطة $P$ مع ثلاثية إحداثياتها، $P = (x, y, z)$ ، التي تسمى الفاصلة والترتيبة والراقم. والمستويات الإحداثية الثلاثة هي المستوى $xy$ ، ومعادلته $z = 0$ ؛ والمستوى $yz$ ، ومعادلته $x = 0$ ؛ والمستوى $xz$ ، ومعادلته $y = 0$ .

تقسم المستويات الإحداثية الفضاء إلى ثماني مناطق، تسمى الأثمان، بحسب إشارة كل إحداثي؛ والثُّمن الأول هو ثُمن النقاط ذات الإحداثيات الثلاثة الموجبة، وتُسمّى الأثمان الأخرى بثلاثية إشاراتها، مثل الثُّمن $(+, -, +)$ . وفي المستوى يمكن ترتيب محورين متعامدين بطريقتين مختلفتين جوهريًا: يُحصل على المحور الثاني بتدوير الأول ربع دورة عكس اتجاه عقارب الساعة، أو في اتجاهها. وفي الفضاء يحدث الأمر نفسه مع المحاور الثلاثة، وللتمييز بينهما اسم.

يكون لنظام إحداثيات في الفضاء التوجيه الموجب إذا رُئي، من الجهة الموجبة للمحور $z$ ، ربعُ الدورة الذي ينقل نصف المحور الموجب $x$ إلى نصف المحور الموجب $y$ عكسَ اتجاه عقارب الساعة. وبصورة مكافئة، تتحقق قاعدة اليد اليمنى: إذا انثنت أصابع اليد اليمنى من نصف المحور الموجب $x$ نحو نصف المحور الموجب $y$ ، أشار الإبهام إلى نصف المحور الموجب $z$ .

إذا عُكس اتجاه أحد المحاور تغيّر التوجيه؛ وإذا عُكس اتجاه اثنين منها حُفظ. وعند تبديل المحاور تبديلًا دائريًا، من $x$ و $y$ و $z$ إلى $y$ و $z$ و $x$ ، لا يتغير التوجيه أيضًا، بحيث يكون الدوران، في نظام موجب وعند النظر من نصف المحور الموجب $x$ ، من $y$ إلى $z$ عكس اتجاه عقارب الساعة كذلك. وفيما يأتي، لجميع الأنظمة توجيه موجب. وترسمها الأشكال بالمنظور الفارسي: المحور $y$ نحو اليمين، والمحور $z$ نحو الأعلى، والمحور $x$ نحو الناظر، مرسومًا قطريًا وأطواله مختزلة إلى النصف. ولا يتدخل التوجيه في درسنا هذا؛ وسيكون أساسيًا في الدرس الآتي، الخاص بـالجداء المتجهي والجداء المختلط.

مثالتعيين نقطة في الفضاء

عيّن النقطة $P = (3, 4, 2)$ بالسير على المحاور، وحدّد الثُّمن الذي تقع فيه، ثم عيّن النقطة $P_1 = (3, 4, -2)$ .

البرهان

$O = \left( 0, 0, 0 \right)$
نرسم المحاور الثلاثة بتوجيه موجب: عند النظر من الأعلى، يكون ربع الدورة من نصف المحور الموجب $x$ إلى نصف المحور الموجب $y$ عكس اتجاه عقارب الساعة.
$A = \left( \resaltar{3}, 0, 0 \right)$
نتقدم $3$ وحدات على المحور $x$ .
$B = \left( 3, \resaltar{4}, 0 \right)$
من $A$ ، نتقدم $4$ وحدات في اتجاه المحور $y$ ، دون الخروج من المستوى $xy$ .
$P = \left( 3, 4, \resaltar{2} \right)$
من $B$ ، نصعد $2$ وحدة في اتجاه المحور $z$ . الإحداثيات الثلاثة موجبة: تقع $P$ في الثُّمن الأول، وهي الرأس المقابل للرأس $O$ في متوازي المستطيلات الذي أحرفه $3$ و $4$ و $2$ .
$P_1 = \left( 3, 4, \resaltar{-2} \right)$
إذا نزلنا من $B$ مسافة $2$ وحدة وصلنا إلى $P_1$ ، في الثُّمن $(+, +, -)$ . والمستوى $xy$ يقطع القطعة المستقيمة $P P_1$ عموديًا في منتصفها، $B$ : $P_1$ هي نظيرة $P$ بالنسبة إلى ذلك المستوى.

