العمل والطاقة الحركية

عندما نطبق قوة على الكتلة، نشعر أننا نضيف شيئًا إلى النظام؛ بشكل غريزي نقول إننا “نضيف له طاقة”، على الرغم من أن هذا ليس بالضرورة صحيحًا. إذا لم تكن القوة كافية لكسر الاحتكاك الساكن، فلا يمكننا القول ما إذا كان هناك تغيير في الكتلة أم لا. بالتأكيد نحن نضيف شيئًا إلى النظام، “جهد” إذا صح التعبير، لكن من الصحيح أيضًا أن الاحتكاك الساكن يعيد هذا “الجهد” في الاتجاه المعاكس والمكمل. ومع ذلك، عندما يتم كسر الاحتكاك الساكن، يمكن تمييز تغيير في النظام: الآن هو في حالة حركة مختلفة. لإنتاج هذه الحالة الجديدة من الحركة، يجب أن نضيف “شيئًا جديدًا” إلى النظام: هذا “الشيء” هو ما نسميه الطاقة الحركية.

الآن لدينا مقاييس فيزيائية تصف حالة الجسم الفيزيائي أو النظام: الزخم الخطي الذي نعرفه جيدًا، والذي يمثل حالة الحركة، والطاقة الحركية التي سنبدأ في دراستها والتي، في الوقت الحالي، ستمثل ما كان علينا إضافته لنقل الجسم أو النظام من حالة السكون إلى حالة الحركة هذه.

العلاقة بين العمل والطاقة الحركية

لنعد إلى الكتلة والقوة التي تضعها في حركة. إذا لم تنتج القوة حركة، فنقول إنها لم تضف شيئًا إلى النظام، بينما إذا فعلت ذلك، فنقول إنها تضيف طاقة حركية. عند حدوث الحركة، يجب أن يمر الجسم بمسار معين وأثناء ذلك، ستضيف القوة طاقة. نسمي هذه العملية بإضافة أو إزالة الطاقة الحركية “القيام بعمل ميكانيكي”، وبذلك يتم تعريف عنصر العمل الميكانيكي dW من خلال المعادلة

\begin{array}{lr} dW =\vec{F} \cdot d\vec{r} & (1) \end{array}

حيث \vec{F} هي القوة المطبقة وd\vec{r} هو عنصر الإزاحة الذي أثرت عليه القوة. نظرًا لأن هذه القوة تُطبق على جسم ذو كتلة m، باستخدام القانون الثاني لنيوتن يمكننا كتابة

\begin{array}{lr} \displaystyle\vec{F} =\frac{d\vec{p}}{dt} = m\frac{d\vec{v}}{dt} & (2) \end{array}

وهكذا، من المعادلتين (1) و(2) نحصل على

\begin{array}{llr} dW & \displaystyle =m\frac{d\vec{v}}{dt} \cdot d\vec{r} = m\frac{d\vec{r}}{dt} \cdot d\vec{v} = m\vec{v} \cdot d\vec{v} & (3) \end{array}

بإدماج هذا التعبير الأخير للحصول على العمل الكلي الذي تم إنجازه، نحصل على:

\begin{array}{llr} W & = \displaystyle {\int_{i}^{f}} m\vec{v} \cdot d\vec{v} = \left.\frac{1}{2}m \|\vec{v}\|^2 \right|_i^f & \\ \\ & \displaystyle = \frac{1}{2}m \|\vec{v}_f\|^2 - \frac{1}{2}m\|\vec{v}_i\|^2 & (4) \end{array}

من هذا المنطق يمكننا أن نرى أن العمل الميكانيكي يكافئ الفرق في نفس المقدار بين حالتين مختلفتين، واحدة منها تمثل حالة نهائية والأخرى ابتدائية. هذا المقدار يتعلق بما كان علينا إضافته (أو إزالته) لتغيير حالة الحركة وهو ما نسميه الطاقة الحركية، وبالتالي يتم تعريفها من خلال المعادلة:

\begin{array}{llr} E_{cin} & \displaystyle = \frac{1}{2}m\|\vec{v}\|^2 & (5) \end{array}

وبالتالي لدينا

\begin{array}{llr} W & = \Delta E_{cin} & (6) \end{array}

هذا الأخير هو ما يعرف بـنظرية القوى الحية.

