Arbeit und Mechanische Energie

Zusammenfassung:
In dieser Unterrichtsreihe werden wir die Beziehung zwischen Arbeit, Energie und einigen ihrer Formen – kinetische und potenzielle – untersuchen. Auf Grundlage dieser Analysen berechnen wir den Bremsweg eines Körpers, der mit einer Anfangsgeschwindigkeit startet und bis zum Stillstand gelangt, und wir vereinfachen auch die Untersuchung des freien Falls.

Lernziele
Am Ende dieser Unterrichtseinheit wird der Studierende in der Lage sein:

1. Zu verstehen, welche Beziehung zwischen Arbeit und kinetischer Energie besteht.
2. Anzuwenden den Satz von der lebendigen Kraft, um die Veränderung der kinetischen Energie zu verstehen.
3. Zu erklären das Konzept der potenziellen Energie und deren Zusammenhang mit der Position eines Objekts in einem Gravitationsfeld.

INHALTSVERZEICHNIS
Arbeit und Kinetische Energie
Die Beziehung zwischen Arbeit und Kinetischer Energie
Kinetische Energie und Bremsweg
Arbeit und Potenzielle Energie
Potenzielle Energie und der freie Fall

Arbeit und Kinetische Energie

Wenn wir eine Kraft auf den Block ausüben, haben wir das Gefühl, dem System etwas hinzuzufügen; intuitiv sagen wir, dass wir „Energie hinzufügen“, obwohl dies nicht unbedingt zutrifft. Wenn die Kraft nicht ausreicht, um die statische Reibung zu überwinden, ist es nicht möglich zu sagen, ob sich der Block in irgendeiner Weise verändert hat. Sicherlich fügen wir dem System etwas hinzu, eine Art „Anstrengung“, aber ebenso gibt die statische Reibung diese „Anstrengung“ in entgegengesetzter und komplementärer Weise zurück. Wenn jedoch die statische Reibung überwunden wird, ist es möglich, eine Veränderung im System festzustellen: Es befindet sich nun in einem anderen Bewegungszustand. Um diesen neuen Bewegungszustand hervorzubringen, müssen wir dem System „etwas Neues“ hinzufügen: dieses „Etwas“ nennen wir kinetische Energie.

Nun haben wir zwei physikalische Größen, die den Zustand eines physikalischen Objekts oder Systems beschreiben: den uns wohlbekannten linearen Impuls, der den Bewegungszustand darstellt, und die kinetische Energie, die wir zu studieren beginnen und die vorerst das repräsentiert, was wir hinzufügen mussten, um den Körper oder das System vom Ruhezustand in diesen Bewegungszustand zu versetzen.

Die Beziehung zwischen Arbeit und Kinetischer Energie

Kehren wir zurück zum Block und der Kraft, die ihn in Bewegung versetzt. Wenn die Kraft keine Bewegung hervorruft, sagen wir, dass sie dem System nichts hinzugefügt hat, während wir, wenn sie Bewegung hervorruft, sagen, dass sie kinetische Energie hinzufügt. Sobald die Bewegung eintritt, legt der Körper notwendigerweise eine bestimmte Bahn zurück, und währenddessen fügt die Kraft Energie hinzu. Diese Handlung des Hinzufügens oder Entziehens von kinetischer Energie nennen wir „mechanische Arbeit verrichten“. Auf diese Weise wird das Arbeitselement dW durch die Gleichung definiert

\begin{array}{lr} dW =\vec{F} \cdot d\vec{r} & (1) \end{array}

wobei \vec{F} die aufgebrachte Kraft ist und d\vec{r} das Verschiebungselement darstellt, auf das die Kraft gewirkt hat. Da diese Kraft auf einen Körper der Masse m ausgeübt wird, können wir unter Verwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes schreiben

\begin{array}{lr} \displaystyle\vec{F} =\frac{d\vec{p}}{dt} = m\frac{d\vec{v}}{dt} & (2) \end{array}

