Labor et Energia Mechanica

Summarium:
Huic seriei lectionum incumbemus ad investigandam rationem quae inter laborem, energiam et nonnullas eius formas exsistit: kineticam et potentialem. Ex his analysibus computabimus spatium inhibitionis mobilis, quod, cum celeritate initiali profectum, usque ad stationem progreditur, atque etiam simpliciabimus studium casus liberi.

Proposita Discendi
Post hanc lectionem discipulus poterit:

1. Intellegere rationem inter laborem et energiam kineticam.
2. Applicare Theorema Virium Vivarum ad intellegendam variationem energiae kineticae.
3. Explicare notionem energiae potentialis eiusque relationem cum positione obiecti in campo gravitatorio.

INDEX
Labor et Energia kinetica
Relatio inter laborem et energiam kineticam
Energia kinetica et spatium inhibitionis
Labor et Energia potentialis
Energia potentialis et casus liber

Labor et Energia Kinetica

Cum vim in massam applicamus, sentimus nos aliquid systemati addere; intuitive dicimus nos “energiam addere”, quamquam hoc non necessario verum est. Si vis non sufficit ad frangendum attritum staticum, tum non licet dicere utrum massa mutata sit necne. Certe aliquid systemati addimus, “conatum” ut ita dicamus, sed etiam verum est quod attritus staticus hunc “conatum” in sensu opposito et complementario reddit. Attamen, cum attritus staticus rumpitur, tunc fieri potest mutationem in systemate discernere: nunc in statu motus diverso versatur. Ad producendum illum novum statum motus, necesse est “aliquid novum” systemati addere: hoc “aliquid” est quod vocamus energiam kineticam.

Iam duas magnitudines physicas habemus quae statum obiecti physici, vel systematis, describunt: momentum lineare quod bene novimus, quod statum motus repraesentat, et energiam kineticam quam incipiemus investigare et quae, ad praesens, repraesentabit quid nos addere debuerimus ut corpus vel systema ex quiete ad illum statum motus perduceremus.

Relatio inter laborem et energiam kineticam

Redeamus ad massam et vim quae eam in motum ponit. Si vis motum non producit, dicimus nihil systemati additum esse, dum si producit, dicimus energiam kineticam addi. Cum motus producitur, corpus necessario certam trajectoriam percurrit et dum id facit, vis energiam addet. Hanc actionem addendi vel detrahendi energiam kineticam “laborem mechanicum efficere” appellabimus, ita definimus elementum laboris mechanici dW per aequationem

\begin{array}{lr} dW =\vec{F} \cdot d\vec{r} & (1) \end{array}

ubi \vec{F} est vis applicata et d\vec{r} est elementum translationis super quod vis egit. Cum haec vis applicetur corpori massae m, utens secunda lege Newtoni scribere possumus

\begin{array}{lr} \displaystyle\vec{F} =\frac{d\vec{p}}{dt} = m\frac{d\vec{v}}{dt} & (2) \end{array}

Itaque, ex aequationibus (1) et (2) habebitur

\begin{array}{llr} dW & \displaystyle =m\frac{d\vec{v}}{dt} \cdot d\vec{r} = m\frac{d\vec{r}}{dt} \cdot d\vec{v} = m\vec{v} \cdot d\vec{v} & (3) \end{array}

Integrando hanc ultimam expressionem ad obtinendum laborem totum effectum habebitur:

\begin{array}{llr} W & = \displaystyle {\int_{i}^{f}} m\vec{v} \cdot d\vec{v} = \left.\frac{1}{2}m \|\vec{v}\|^2 \right|_i^f & \\ \\ & \displaystyle = \frac{1}{2}m \|\vec{v}_f\|^2 - \frac{1}{2}m\|\vec{v}_i\|^2 & (4) \end{array}

Ex hoc ratiocinio videre possumus laborem mechanicum aequivalere differentiae eiusdem magnitudinis in duobus statibus diversis, alteri correspondentis statui finali et alteri initiali. Talis magnitudo respondet ei quod addendum (vel detrahendum) fuit ad statum motus mutandum et est quod vocamus Energiam Kineticam, atque proinde definitur per aequationem:

\begin{array}{llr} E_{cin} & \displaystyle = \frac{1}{2}m\|\vec{v}\|^2 & (5) \end{array}

Itaque habetur

\begin{array}{llr} W & = \Delta E_{cin} & (6) \end{array}

Hoc ultimum est quod notum est ut Theorema Virium Vivarum.

