القوى ذات الأسس النسبية والجذور

القوى ذات الأس النسبي

في الدرس الخاص بـالمجموعات العددية عُرّفت القوى ذات الأس الصحيح والجذر الرئيسي: من أجل عدد طبيعي $n \geq 2$ وعدد حقيقي $b \geq 0$، العدد $\sqrt[n]{b}$ هو العدد الحقيقي غير السالب الوحيد الذي قوته ذات الرتبة $n$ تساوي $b$. وهناك بُرهنت، من أجل أساسات نسبية، قوانين القوى ذات الأس الصحيح؛ وبراهينها لا تستعمل إلا خواص الجمع والضرب، فهي صالحة كذلك من أجل أساسات حقيقية. وهناك أيضًا بُرهنت وحدانية الجذر الرئيسي، التي يتوقف عليها كل ما يأتي، وقُبل وجوده، وهو نتيجة لتمام الأعداد الحقيقية وقد بُرهن في الدرس الخاص بـالمستقيم الحقيقي.

القوى والجذور عمليتان عكسيتان، ومن المفيد جمعهما في ترميز واحد. فإذا كان قانون قوة القوة ينبغي أن يبقى صالحًا للأسس الكسرية أيضًا، فإن العدد $a^{\frac{1}{q}}$ يجب أن يحقق $\left(a^{\frac{1}{q}}\right)^q = a^1 = a$؛ أي يجب أن يكون جذرًا ذا دليل $q$ للعدد $a$، والاختيار الطبيعي هو الجذر الرئيسي. وبالمثل، ينبغي أن يكون $a^{\frac{p}{q}}$ القوة ذات الرتبة $p$ للعدد $a^{\frac{1}{q}}$، أو الجذر ذا الدليل $q$ للعدد $a^p$. وهذه الملاحظة لا تبرهن شيئًا، لأنها تفترض القوانين المراد الحصول عليها؛ إنما توحي بالتعريف.

تعريف (القوة ذات الأس النسبي). ليكن $a > 0$ عددًا حقيقيًا، و$p$ عددًا صحيحًا، و$q$ عددًا طبيعيًا. القوة ذات الأس النسبي $a^{\frac{p}{q}}$ هي الجذر الرئيسي ذو الدليل $q$ للعدد $a^p$. ومن أجل $q = 1$ يُفهم أن الجذر ذا الدليل $1$ لعدد هو العدد نفسه، فيتطابق التعريف مع تعريف القوة ذات الأس الصحيح.

الجذر موجود لأن $a^p$ موجب، وهو موجب للسبب نفسه: لو كان منعدمًا لانعدمت قوته ذات الرتبة $q$ أيضًا. مثلًا، $8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{64} = 4$ و$27^{-\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{1}{3}$. وفي المثال الأول نحصل على النتيجة نفسها إذا استخرجنا الجذر أولًا ثم رفعنا إلى القوة، لأن $\left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4$؛ فترتيب العمليتين لا أهمية له.

التعريف لا يتوقف على الكسر

يُكتب العدد النسبي الواحد بكسور كثيرة: $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6}$. والتعريف السابق يُصاغ بكسر معيّن، ولا شيء يضمن مسبقًا أن كتابتين للأس نفسه تعطيان العدد نفسه؛ مثلًا، $2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$، في حين أن $2^{\frac{2}{4}} = \sqrt[4]{4}$. ولو أعطتا عددين مختلفين لما كان للرمز $a^x$ معنى من أجل عدد نسبي $x$، بل لكل كسر من كسوره فقط.

إذن، من أجل كل عدد نسبي $x$ يكون العدد $a^x$ معرّفًا جيدًا: يُكتب $x$ كسرًا بأي طريقة، والنتيجة هي نفسها دائمًا. وبخاصة، يمكن كتابة كل أس نسبي بمقام طبيعي، ويمكن كتابة أسّين بمقام مشترك، وهو ما يُستعمل في البراهين اللاحقة.

الفرض $a > 0$ ليس نزوة. فمع أساس سالب يوجد الجذر ذو الدليل الفردي، لكن النتيجة ستتوقف على الكسر: $\sqrt[3]{-8} = -2$، في حين أن $\sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2$، مع أن $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$. ولذلك لا تُعرَّف قوى ذات أس نسبي لأساس سالب، ويُكتب الجذر للأعداد السالبة، مثل $\sqrt[3]{-8}$. ومع الأساس المنعدم يُعرَّف $0^x = 0$ من أجل كل عدد نسبي $x > 0$، ولا تُعرَّف الأسس السالبة ولا المنعدمة.

قوانين الأسس النسبية

بعد أن تأكّد التعريف، نتحقق من أن قوانين القوى ذات الأس الصحيح تبقى صالحة.

من القانون الأول تنتج النتيجتان: بما أن $a^x \cdot a^{-x} = a^0 = 1$، فإن العدد $a^{-x}$ هو مقلوب $a^x$، ومن ثَمّ $\frac{a^x}{a^y} = a^x \cdot a^{-y} = a^{x - y}$. وتسمح القوانين بالحساب بالأسس النسبية كما بالصحيحة. مثلًا:

القوى ذات الأس النسبي والترتيب

في الدرس الخاص بالمجموعات العددية بُرهن، وفي الدرس الخاص بـالمستقيم الحقيقي طُبّق على المتباينات، أن القوى ذات الأس الطبيعي تحافظ على ترتيب الأعداد غير السالبة: إذا كان $0 \leq u < v$ فإن $u^n < v^n$. والقوى ذات الأس النسبي ترث هذه الخاصية بالنسبة إلى الأساس، وتضيف خاصية أخرى بالنسبة إلى الأس، يتوقف اتجاهها على كون الأساس أكبر أو أصغر من $1$.

ستُدرس منحنيات دوال القوة بالتفصيل في الدرس الخاص بـالدوال الجبرية؛ ويكفي هنا نوعا الرتابة، اللذان سيُستعملان لمقارنة الأعداد.