Mouvement Rectiligne Uniforme (M.R.U.)
Dans ce cours, nous nous concentrerons sur l’application des équations au mouvement rectiligne uniforme, essentiel pour comprendre comment les objets se déplacent à vitesse constante. Nous réviserons les équations sur l’axe \hat{x} et verrons leur simplification lorsque l’accélération est nulle, ce qui nous permettra de calculer la position d’un mobile en connaissant sa vitesse et sa position initiale. Enfin, nous appliquerons ces concepts avec des exemples et des exercices pratiques.
À la fin de ce cours, on s’attend à ce que l’étudiant soit capable de :
- Comprendre les équations de trajectoire : Reconnaître et comprendre les équations de mouvement, en particulier pour l’axe \hat{x}, et leur application dans la description du mouvement des corps.
- Appliquer les équations au mouvement rectiligne uniforme : Apprendre à simplifier les équations de trajectoire lorsque l’accélération est nulle, pour décrire le mouvement rectiligne uniforme.
- Identifier les caractéristiques du mouvement rectiligne uniforme : Savoir que dans ce type de mouvement, la direction et la vitesse de l’objet restent constantes.
- Calculer la position d’un mobile : Utiliser les équations de mouvement pour déterminer la position d’un objet à tout instant, étant donné sa position et sa vitesse initiales.
Les équations de trajectoire du M.R.U.
Dans le cours précédent, nous avons revu les raisonnements qui conduisent aux équations de trajectoire pour la description du mouvement des corps. Il est maintenant temps de les mettre dans le contexte de certains phénomènes simples pour commencer à pratiquer. Le plus simple de ces phénomènes correspond au mouvement rectiligne uniforme.
Avant de continuer, rappelons la forme des équations de trajectoire. Pour l’axe de coordonnées \hat{x}, elles sont :
\begin{array}{rcl} a_x (t) & = & a_{0x} \\ \\ v_x(t) & = & a_{0x}t+v_{0x}\\ \\ x(t) & = & \frac{1}{2}a_{0x}t^2 + v_{0x}t + x_0 \end{array}
Ici, a_{0x}, v_{0x} et x_0 représentent l’accélération, la vitesse et la position initiale du mobile, a_x(t), v_x(t) et x(t) sont l’accélération, la vitesse et la position du mobile en fonction du temps, respectivement. Toutes ces expressions sont écrites de manière analogue pour les autres axes de coordonnées \hat{y} et \hat{z}, pour représenter le mouvement dans 1, 2 et 3 dimensions spatiales.
Contextualisation du mouvement rectiligne uniforme
Pour placer les équations de trajectoire dans le contexte du mouvement rectiligne uniforme, nous devons répondre à la question : Qu’est-ce qu’un mouvement rectiligne uniforme ? et transformer cette question en conditions que nous pouvons imposer aux équations de trajectoire :
- La direction du mouvement ne change pas avec le temps
- la vitesse du mouvement ne change pas non plus
Tout cela se résume à établir que l’accélération dans les trois axes est nulle à tout instant ; et avec cela, les équations de trajectoire sont les suivantes :
\begin{array}{rcl} v_x(t) & = & v_{0x}\\ \\ x(t) & = & v_{0x}t + x_0 \end{array}
Et de manière analogue pour les autres axes. Avec cela, en connaissant la position et la vitesse initiales, il est possible de déterminer la position du mobile à tout instant.
En utilisant ces équations et en partant des conditions initiales pour la position et la vitesse, il est possible de déterminer la position du mobile à tout instant.
Exercices d’exemple :
- Trouvez la position à l’instant t=15[s] d’un mobile dont la position et la vitesse initiales sont données ci-dessous :
- v_{0x}=0,25[m/s]\;\;x_0=0,3[m]
- v_{0x}=10[km/h]\;\;x_0=15[m]
- v_{0x}=-3[m/min]\;\;x_0=4[in]
- Deux trains sont initialement séparés par une distance de 10 kilomètres. Les deux se déplacent sur la même ligne de rails ; le premier à une vitesse de v_{1}=20[km/h], et le second à une vitesse de v_2=15[km/h] mais en sens inverse.
- Combien de temps les trains mettent-ils pour se percuter ?
- Quelle distance parcourt chaque train depuis sa position initiale jusqu’au point d’impact ?