Travail et énergie cinétique

Lorsque nous appliquons une force sur le bloc, nous avons l’impression d’ajouter quelque chose au système ; intuitivement, nous disons que « nous ajoutons de l’énergie », bien que cela ne soit pas nécessairement vrai. Si la force n’est pas suffisante pour rompre le frottement statique, il n’est alors pas possible de dire si le bloc a changé ou non. Nous ajoutons sans doute quelque chose au système, un « effort » en quelque sorte, mais il est également vrai que le frottement statique renvoie cet « effort » dans un sens opposé et complémentaire. Cependant, lorsque le frottement statique est rompu, il est alors possible de distinguer un changement dans le système : il se trouve maintenant dans un état de mouvement différent. Pour produire cet nouvel état de mouvement, nous devons ajouter « quelque chose de nouveau » au système : ce « quelque chose » est ce que nous appelons l’énergie cinétique.

Nous avons maintenant deux grandeurs physiques qui décrivent l’état d’un objet physique ou d’un système : l’impulsion linéaire que nous connaissons bien, qui représente l’état de mouvement, et l’énergie cinétique que nous allons commencer à étudier et qui, pour le moment, représentera ce que nous avons dû ajouter pour amener le corps ou le système de l’état de repos à cet état de mouvement.

La relation entre le travail et l’énergie cinétique

Revenons au bloc et à la force qui le met en mouvement. Si la force ne produit pas de mouvement, nous disons alors qu’elle n’a rien ajouté au système, tandis que si elle le fait, nous disons qu’elle ajoute de l’énergie cinétique. Lorsque le mouvement se produit, le corps parcourt nécessairement une certaine trajectoire et, ce faisant, la force ajoutera de l’énergie. Cette action d’ajouter ou de retirer de l’énergie cinétique est appelée « réaliser un travail mécanique », ainsi l’élément de travail mécanique dW est défini par l’équation suivante

\begin{array}{lr} dW =\vec{F} \cdot d\vec{r} & (1) \end{array}

où \vec{F} est la force appliquée et d\vec{r} est l’élément de déplacement sur lequel la force a agi. Étant donné que cette force est appliquée sur un corps de masse m, en utilisant la deuxième loi de Newton, nous pouvons écrire

\begin{array}{lr} \displaystyle\vec{F} =\frac{d\vec{p}}{dt} = m\frac{d\vec{v}}{dt} & (2) \end{array}

Ainsi, des équations (1) et (2) nous aurons

\begin{array}{llr} dW & \displaystyle =m\frac{d\vec{v}}{dt} \cdot d\vec{r} = m\frac{d\vec{r}}{dt} \cdot d\vec{v} = m\vec{v} \cdot d\vec{v} & (3) \end{array}

En intégrant cette dernière expression pour obtenir le travail total réalisé, nous aurons :

\begin{array}{llr} W & = \displaystyle {\int_{i}^{f}} m\vec{v} \cdot d\vec{v} = \left.\frac{1}{2}m \|\vec{v}\|^2 \right|_i^f & \\ \\ & \displaystyle = \frac{1}{2}m \|\vec{v}_f\|^2 - \frac{1}{2}m\|\vec{v}_i\|^2 & (4) \end{array}

À partir de ce raisonnement, nous pouvons voir que le travail mécanique est équivalent à une différence de la même grandeur dans deux états différents, l’un correspondant à un état final et l’autre à l’initial. Cette grandeur correspond à ce que nous avons dû ajouter (ou enlever) pour changer l’état de mouvement et c’est ce que nous appelons l’énergie cinétique, et par conséquent, elle est définie par l’équation :

\begin{array}{llr} E_{cin} & \displaystyle = \frac{1}{2}m\|\vec{v}\|^2 & (5) \end{array}

Et donc nous avons

\begin{array}{llr} W & = \Delta E_{cin} & (6) \end{array}

Ce dernier point est ce que l’on appelle le théorème des forces vives.

