Trabalho e Energia Cinética

Quando aplicamos uma força sobre o bloco, temos a sensação de que adicionamos algo ao sistema; intuitivamente dizemos que “estamos adicionando energia”, embora isso não seja necessariamente verdade. Se a força não for suficiente para romper o atrito estático, então não é possível dizer se o bloco mudou ou não em algo. Certamente estamos adicionando algo ao sistema, um “esforço” por assim dizer, mas também é certo que o atrito estático devolve esse “esforço” em sentido oposto e complementar. No entanto, quando o atrito estático é rompido, então é possível distinguir uma mudança no sistema: agora ele se encontra em um estado diferente de movimento. Para produzir esse novo estado de movimento, tivemos que adicionar “algo novo” ao sistema: esse “algo” é o que chamamos de energia cinética.

Agora temos duas grandezas físicas que descrevem o estado de um objeto físico ou de um sistema: o momento linear que conhecemos bem, que representa o estado de movimento, e a energia cinética que começaremos a estudar e que, por agora, representará o que tivemos que adicionar para levar o corpo ou sistema do repouso a esse estado de movimento.

A relação entre o trabalho e a energia cinética

Voltemos ao bloco e à força que o coloca em movimento. Se a força não produz movimento, então dizemos que não adicionou nada ao sistema, enquanto se o faz, dizemos que adiciona energia cinética. Ao ocorrer o movimento, o corpo necessariamente percorre certa trajetória e, enquanto o faz, a força adicionará energia. A essa ação de adicionar ou retirar energia cinética chamaremos de “realizar um trabalho mecânico”, assim define-se o elemento de trabalho mecânico dW através da equação

\begin{array}{lr} dW =\vec{F} \cdot d\vec{r} & (1) \end{array}

onde \vec{F} é a força aplicada e d\vec{r} é o elemento de deslocamento sobre o qual a força atuou. Dado que essa força é aplicada sobre um corpo de massa m, usando a segunda lei de Newton podemos escrever

\begin{array}{lr} \displaystyle\vec{F} =\frac{d\vec{p}}{dt} = m\frac{d\vec{v}}{dt} & (2) \end{array}

Assim, das equações (1) e (2) teremos

\begin{array}{llr} dW & \displaystyle =m\frac{d\vec{v}}{dt} \cdot d\vec{r} = m\frac{d\vec{r}}{dt} \cdot d\vec{v} = m\vec{v} \cdot d\vec{v} & (3) \end{array}

Integrando essa última expressão para obter o trabalho total realizado, teremos:

\begin{array}{llr} W & = \displaystyle {\int_{i}^{f}} m\vec{v} \cdot d\vec{v} = \left.\frac{1}{2}m \|\vec{v}\|^2 \right|_i^f & \\ \\ & \displaystyle = \frac{1}{2}m \|\vec{v}_f\|^2 - \frac{1}{2}m\|\vec{v}_i\|^2 & (4) \end{array}

A partir desse raciocínio podemos ver que o trabalho mecânico é equivalente a uma diferença de uma mesma grandeza em dois estados diferentes, uma correspondente a um estado final e outra ao inicial. Tal grandeza corresponde ao que tivemos que adicionar (ou retirar) para mudar o estado de movimento e é o que chamamos de Energia Cinética, e em consequência fica definida através da equação:

\begin{array}{llr} E_{cin} & \displaystyle = \frac{1}{2}m\|\vec{v}\|^2 & (5) \end{array}

E portanto temos que

\begin{array}{llr} W & = \Delta E_{cin} & (6) \end{array}

Isso é o que é conhecido como Teorema das Forças Vivas.

Energia Cinética e Distância de Frenagem

Um erro muito comum cometido pelos motoristas é intuir que a distância de frenagem é diretamente proporcional à velocidade: se duplicarmos a velocidade, também se duplica a distância de frenagem. Nesta seção, vamos revisar o erro por trás dessa intuição e demonstrar que, na realidade, a distância de frenagem é proporcional ao quadrado da velocidade.

Suponhamos que temos um bloco de massa m movendo-se sobre um plano horizontal com velocidade inicial v_i\hat{x} e onde há um coeficiente de atrito cinético \mu_c. A partir disso, vemos que há uma força de atrito oposta ao movimento \vec{F}_{atrito}=-\mu_c mg\hat{x} que vai atuar até que o corpo pare depois de percorrer a distância de frenagem x_{fre}. O trabalho exercido por essa força é dado por:

\displaystyle W_{atrito}= \int_{0}^{x_{fre}} \vec{F}_{atrito} \cdot d\vec{l} = \int_{0}^{x_{fre}} -\mu_c mg dx = -\mu_cmgx_{fre}

Por outro lado, a variação da energia cinética de um corpo que parte com velocidade inicial v_i e chega ao repouso ficando com velocidade final v_f=0 é:

\displaystyle \Delta E_{cin}= \frac{1}{2}m (\underbrace{\color{red}{v_f^2}}_{= 0} - v_i^2) = - \frac{1}{2}mv_i^2

De modo que se toda a energia cinética é dissipada pelo atrito até levar o corpo ao repouso, teremos que:

\displaystyle \begin{array}{rrl} & W_{atrito} & \displaystyle = \Delta E_{cin} \\ \\ \equiv & -\mu_cmg x_{fre} & \displaystyle = - \frac{1}{2}mv_i^2 \\ \\ \equiv & x_{fre} & = \frac{1}{2} \frac{v_i^2}{\mu_c g} \end{array}

A partir disso, temos o que queríamos demonstrar, que a distância de frenagem é proporcional à velocidade ao quadrado.

Trabalho e Energia Potencial

Imaginemos que temos um corpo de massa m que cai de uma altura h_i até uma altura final h_f (com h_f \leq h_i). Então teremos que o trabalho feito pela força da gravidade é da forma:

\displaystyle W_g = \int_{h_i}^{h_f} \vec{F}_g \cdot d\vec{l} = \int_{h_i}^{h_f} -mgdz = -mg(h_f - h_i)

A partir disso, temos que, se a altura inicial é h_i = h e a altura final está ao nível do chão h_f = 0, então teremos:

\displaystyle W_g = -mg(0 - h) = mgh

Com isso, temos que, quando um corpo cai de uma altura h, é liberada uma energia associada à sua posição relativa no espaço. A essa energia chamamos de Energia Potencial.

\displaystyle \begin{array}{rr}{E_{pot} = mgh} & (7)\end{array}

Energia Potencial e a Queda Livre

Vamos lembrar do problema da queda livre. Usando agora a energia potencial e cinética que estudamos, podemos encontrar a velocidade de queda com um procedimento muito mais simples. A energia é outra dessas grandezas físicas que têm a característica de serem conservativas; isto é, não se cria nem se destrói, apenas se transforma. Quando temos um corpo colocado a uma altura h do chão, quando este cai pela ação da gravidade até chegar ao chão, sua energia potencial não desaparece, mas se transforma em outra forma de energia: em energia de movimento, de modo que teremos:

\begin{array}{rl} E_{pot,inicial} & = E_{cin, final} \\ \\ mgh &\displaystyle = \frac{1}{2}mv^2 \\ \\ v^2 & = 2gh \\ \\ v& =\sqrt{2gh}\end{array}