浮点数

以 2 为底的科学记数法

整数及其表示一课表明，一个 $n$ 位的整数恰好表示 $2^n$ 个连续的值。然而，带小数的数提出了另一种困难：任意两个实数之间都有无穷多个其他实数，任何有限的位数都无法把它们全部区分开。当今所有计算机采用的办法，与科学书写极大或极小的量时所用的办法相同：科学记数法。以 10 为底时，地球到太阳的平均距离写作 $1.496 \times 10^{11}$ 米；这个数有一个符号、少数几位有效数字（尾数，$1.496$）和底数的一个幂（指数，$11$），指数说明小数点的位置。既然如此，用固定位数的数字就能覆盖数量级相差悬殊的量，代价是每个量只保存其前几位数字。

计算机以 2 为底做同样的事。每个非零的数都能以唯一的方式写成

其中 $s$ 是符号（正数为 0，负数为 1），$1.m_1 m_2 \ldots$ 是用二进制写出的尾数，其首位总是 1，$e$ 是指数。首位总是 1 有一个实际的好处：不必保存它，省下的这一位用于提高精度。浮点这个名称描述的正是这种形式：小数点在数字之间没有固定的位置，而是随指数“浮动”。

C++ 的 double 类型在所有现行编译器中都采用国际标准化的 64 位双精度二进制格式：1 位符号，11 位指数，52 位尾数（不含首位数字）。指数以偏移的方式保存：11 位的字段存放 $e + 1023$，因此对于从 $-1022$ 到 $1023$ 的指数，它保存从 1 到 2046 的无符号值（字段的值 0 和 2047 保留给零、非常小的数、无穷大和非数，本课末尾将会讲到）。float 类型采用 32 位的单精度格式：1 位符号，8 位指数，23 位尾数。

double 的各个位是可以看到的。下面的程序使用 std::bit_cast（来自头文件 <bit>），它把这个数的 64 位重新解释为一个 64 位的无符号整数，一位也不改变；这里不作进一步解释，只把它当作观察内存的工具。格式说明 {:064b} 用 64 位数字以二进制写出这个整数，如同前一课那样，{:016X} 则用 16 位数字以十六进制写出。

#include <bit>#include <cstdint>#include <print>​int main(){    const double tenth{0.1};    // 这个数的 64 位，作为无符号整数读取。    const std::uint64_t bits{std::bit_cast<std::uint64_t>(tenth)};    std::println("{:064b}", bits);    std::println("{:016X}", bits);}

00111111101110011001100110011001100110011001100110011001100110103FB999999999999A