仕事と力学的エネルギー

要約:
本講義シリーズでは、仕事、エネルギー、そしてそのいくつかの形態（運動エネルギーと位置エネルギー）の関係を学習する。これらの分析から、初速度をもって出発した物体が停止するまでに進む制動距離を計算し、また自由落下の研究を簡略化する。

学習目標
本講義終了時に学生は次のことができるようになる:

1. 理解する 仕事と運動エネルギーの関係。
2. 応用する 力学的エネルギー保存定理を用いて運動エネルギーの変化を理解する。
3. 説明する 位置エネルギーの概念と、それが重力場における物体の位置とどのように関係するか。

目次
仕事と運動エネルギー
仕事と運動エネルギーの関係
運動エネルギーと制動距離
仕事と位置エネルギー
位置エネルギーと自由落下

仕事と運動エネルギー

ブロックに力を加えると、 私たちはシステムに何かを加えたように感じる。直感的には「エネルギーを加えている」と言うが、これは必ずしも正しくない。もしその力が静止摩擦を破るのに十分でなければ、ブロックが何か変化したかどうかを言うことはできない。確かに「努力」と呼べるようなものをシステムに加えてはいるが、静止摩擦はその「努力」を逆向きに補って返す。しかし、静止摩擦が破れるとシステムに変化が明確に現れる。すなわち、新しい運動状態に入るのである。その新しい運動状態を生じさせるために、システムに「新しい何か」を加えなければならない。その「何か」こそが運動エネルギーと呼ばれるものである。

ここで、物体あるいはシステムの状態を記述する二つの物理量がある。すでによく知られている運動量は運動状態を表すものであり、これから学ぶ運動エネルギーは 物体やシステムを静止状態からその運動状態に移すために加えなければならなかったもの を表すことになる。

仕事と運動エネルギーの関係

再びブロックとそれを動かす力に戻ろう。 もしその力が運動を生じなければ、システムに何も加えられていないと言える。一方で、もし運動を生じれば、運動エネルギー が加えられたと言える。運動が生じると、物体は必ずある経路を移動し、その間に力がエネルギーを加える。このように運動エネルギーを加えたり取り除いたりする行為を「力学的仕事をする」と呼ぶ。そして、力学的仕事の要素 dW は次の式で定義される。

\begin{array}{lr} dW =\vec{F} \cdot d\vec{r} & (1) \end{array}

ここで \vec{F} は加えられた力であり、d\vec{r} はその力が作用した変位要素である。この力が質量 m の物体に作用するので、ニュートンの第二法則 を用いて次のように書ける。

\begin{array}{lr} \displaystyle\vec{F} =\frac{d\vec{p}}{dt} = m\frac{d\vec{v}}{dt} & (2) \end{array}

したがって、式 (1) と (2) から次の関係が得られる。

\begin{array}{llr} dW & \displaystyle =m\frac{d\vec{v}}{dt} \cdot d\vec{r} = m\frac{d\vec{r}}{dt} \cdot d\vec{v} = m\vec{v} \cdot d\vec{v} & (3) \end{array}

この最後の式を積分して、行われた全仕事を求めると次のようになる。

\begin{array}{llr} W & = \displaystyle {\int_{i}^{f}} m\vec{v} \cdot d\vec{v} = \left.\frac{1}{2}m \|\vec{v}\|^2 \right|_i^f & \\ \\ & \displaystyle = \frac{1}{2}m \|\vec{v}_f\|^2 - \frac{1}{2}m\|\vec{v}_i\|^2 & (4) \end{array}

この推論から、力学的仕事は二つの異なる状態における同一の物理量の差に等しいことがわかる。一方は最終状態に対応し、もう一方は初期状態に対応する。その物理量は運動状態を変化させるために加え（あるいは取り除き）なければならなかったものであり、これを 運動エネルギー と呼ぶ。したがって次の式で定義される。

\begin{array}{llr} E_{cin} & \displaystyle = \frac{1}{2}m\|\vec{v}\|^2 & (5) \end{array}