الطاقة الحركية ومسافة التوقف

خطأ شائع جدًا يرتكبه السائقون هو الاستنتاج بأن مسافة التوقف تتناسب طرديًا مع السرعة: إذا ضاعفنا السرعة، فإن مسافة التوقف تتضاعف أيضًا. في هذا القسم سنراجع الخطأ وراء هذا الاستنتاج وسنثبت أن مسافة التوقف تتناسب مع مربع السرعة.

لنفترض أن لدينا كتلة m تتحرك على سطح أفقي بسرعة ابتدائية v_i\hat{x} حيث يوجد معامل احتكاك حركي \mu_c. من هذا نستنتج أن هناك قوة احتكاك معاكسة للحركة \vec{F}_{roce}=-\mu_c mg\hat{x} ستعمل حتى يتوقف الجسم بعد قطع مسافة التوقف x_{fre}. العمل الناتج عن هذه القوة يعطى بالصيغة:

\displaystyle W_{roce}= \int_{0}^{x_{fre}} \vec{F}_{roce} \cdot d\vec{l} = \int_{0}^{x_{fre}} -\mu_c mg dx = -\mu_cmgx_{fre}

من ناحية أخرى، فإن التغير في الطاقة الحركية لجسم يبدأ بسرعة ابتدائية v_i ويصل إلى حالة السكون بسرعة نهائية v_f=0 هو:

\displaystyle \Delta E_{cin}= \frac{1}{2}m (\underbrace{\color{red}{v_f^2}}_{= 0} - v_i^2) = - \frac{1}{2}mv_i^2

بحيث إذا تم تشتيت كل الطاقة الحركية بسبب الاحتكاك حتى يصل الجسم إلى حالة السكون، فسيكون لدينا:

\displaystyle \begin{array}{rrl} & W_{roce} & \displaystyle = \Delta E_{cin} \\ \\ \equiv & -\mu_cmg x_{fre} & \displaystyle = - \frac{1}{2}mv_i^2 \\ \\ \equiv & x_{fre} & = \frac{1}{2} \frac{v_i^2}{\mu_c g} \end{array}

من هذا نصل إلى ما كنا نريد إثباته، أن مسافة التوقف تتناسب مع مربع السرعة.

العمل والطاقة الكامنة

لنتخيل أن لدينا جسمًا كتلته m يسقط من ارتفاع h_i حتى ارتفاع نهائي h_f (حيث h_f \leq h_i). إذًا العمل الناتج عن قوة الجاذبية يكون بالصورة:

\displaystyle W_g = \int_{h_i}^{h_f} \vec{F}_g \cdot d\vec{l} = \int_{h_i}^{h_f} -mgdz = -mg(h_f - h_i)

من هذا نستنتج أنه إذا كانت الارتفاع الابتدائي هو h_i = h والارتفاع النهائي عند مستوى الأرض h_f = 0، فسيكون لدينا:

\displaystyle W_g = -mg(0 - h) = mgh

بهذا، عندما يسقط جسم من ارتفاع h يتم تحرير طاقة مرتبطة بموقعه النسبي في الفضاء. هذه الطاقة نسميها الطاقة الكامنة.

\displaystyle \begin{array}{rr}{E_{pot} = mgh} & (7)\end{array}

الطاقة الكامنة والسقوط الحر

لنستذكر مشكلة السقوط الحر . باستخدام الطاقة الكامنة والحركية التي درسناها الآن يمكننا العثور على سرعة السقوط بطريقة أبسط بكثير. الطاقة هي واحدة من تلك المقاييس الفيزيائية التي تتميز بالحفاظ؛ أي أنها لا تُخلق ولا تُدمَّر، بل تتحول. عندما يكون لدينا جسم في ارتفاع h عن الأرض، عندما يسقط تحت تأثير الجاذبية حتى يصل إلى الأرض، فإن طاقته الكامنة لا تختفي، بل تتحول إلى شكل آخر من أشكال الطاقة: طاقة الحركة، وبالتالي سيكون لدينا:

\begin{array}{rl} E_{pot,inicial} & = E_{cin, final} \\ \\ mgh &\displaystyle = \frac{1}{2}mv^2 \\ \\ v^2 & = 2gh \\ \\ v& =\sqrt{2gh}\end{array}