Trabajo y Energía Cinética

Cuando aplicamos una fuerza sobre el bloque, tenemos la sensación de que agregamos algo al sistema; intuitivamente decimos que «le estamos agregando energía», aunque esto no es necesariamente cierto. Si la fuerza no resulta ser suficiente para romper el roce estático, entonces no es posible decir si bloque ha cambiado o no en algo. Ciertamente estamos agregando algo al sistema, un «esfuerzo» por decirlo así, pero también es cierto que el roce estático regresa ese «esfuerzo» en sentido opuesto y complementario. Sin embargo, cuando el roce estático se rompe, entonces si es posible distinguir un cambio en el sistema: ahora se encuentra en un estado diferente de movimiento. Para producir ese nuevo estado de movimiento, hemos de agregar «algo nuevo» al sistema: ese «algo» es a lo que llamamos energía cinética.

Ahora tenemos dos magnitudes físicas que describen el estado de un objeto físico, o de un sistema: el momentum lineal que conocemos bien, que representa el estado de movimiento, y la energía cinética que comenzaremos a estudiar y que, por ahora, representará lo que hemos tenido que agregar para llevar al cuerpo o sistema desde el reposo a ese estado de movimiento.

La relación entre el trabajo y la energía cinética

Regresemos al bloque y la fuerza que lo pone en movimiento. Si la fuerza no produce movimiento, entonces decimos que no ha agregado nada al sistema, mientras que si lo hace, decimos que agrega energía cinética. Al producirse el movimiento, el cuerpo necesariamente recorre cierta trayectoria y mientras lo hace, la fuerza agregará energía. A esa acción de agregar o quitar energía cinética le llamaremos «realizar un trabajo mecánico», de este modo se define el elemento de trabajo mecánico dW a través de la ecuación

\begin{array}{lr} dW =\vec{F} \cdot d\vec{r} & (1) \end{array}

donde \vec{F} es la fuerza aplicada y d\vec{r} es el elemento de desplazamiento sobre el que ha actuado la fuerza. Dado que esta fuerza es aplicada sobre un cuerpo de masa m, utilizando la segunda ley de Newton podemos escribir

\begin{array}{lr} \displaystyle\vec{F} =\frac{d\vec{p}}{dt} = m\frac{d\vec{v}}{dt} & (2) \end{array}

Así, de las ecuaciones (1) y (2) se tendrá

\begin{array}{llr} dW & \displaystyle =m\frac{d\vec{v}}{dt} \cdot d\vec{r} = m\frac{d\vec{r}}{dt} \cdot d\vec{v} = m\vec{v} \cdot d\vec{v} & (3) \end{array}

Integrando estas última expresión para obtener el trabajo total realizado se tendrá:

\begin{array}{llr} W & = \displaystyle {\int_{i}^{f}} m\vec{v} \cdot d\vec{v} = \left.\frac{1}{2}m \|\vec{v}\|^2 \right|_i^f & \\ \\ & \displaystyle = \frac{1}{2}m \|\vec{v}_f\|^2 - \frac{1}{2}m\|\vec{v}_i\|^2 & (4) \end{array}

A partir de este razonamiento podemos ver que el trabajo mecánico es equivalente a una diferencia de una misma magnitud en dos estados diferentes, una correspondiente a un estado final y otro al inicial. Tal magnitud corresponde a lo que se ha tenido que agregar (o quitar) para cambiar el estado de movimiento y es lo que llamamos Energía Cinética, y en consecuencia queda definida a través de la ecuación:

\begin{array}{llr} E_{cin} & \displaystyle = \frac{1}{2}m\|\vec{v}\|^2 & (5) \end{array}

Y por lo tanto se tiene que

\begin{array}{llr} W & = \Delta E_{cin} & (6) \end{array}

Esto último es lo que se conoce como Teorema de las Fuerzas Vivas.

Energía cinética y distancia de frenado

Un error muy común cometido por los automovilistas es el de intuir que la distancia de frenado es directamente proporcional a la rapidez: si duplicamos la rapidez, también se duplica la distancia de frenado. En esta sección revisaremos el error detrás de esa intuición y demostraremos que, en realidad, la distancia de frenado es proporcional al cuadrado de la rapidez.

Supongamos que tenemos un bloque de masa m moviéndose sobre un plano horizontal con rapidez inicial v_i\hat{x} y donde hay un coeficiente de roce cinético \mu_c. A partir de ésto vemos que hay una fuerza de roce opuesta al movimiento \vec{F}_{roce}=-\mu_c mg\hat{x} que va a actuar hasta que el cuerpo se detenga luego de recorrer la distancia de frenado x_{fre}. El trabajo ejercido por esta fuerza esta dado por:

\displaystyle W_{roce}= \int_{0}^{x_{fre}} \vec{F}_{roce} \cdot d\vec{l} = \int_{0}^{x_{fre}} -\mu_c mg dx = -\mu_cmgx_{fre}

Por otro lado, la variación de energía cinética de un cuerpo que parte con rapidez inicial v_i y llega al reposo quedando con velocidad final v_f=0 es:

\displaystyle \Delta E_{cin}= \frac{1}{2}m (\underbrace{\color{red}{v_f^2}}_{= 0} - v_i^2) = - \frac{1}{2}mv_i^2

De modo tal que si toda la energía cinética es disipada por el roce hasta llevar el cuerpo al reposo, se tendrá que:

\displaystyle \begin{array}{rrl} & W_{roce} & \displaystyle = \Delta E_{cin} \\ \\ \equiv & -\mu_cmg x_{fre} & \displaystyle = - \frac{1}{2}mv_i^2 \\ \\ \equiv & x_{fre} & = \frac{1}{2} \frac{v_i^2}{\mu_c g} \end{array}

A partir de esto se tiene lo que se quería demostrar, que la distancia de frenado es proporcional a la velocidad al cuadrado.

Trabajo y Energía Potencial

Imaginemos que tenemos un cuerpo de masa m que cae desde una altura h_i hasta una altura final h_f ( con h_f \leq h_i ). Entonces tendremos que el trabajo hecho por la fuerza de gravedad es de la forma:

\displaystyle W_g = \int_{h_i}^{h_f} \vec{F}_g \cdot d\vec{l} = \int_{h_i}^{h_f} -mgdz = -mg(h_f - h_i)

A partir de esto tenemos que, si la altura inicial es h_i = h y la altura final está a nivel del suelo h_f = 0, entonces se tendrá:

\displaystyle W_g = -mg(0 - h) = mgh

Con esto tenemos que, cuando un cuerpo cae desde una altura h se libera una energía asociada a su posición relativa en el espacio. A esta energía la llamamos Energía Potencial.

\displaystyle \begin{array}{rr}{E_{pot} = mgh} & (7)\end{array}

Energía potencial y la caída libre

Recordemos el problema de la caída libre. Utilizando ahora la energía potencial y cinética que hemos estudiado ahora podemos encontrar la rapidez de caída con un procedimiento mucho más sencillo. La energía es otra de esas magnitudes físicas que tienen la característica e ser conservativas; es decir, no se crea ni se destruye, sólo se transforma. Cuando tenemos un cuerpo puesto a una altura h del suelo, cuando este cae por acción de la gravedad hasta llegar al suelo, su energía potencial no desaparece, sino que se transforma en otra forma de energía: en energía e movimiento, de modo que se tendrá:

\begin{array}{rl} E_{pot,inicial} & = E_{cin, final} \\ \\ mgh &\displaystyle = \frac{1}{2}mv^2 \\ \\ v^2 & = 2gh \\ \\ v& =\sqrt{2gh}\end{array}