कार्य और गतिज ऊर्जा

जब हम ब्लॉक पर एक बल लागू करते हैं, हमें यह महसूस होता है कि हम प्रणाली में कुछ जोड़ रहे हैं; सहज रूप से हम कहते हैं कि “हम ऊर्जा जोड़ रहे हैं”, हालांकि यह आवश्यक रूप से सही नहीं है। यदि बल स्थैतिक घर्षण को तोड़ने के लिए पर्याप्त नहीं है, तो यह कहना संभव नहीं है कि ब्लॉक में कुछ बदला है या नहीं। निश्चित रूप से हम प्रणाली में कुछ जोड़ रहे हैं, इसे “प्रयास” कह सकते हैं, लेकिन यह भी सच है कि स्थैतिक घर्षण उस “प्रयास” को विपरीत और पूरक दिशा में वापस करता है। हालांकि, जब स्थैतिक घर्षण टूट जाता है, तो सिस्टम में एक बदलाव को पहचानना संभव होता है: अब यह एक अलग गति अवस्था में है। उस नई गति अवस्था को उत्पन्न करने के लिए, हमें प्रणाली में “कुछ नया” जोड़ना पड़ता है: वह “कुछ” जिसे हम गतिज ऊर्जा कहते हैं।

अब हमारे पास दो भौतिक मात्राएं हैं जो किसी भौतिक वस्तु या प्रणाली की स्थिति का वर्णन करती हैं: वह है रेखीय संवेग, जिसे हम अच्छी तरह जानते हैं और जो गति की स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है, और गतिज ऊर्जा जिसे हम अध्ययन करना शुरू करेंगे और जो फिलहाल वह दर्शाएगी जो हमें प्रणाली को आराम की स्थिति से इस गति की स्थिति में लाने के लिए जोड़ना पड़ा है।

कार्य और गतिज ऊर्जा के बीच संबंध

आइए ब्लॉक और बल पर वापस जाएं जो इसे गति में लाता है। यदि बल गति नहीं उत्पन्न करता है, तो हम कहते हैं कि उसने प्रणाली में कुछ भी नहीं जोड़ा है, जबकि यदि ऐसा करता है, तो हम कहते हैं कि उसने गतिज ऊर्जा जोड़ी है। जब गति उत्पन्न होती है, तो शरीर को अनिवार्य रूप से एक निश्चित मार्ग को पार करना पड़ता है और जब तक यह करता है, बल ऊर्जा जोड़ेगा। गतिज ऊर्जा जोड़ने या घटाने की इस क्रिया को हम “यांत्रिक कार्य करना” कहेंगे, इस प्रकार यांत्रिक कार्य के तत्व dW को निम्नलिखित समीकरण के माध्यम से परिभाषित किया जाता है:

\begin{array}{lr} dW =\vec{F} \cdot d\vec{r} & (1) \end{array}

जहां \vec{F} लागू किया गया बल है और d\vec{r} वह विस्थापन तत्व है जिस पर बल ने कार्य किया है। चूंकि यह बल एक द्रव्यमान m, के शरीर पर लागू किया गया है, न्यूटन के द्वितीय नियम का उपयोग करते हुए हम लिख सकते हैं:

\begin{array}{lr} \displaystyle\vec{F} =\frac{d\vec{p}}{dt} = m\frac{d\vec{v}}{dt} & (2) \end{array}

इस प्रकार, समीकरण (1) और (2) से हमें मिलता है:

\begin{array}{llr} dW & \displaystyle =m\frac{d\vec{v}}{dt} \cdot d\vec{r} = m\frac{d\vec{r}}{dt} \cdot d\vec{v} = m\vec{v} \cdot d\vec{v} & (3) \end{array}

इस अंतिम अभिव्यक्ति को एकीकृत करके कुल कार्य प्राप्त करने के लिए हम प्राप्त करेंगे:

\begin{array}{llr} W & = \displaystyle {\int_{i}^{f}} m\vec{v} \cdot d\vec{v} = \left.\frac{1}{2}m \|\vec{v}\|^2 \right|_i^f & \\ \\ & \displaystyle = \frac{1}{2}m \|\vec{v}_f\|^2 - \frac{1}{2}m\|\vec{v}_i\|^2 & (4) \end{array}

इस तर्क से, हम देख सकते हैं कि यांत्रिक कार्य दो अलग-अलग अवस्थाओं में एक ही मात्रा के अंतर के बराबर होता है, एक अंतिम अवस्था से संबंधित और दूसरा प्रारंभिक अवस्था से। इस प्रकार की मात्रा उस चीज़ से संबंधित होती है जिसे हमें गति की स्थिति को बदलने के लिए जोड़ना (या घटाना) होता है और इसे हम गतिज ऊर्जा कहते हैं, और परिणामस्वरूप इसे निम्नलिखित समीकरण के माध्यम से परिभाषित किया गया है:

\begin{array}{llr} E_{cin} & \displaystyle = \frac{1}{2}m\|\vec{v}\|^2 & (5) \end{array}