したがって次の関係が成り立つ。

\begin{array}{llr} W & = \Delta E_{cin} & (6) \end{array}

この結果は 力学的エネルギー保存定理 として知られている。

練習問題 a) KIA Rio 5 のような自動車は およそ 1.580 kg の重量を持つ。この車を市内で時速 50 km の穏やかな速度で運転しているときに赤信号に出会うとする。停止するためには、車両はブレーキシステムを通じてそのエネルギーを散逸しなければならない。その後、再び速度を回復するためには、エンジンを通じて燃料からエネルギーを得る必要がある。もし信号が青であったなら、ブレーキをかける必要がなく、その分のエネルギーを節約できたことになる。信号が青である場合に節約されるエネルギー量を計算せよ。 b) 前項の計算を、今度は時速 70 km のやや高い速度で運転していると仮定して繰り返せ。この場合の余分なエネルギー消費を百分率で表せ。

運動エネルギーと制動距離

自動車運転者がよく犯す誤りの一つは、制動距離が速度に比例すると直感的に考えることである。すなわち、速度を2倍にすれば制動距離も2倍になると誤解する。本節では、その直感の誤りを検討し、実際には制動距離が速度の二乗に比例することを示す。

質量 m のブロックが初速度 v_i\hat{x} で水平面上を運動しており、動摩擦係数が \mu_c であると仮定する。このとき、運動に逆らう摩擦力 \vec{F}_{roce}=-\mu_c mg\hat{x} が働き、ブロックは制動距離 x_{fre} を進んだ後に停止する。この力によってなされる仕事は次の式で与えられる。

\displaystyle W_{roce}= \int_{0}^{x_{fre}} \vec{F}_{roce} \cdot d\vec{l} = \int_{0}^{x_{fre}} -\mu_c mg dx = -\mu_cmgx_{fre}

一方で、初速度 v_i から出発して最終速度 v_f=0 で静止する物体の運動エネルギーの変化は次のようになる。

\displaystyle \Delta E_{cin}= \frac{1}{2}m (\underbrace{\color{red}{v_f^2}}_{= 0} - v_i^2) = - \frac{1}{2}mv_i^2

したがって、すべての運動エネルギーが摩擦によって散逸し、物体が静止する場合には次のようになる。

\displaystyle \begin{array}{rrl} & W_{roce} & \displaystyle = \Delta E_{cin} \\ \\ \equiv & -\mu_cmg x_{fre} & \displaystyle = - \frac{1}{2}mv_i^2 \\ \\ \equiv & x_{fre} & = \frac{1}{2} \frac{v_i^2}{\mu_c g} \end{array}

この結果から、制動距離が速度の二乗に比例することが示された。

練習問題 質量 300[kg] のブロックが速度 15[km/h] で水平面上を運動しているとする。水平面とブロックの間の動摩擦係数が \mu_c=0,67 であるとき、ブロックが完全に停止するまでに進む距離を計算せよ。

仕事と位置エネルギー

質量 m の物体が高さ h_i から最終の高さ h_f （h_f \leq h_i）まで落下すると考えよう。このとき重力によってなされる仕事は次のように表される。

\displaystyle W_g = \int_{h_i}^{h_f} \vec{F}_g \cdot d\vec{l} = \int_{h_i}^{h_f} -mgdz = -mg(h_f - h_i)

ここから、高さが h_i = h で、最終の高さが地面のレベル h_f = 0 である場合には、次のようになる。

\displaystyle W_g = -mg(0 - h) = mgh

これにより、高さ h から物体が落下するとき、その空間における相対的な位置に関連したエネルギーが解放されることがわかる。このエネルギーを 位置エネルギー と呼ぶ。

\displaystyle \begin{array}{rr}{E_{pot} = mgh} & (7)\end{array}

位置エネルギーと自由落下

自由落下の問題を思い出そう。 自由落下 において、これまで学んできた位置エネルギーと運動エネルギーを用いることで、落下速度をより簡単に求めることができる。エネルギーは保存的な性質を持つ物理量の一つであり、すなわち、生成も消滅もせず、形を変えるだけである。地面から高さ h の位置に物体があるとき、重力によって地面まで落下すると、その位置エネルギーは消滅するのではなく、別の形のエネルギー、すなわち運動エネルギーへと変換される。このとき次の関係が成り立つ。

\begin{array}{rl} E_{pot,inicial} & = E_{cin, final} \\ \\ mgh &\displaystyle = \frac{1}{2}mv^2 \\ \\ v^2 & = 2gh \\ \\ v& =\sqrt{2gh}\end{array}

練習問題 ローラーコースターが 地面から 150[m] の高さに出発点を持っているとする。車両が摩擦なしでレール上を動き、静止状態から出発した場合、次の高さにあるときの速度を計算せよ。 a) 地面から 90[m] の高さ。 b) 地面から 50[m] の高さ。 c) 地面から 10[m] の高さ。