Exercitium a) Vehiculum sicut KIA Rio 5 pondus habet circiter 1.580 kg. Finge te hoc vehiculo in urbe moderata celeritate 50 km/h vehi et ad semaphorum rubrum occurrere. Ut consistat, vehiculum hanc energiam per systema frenorum dissipare debet. Deinde, ut celeritatem recipiat, energiam ex combustibili per motorem obtinere debet. Si semaphorum viride fuisset, frena non necessaria fuissent, ita energia servata esset. Computa quantitatem energiae servatae si semaphorum viride est. b) Repete computationes partis prioris, sed nunc suppone te celeritate minus moderata 70 km/h vehere. Expone impensum extra energiae in forma centesimorum.

Energia Kinetica et Spatium Inhibitionis

Error valde communis a gubernatoribus committitur est putare spatium inhibitionis directe proportionale esse celeritati: si duplicamus celeritatem, etiam duplicatur spatium inhibitionis. In hac sectione recognoscemus errorem post talem intuitionem et demonstrabimus spatium inhibitionis re vera proportionale esse quadrato celeritatis.

Supponamus nos habere massam m super plano horizontali moventem cum celeritate initiali v_i\hat{x} ubi est coefficiens attritus kinetici \mu_c. Ex hoc videmus esse vim attritus motui oppositam \vec{F}_{roce}=-\mu_c mg\hat{x} quae aget donec corpus quiescat postquam spatium inhibitionis x_{fre} percucurrerit. Labor ab hac vi effectus datur per:

\displaystyle W_{roce}= \int_{0}^{x_{fre}} \vec{F}_{roce} \cdot d\vec{l} = \int_{0}^{x_{fre}} -\mu_c mg dx = -\mu_cmgx_{fre}

Ex altera parte, variatio energiae kineticae corporis quod incipit cum celeritate initiali v_i et ad quietem pervenit relicta velocitate finali v_f=0 est:

\displaystyle \Delta E_{cin}= \frac{1}{2}m (\underbrace{\color{red}{v_f^2}}_{= 0} - v_i^2) = - \frac{1}{2}mv_i^2

Ita, si tota energia kinetica ab attritu dissipatur donec corpus ad quietem perducatur, habebitur:

\displaystyle \begin{array}{rrl} & W_{roce} & \displaystyle = \Delta E_{cin} \\ \\ \equiv & -\mu_cmg x_{fre} & \displaystyle = - \frac{1}{2}mv_i^2 \\ \\ \equiv & x_{fre} & = \frac{1}{2} \frac{v_i^2}{\mu_c g} \end{array}

Ex hoc habetur quod demonstrandum erat, spatium inhibitionis esse proportionale celeritati in quadratum.

Exercitium Massula 300[kg] movetur cum celeritate 15[km/h] super plano horizontali. Si inter planum horizontale et massam est attritus kineticus \mu_c=0,67. Computa spatium quod massa percurrit donec omnino consistat.

Labor et Energia Potentialis

Imaginemos nos habere corpus massae m quod cadit ex altitudine h_i ad altitudinem finalem h_f ( cum h_f \leq h_i ). Tunc habebimus laborem a vi gravitatis effectum esse huiusmodi:

\displaystyle W_g = \int_{h_i}^{h_f} \vec{F}_g \cdot d\vec{l} = \int_{h_i}^{h_f} -mgdz = -mg(h_f - h_i)

Ex hoc habemus quod, si altitudo initialis est h_i = h et altitudo finalis est in plano terrae h_f = 0, tunc habebitur:

\displaystyle W_g = -mg(0 - h) = mgh

Ex hoc habemus quod, cum corpus cadit ex altitudine h, dimittitur energia cum eius positione relativa in spatio coniuncta. Hanc energiam appellamus Energia Potentialis.

\displaystyle \begin{array}{rr}{E_{pot} = mgh} & (7)\end{array}

Energia Potentialis et Casus Liber

Reminiscamur problema casus liberi. Utendo nunc energia potentiali et kinetica quam investigavimus, possumus celeritatem casus reperire multo simpliciori modo. Energia est alia ex illis magnitudinibus physicis quae naturam conservativam habent; id est, non creatur nec destruitur, sed tantum transformatur. Cum corpus ad altitudinem h supra terram positum est, cum hoc cadit per actionem gravitatis usque ad terram, energia eius potentialis non evanescit, sed in aliam formam energiae mutatur: in energiam motus, ita ut habeatur:

\begin{array}{rl} E_{pot,inicial} & = E_{cin, final} \\ \\ mgh &\displaystyle = \frac{1}{2}mv^2 \\ \\ v^2 & = 2gh \\ \\ v& =\sqrt{2gh}\end{array}

Exercitium Montanae russica initium habet ad altitudinem 150[m] a terra. Si currus sine attritu per binarios montanae russicae movetur et ex quiete incipit, computa celeritatem cum in altitudine invenitur: a) 90[m] a terra. b) 50[m] a terra. c) 10[m] a terra.