المسافة بين نقطتين

في المستوى، حُصل على المسافة بين نقطتين بتطبيق مبرهنة فيثاغورس مرة واحدة على مثلث ضلعاه القائمان موازيان للمحورين. وفي الفضاء يلزم تطبيقها مرتين: أولًا في مستوٍ أفقي ثم في مستوٍ رأسي.

مبرهنةالمسافة بين نقطتين

المسافة بين النقطتين $P = (x_1, y_1, z_1)$ و $Q = (x_2, y_2, z_2)$ تعطيها الصيغة الآتية.

\operatorname{d}(P, Q) = \sqrt{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2 + \left( z_2 - z_1 \right)^2}

نُدخل نقطة مساعدة $R$ ، على ارتفاع $P$ وعلى الخط الرأسي المار بـ $Q$ . ويستعمل الرسم $P = (1, 2, 1)$ و $Q = (3, 5, 7)$ .

البرهان

$R = \left( x_2, y_2, \resaltar{z_1} \right)$
لتكن $R$ النقطة التي لها الإحداثيان الأولان للنقطة $Q$ والراقم للنقطة $P$ . النقطتان $P$ و $R$ في المستوى الذي راقمه $z_1$ ، و $R$ و $Q$ على المستقيم الموازي للمحور $z$ المكوَّن من النقاط ذات الإحداثيين الأولين $x_2$ و $y_2$ .
${\operatorname{d}(P, R)}^2 = \dato{pr}{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2}$
بحقيقة الإحداثيات، يكون الإحداثيان الأولان ديكارتيين في المستوى الذي راقمه $z_1$ ، وصيغة المسافة في المستوى، من الدرس الخاص بمعادلة المستقيم، تعطي طول $PR$ . وفي الرسم، $4 + 9 = 13$ .
$\operatorname{d}(R, Q) = \dato{rq}{\abs{z_2 - z_1}}$
على المستقيم الرأسي الذي يحوي $R$ و $Q$ ، يقيس الراقم الموضع: طول $RQ$ هو القيمة المطلقة لفرق الراقمين. وفي الرسم، $7 - 1 = 6$ .
${\operatorname{d}(P, Q)}^2 = \resaltar{{\operatorname{d}(P, R)}^2} + \resaltar{{\operatorname{d}(R, Q)}^2}$
المستقيم $RQ$ عمودي على المستوى الذي راقمه $z_1$ ، وبالحقيقة المقبولة الثانية، على المستقيم $PR$ ، الواقع في ذلك المستوى والمار بـ $R$ . فالمثلث $PRQ$ قائم في $R$ ، وبالحقيقة الأولى تصح مبرهنة فيثاغورس في المستوى الذي يحويه.
$\operatorname{d}(P, Q) = \sqrt{\resaltar{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2} + \resaltar{\left( z_2 - z_1 \right)^2}}, \qquad \sqrt{13 + 36} = 7$
نعوّض ونستخرج الجذر التربيعي. إذا كانت $P = R$ أو $R = Q$ ، فلا مثلث، لكن الصيغة تؤول إلى صيغة واحدة فقط من المسافتين وتبقى صحيحة. وفي الرسم، المسافة هي $7$ .

وبخاصة، مسافة $P = (x, y, z)$ عن الأصل هي $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ ، طول قطر متوازي المستطيلات الذي أحرفه $\abs{x}$ و $\abs{y}$ و $\abs{z}$ . فمثلًا، قطر مكعب طول حرفه $a$ يساوي $\sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a \sqrt{3}$ .

في بقية هذا الدرس

المتجهات في الفضاء
الثلاثيات والأسهم والعمليات
التركيبات الخطية والأساس القانوني
النظيم والجداء السلمي
النظيم
الجداء السلمي
متباينة كوشي-شفارتز والمتباينة المثلثية
الزاوية بين متجهين
التعامد
الإسقاط العمودي
جيوب تمام الاتجاه
الجداء السلمي والمصفوفات
تطبيقات
شغل قوة
قانون جيوب التمام في الفضاء
زاوية جزيء الميثان
مسائل محلولة
الزاوية بين قطرين لمكعب
أقطار متوازي السطوح
المتجهات الواحدية المتعامدة مع متجهين معلومين
توترات ثلاثة كوابل
رباعيات أوجه ذات أحرف متقابلة متعامدة
مسائل مقترحة
نصف المحور الأبعد
متباينة بين متوسطات
طائرة مع ريح جانبية
الزاوية الرباعية الأوجه دون إحداثيات
النشر في أساس متعامد ومنظَّم