L’énergie cinétique et la distance de freinage

Une erreur très courante commise par les automobilistes est d’intuiter que la distance de freinage est directement proportionnelle à la vitesse : si nous doublons la vitesse, la distance de freinage double également. Dans cette section, nous examinerons l’erreur derrière cette intuition et démontrerons qu’en réalité, la distance de freinage est proportionnelle au carré de la vitesse.

Supposons que nous ayons un bloc de masse m se déplaçant sur un plan horizontal avec une vitesse initiale v_i\hat{x} et où il y a un coefficient de frottement cinétique \mu_c. À partir de cela, nous voyons qu’il y a une force de frottement opposée au mouvement \vec{F}_{roce}=-\mu_c mg\hat{x} qui agira jusqu’à ce que le corps s’arrête après avoir parcouru la distance de freinage x_{fre}. Le travail exercé par cette force est donné par :

\displaystyle W_{roce}= \int_{0}^{x_{fre}} \vec{F}_{roce} \cdot d\vec{l} = \int_{0}^{x_{fre}} -\mu_c mg dx = -\mu_cmgx_{fre}

D’autre part, la variation de l’énergie cinétique d’un corps qui part avec une vitesse initiale v_i et arrive au repos avec une vitesse finale v_f=0 est :

\displaystyle \Delta E_{cin}= \frac{1}{2}m (\underbrace{\color{red}{v_f^2}}_{= 0} - v_i^2) = - \frac{1}{2}mv_i^2

De sorte que si toute l’énergie cinétique est dissipée par le frottement jusqu’à amener le corps au repos, nous aurons :

\displaystyle \begin{array}{rrl} & W_{roce} & \displaystyle = \Delta E_{cin} \\ \\ \equiv & -\mu_cmg x_{fre} & \displaystyle = - \frac{1}{2}mv_i^2 \\ \\ \equiv & x_{fre} & = \frac{1}{2} \frac{v_i^2}{\mu_c g} \end{array}

À partir de cela, nous obtenons ce que nous voulions démontrer, que la distance de freinage est proportionnelle à la vitesse au carré.

Travail et énergie potentielle

Imaginons que nous ayons un corps de masse m qui tombe d’une hauteur h_i jusqu’à une hauteur finale h_f (avec h_f \leq h_i). Alors le travail effectué par la force de gravité est de la forme :

\displaystyle W_g = \int_{h_i}^{h_f} \vec{F}_g \cdot d\vec{l} = \int_{h_i}^{h_f} -mgdz = -mg(h_f - h_i)

À partir de cela, nous avons que, si la hauteur initiale est h_i = h et que la hauteur finale est au niveau du sol h_f = 0, alors nous aurons :

\displaystyle W_g = -mg(0 - h) = mgh

Avec cela, nous avons que, lorsqu’un corps tombe d’une hauteur h, une énergie associée à sa position relative dans l’espace est libérée. Cette énergie est ce que nous appelons l’énergie potentielle.

\displaystyle \begin{array}{rr}{E_{pot} = mgh} & (7)\end{array}

L’énergie potentielle et la chute libre

Rappelons le problème de la chute libre. En utilisant maintenant l’énergie potentielle et cinétique que nous avons étudiées, nous pouvons maintenant trouver la vitesse de chute avec une procédure beaucoup plus simple. L’énergie est une autre de ces grandeurs physiques qui ont la caractéristique d’être conservatrices ; c’est-à-dire qu’elle ne se crée ni ne se détruit, elle se transforme. Lorsque nous avons un corps placé à une hauteur h du sol, lorsque celui-ci tombe sous l’action de la gravité jusqu’à atteindre le sol, son énergie potentielle ne disparaît pas, mais se transforme en une autre forme d’énergie : en énergie de mouvement, de sorte que nous aurons :

\begin{array}{rl} E_{pot,inicial} & = E_{cin, final} \\ \\ mgh &\displaystyle = \frac{1}{2}mv^2 \\ \\ v^2 & = 2gh \\ \\ v& =\sqrt{2gh}\end{array}