So ergibt sich aus den Gleichungen (1) und (2)

\begin{array}{llr} dW & \displaystyle =m\frac{d\vec{v}}{dt} \cdot d\vec{r} = m\frac{d\vec{r}}{dt} \cdot d\vec{v} = m\vec{v} \cdot d\vec{v} & (3) \end{array}

Durch Integration dieses letzten Ausdrucks, um die insgesamt verrichtete Arbeit zu erhalten, ergibt sich:

\begin{array}{llr} W & = \displaystyle {\int_{i}^{f}} m\vec{v} \cdot d\vec{v} = \left.\frac{1}{2}m \|\vec{v}\|^2 \right|_i^f & \\ \\ & \displaystyle = \frac{1}{2}m \|\vec{v}_f\|^2 - \frac{1}{2}m\|\vec{v}_i\|^2 & (4) \end{array}

Aus diesem Gedankengang können wir erkennen, dass die mechanische Arbeit einer Differenz derselben Größe in zwei verschiedenen Zuständen entspricht, einem entsprechenden Endzustand und einem Anfangszustand. Diese Größe entspricht dem, was hinzugefügt (oder entzogen) werden musste, um den Bewegungszustand zu verändern, und dies nennen wir Kinetische Energie, die folglich durch die Gleichung definiert wird:

\begin{array}{llr} E_{kin} & \displaystyle = \frac{1}{2}m\|\vec{v}\|^2 & (5) \end{array}

Und daher gilt

\begin{array}{llr} W & = \Delta E_{kin} & (6) \end{array}

Dies Letzte ist als Satz von der lebendigen Kraft bekannt.

Übung a) Ein Fahrzeug wie der KIA Rio 5 hat ein Gewicht von etwa 1.580 kg. Stellen Sie sich vor, Sie fahren dieses Fahrzeug mit einer mäßigen Geschwindigkeit von 50 km/h durch die Stadt und stoßen auf eine rote Ampel. Um anzuhalten, muss das Fahrzeug diese Energie über das Bremssystem abbauen. Um anschließend die Geschwindigkeit wieder zu erreichen, muss es die Energie aus dem Kraftstoff über den Motor beziehen. Wäre die Ampel grün gewesen, wäre ein Bremsen nicht notwendig gewesen, wodurch Energie gespart würde. Berechnen Sie die eingesparte Energiemenge, wenn die Ampel grün ist. b) Wiederholen Sie die Berechnungen des vorherigen Abschnitts, nehmen Sie jedoch nun an, dass Sie mit einer weniger mäßigen Geschwindigkeit von 70 km/h fahren. Geben Sie den zusätzlichen Energieaufwand in Form eines Prozentsatzes an.

Kinetische Energie und Bremsweg

Ein sehr häufiger Fehler, den Autofahrer begehen, ist die Annahme, dass der Bremsweg direkt proportional zur Geschwindigkeit sei: Wenn wir die Geschwindigkeit verdoppeln, verdoppelt sich auch der Bremsweg. In diesem Abschnitt überprüfen wir den Irrtum hinter dieser Intuition und zeigen, dass der Bremsweg in Wirklichkeit proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit ist.

Nehmen wir an, dass wir einen Block der Masse m haben, der sich mit der Anfangsgeschwindigkeit v_i\hat{x} auf einer horizontalen Ebene bewegt, auf der es einen Gleitreibungskoeffizienten \mu_c gibt. Daraus ergibt sich, dass eine Reibungskraft entgegen der Bewegung wirkt \vec{F}_{Reibung}=-\mu_c mg\hat{x}, die solange wirkt, bis der Körper nach Zurücklegen des Bremswegs x_{Brems} zum Stillstand kommt. Die von dieser Kraft verrichtete Arbeit ist gegeben durch:

\displaystyle W_{Reibung}= \int_{0}^{x_{Brems}} \vec{F}_{Reibung} \cdot d\vec{l} = \int_{0}^{x_{Brems}} -\mu_c mg dx = -\mu_cmgx_{Brems}