और इसलिए हमारे पास है:

\begin{array}{llr} W & = \Delta E_{cin} & (6) \end{array}

यह अंतिम बात जीवित बल प्रमेय के रूप में जानी जाती है।

गतिज ऊर्जा और ब्रेकिंग दूरी

मोटर चालकों द्वारा किया गया एक बहुत ही सामान्य गलती यह है कि वे यह मानते हैं कि ब्रेकिंग दूरी सीधे गति के अनुपात में होती है: यदि हम गति को दोगुना करते हैं, तो ब्रेकिंग दूरी भी दोगुनी हो जाती है। इस खंड में हम इस धारणा के पीछे की गलती की समीक्षा करेंगे और प्रदर्शित करेंगे कि वास्तव में ब्रेकिंग दूरी गति के वर्ग के अनुपात में होती है।

मान लें कि हमारे पास एक ब्लॉक है जिसका द्रव्यमान है m जो प्रारंभिक गति v_i\hat{x} से क्षैतिज तल पर चल रहा है और जहां एक गतिज घर्षण गुणांक \mu_c. है। इससे हम देखते हैं कि एक घर्षण बल है जो गति के विपरीत दिशा में होता है \vec{F}_{roce}=-\mu_c mg\hat{x} जो तब तक कार्य करेगा जब तक शरीर ब्रेकिंग दूरी x_{fre}. को पार कर के रुक नहीं जाता। इस बल द्वारा किए गए कार्य को निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

\displaystyle W_{roce}= \int_{0}^{x_{fre}} \vec{F}_{roce} \cdot d\vec{l} = \int_{0}^{x_{fre}} -\mu_c mg dx = -\mu_cmgx_{fre}

दूसरी ओर, एक शरीर की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन जो प्रारंभिक गति v_i से शुरू होता है और गति v_f=0 पर रुक जाता है:

\displaystyle \Delta E_{cin}= \frac{1}{2}m (\underbrace{\color{red}{v_f^2}}_{= 0} - v_i^2) = - \frac{1}{2}mv_i^2

इस प्रकार कि यदि सारी गतिज ऊर्जा को घर्षण द्वारा फैलाया जाता है जब तक कि शरीर को शांति में लाया जाता है, तब:

\displaystyle \begin{array}{rrl} & W_{roce} & \displaystyle = \Delta E_{cin} \\ \\ \equiv & -\mu_cmg x_{fre} & \displaystyle = - \frac{1}{2}mv_i^2 \\ \\ \equiv & x_{fre} & = \frac{1}{2} \frac{v_i^2}{\mu_c g} \end{array}

इससे हमें वह मिलता है जिसे हम प्रदर्शित करना चाहते थे, कि ब्रेकिंग दूरी गति के वर्ग के अनुपात में होती है।

कार्य और स्थितिज ऊर्जा

कल्पना करें कि हमारे पास एक वस्तु है जिसका द्रव्यमान m है जो ऊंचाई h_i से अंतिम ऊंचाई h_f तक गिरती है (जहां h_f \leq h_i )। तब गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य इस प्रकार है:

\displaystyle W_g = \int_{h_i}^{h_f} \vec{F}_g \cdot d\vec{l} = \int_{h_i}^{h_f} -mgdz = -mg(h_f - h_i)

इससे हम पाते हैं कि यदि प्रारंभिक ऊंचाई h_i = h है और अंतिम ऊंचाई जमीन पर है h_f = 0, तो:

\displaystyle W_g = -mg(0 - h) = mgh

इससे हम पाते हैं कि जब कोई वस्तु ऊंचाई h से गिरती है, तो इसके सापेक्ष स्थिति से जुड़ी ऊर्जा निकलती है। इस ऊर्जा को हम स्थितिज ऊर्जा कहते हैं।

\displaystyle \begin{array}{rr}{E_{pot} = mgh} & (7)\end{array}

स्थितिज ऊर्जा और स्वतंत्र गिरावट

स्वतंत्र गिरावट की समस्या को याद करें। अब हमने जो स्थितिज और गतिज ऊर्जा का अध्ययन किया है, उनका उपयोग करके हम गिरावट की गति को अब एक बहुत ही सरल प्रक्रिया के साथ पा सकते हैं। ऊर्जा एक और भौतिक मात्रा है जिसमें संरक्षित होने की विशेषता होती है; अर्थात्, इसे न तो बनाया जाता है न ही नष्ट किया जाता है, केवल रूपांतरित किया जाता है। जब हमारे पास एक वस्तु जमीन से h की ऊंचाई पर स्थित होती है, जब यह गुरुत्वाकर्षण द्वारा गिरकर जमीन पर पहुंचती है, तो इसकी स्थितिज ऊर्जा गायब नहीं होती, बल्कि दूसरी रूप की ऊर्जा में बदल जाती है: गतिज ऊर्जा, इसलिए:

\begin{array}{rl} E_{pot,inicial} & = E_{cin, final} \\ \\ mgh &\displaystyle = \frac{1}{2}mv^2 \\ \\ v^2 & = 2gh \\ \\ v& =\sqrt{2gh}\end{array}