Andererseits ist die Änderung der kinetischen Energie eines Körpers, der mit der Anfangsgeschwindigkeit v_i startet und zum Stillstand kommt, also mit der Endgeschwindigkeit v_f=0, wie folgt:

\displaystyle \Delta E_{kin}= \frac{1}{2}m (\underbrace{\color{red}{v_f^2}}_{= 0} - v_i^2) = - \frac{1}{2}mv_i^2

Daraus folgt, dass, wenn die gesamte kinetische Energie durch Reibung dissipiert wird, bis der Körper zum Stillstand kommt, gilt:

\displaystyle \begin{array}{rrl} & W_{Reibung} & \displaystyle = \Delta E_{kin} \\ \\ \equiv & -\mu_cmg x_{Brems} & \displaystyle = - \frac{1}{2}mv_i^2 \\ \\ \equiv & x_{Brems} & = \frac{1}{2} \frac{v_i^2}{\mu_c g} \end{array}

Damit ist gezeigt, was nachgewiesen werden sollte: Der Bremsweg ist proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit.

Übung Ein Block von 300[kg] bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 15[km/h] auf einer horizontalen Ebene. Wenn zwischen der horizontalen Ebene und dem Block eine Gleitreibung \mu_c=0,67 vorhanden ist, berechnen Sie die Strecke, die der Block bis zum vollständigen Stillstand zurücklegt.

Arbeit und Potenzielle Energie

Stellen wir uns vor, dass wir einen Körper der Masse m haben, der von einer Höhe h_i bis zu einer Endhöhe h_f fällt (mit h_f \leq h_i). Dann ergibt sich, dass die durch die Gravitationskraft verrichtete Arbeit die Form hat:

\displaystyle W_g = \int_{h_i}^{h_f} \vec{F}_g \cdot d\vec{l} = \int_{h_i}^{h_f} -mgdz = -mg(h_f - h_i)

Daraus ergibt sich, dass, wenn die Anfangshöhe h_i = h ist und die Endhöhe auf Bodenhöhe liegt h_f = 0, gilt:

\displaystyle W_g = -mg(0 - h) = mgh

Damit haben wir, dass, wenn ein Körper aus einer Höhe h fällt, eine mit seiner relativen Position im Raum verbundene Energie freigesetzt wird. Diese Energie nennen wir Potenzielle Energie.

\displaystyle \begin{array}{rr}{E_{pot} = mgh} & (7)\end{array}

Potenzielle Energie und der freie Fall

Erinnern wir uns an das Problem des freien Falls. Unter Verwendung der potenziellen und kinetischen Energie, die wir bisher untersucht haben, können wir nun die Fallgeschwindigkeit mit einem viel einfacheren Verfahren bestimmen. Energie ist eine jener physikalischen Größen, die die Eigenschaft haben, konservativ zu sein; das heißt, sie wird weder geschaffen noch zerstört, sondern nur umgewandelt. Wenn wir einen Körper in einer Höhe h über dem Boden haben und dieser durch die Wirkung der Schwerkraft bis zum Boden fällt, verschwindet seine potenzielle Energie nicht, sondern verwandelt sich in eine andere Energieform: in Bewegungsenergie, sodass gilt:

\begin{array}{rl} E_{pot,anfang} & = E_{kin,end} \\ \\ mgh &\displaystyle = \frac{1}{2}mv^2 \\ \\ v^2 & = 2gh \\ \\ v& =\sqrt{2gh}\end{array}

Übung Eine Achterbahn hat ihren Ausgangspunkt in einer Höhe von 150[m] über dem Boden. Wenn sich der Wagen reibungsfrei auf den Schienen der Achterbahn bewegt und aus der Ruhe startet, berechnen Sie die Geschwindigkeit, wenn er sich in einer Höhe von: a) 90[m] über dem Boden befindet. b) 50[m] über dem Boden befindet. c) 10[m] über dem Boden befindet.