整数及其表示

进位制

变量与内存一课把变量介绍为一个有名字、类型和值的存储单元。然而，内存保存的不是十进制数字，而是位，每一位的值是 0 或 1，每八位组成一个字节（标准要求至少八位；现今所有系统都恰好使用八位）。因此，要知道一个整数变量能取哪些值，就必须知道如何只用两个数字写出一个数，而这正是二进制这种进位制所做的事。

在基数为 $b$ 的进位制中，每一位数字的值取决于它所在的位置：最后一位乘以 $b^0 = 1$，它前面的一位乘以 $b^1$，再前面的一位乘以 $b^2$，依此类推。在十进制中，$2026$ 表示 $2 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 6 \cdot 10^0$。在二进制中，数字只有 0 和 1，各位的权是 2 的幂：$1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, \ldots$。由此得出从二进制化为十进制的规则：把有 1 的那些位置的权相加。

反方向的路，从十进制到二进制，用连续除法来走：把这个数除以 2，记下余数（0 或 1），再对商重复这一步，直到商为 0；把余数从最后一个读到第一个，就是二进制数字。对于 45：$45 = 2 \cdot 22 + 1$，$22 = 2 \cdot 11 + 0$，$11 = 2 \cdot 5 + 1$，$5 = 2 \cdot 2 + 1$，$2 = 2 \cdot 1 + 0$，$1 = 2 \cdot 0 + 1$；把余数倒过来读，得到 101101，左边补上两个 0，就是图中的位模式。道理在于：每个余数都是被除的那个数的个位数字，而每个商都是那个数向右移动一位的结果。同样的方法适用于任何基数：对十六进制就除以 16，余数 10 到 15 用字母 a 到 f 表示。

基数 16，即十六进制，是为了方便而存在的：由于 $16 = 2^4$，每个十六进制数字恰好对应四个位，一个字节用两个数字就能写出。一个 32 位的数用二进制要写三十二个数字，很难读；用十六进制只要八个，而且不必计算就能逐个数字地转换成二进制。所以程序员用十六进制阅读内存。进位制的数学基础在“代数与几何 I”课程中的“进位记数制”一课中研究。

C++ 允许直接用这些进位制书写整数：以 0b 开头的字面量是二进制的，以 0x 开头的是十六进制的。在任何字面量中都可以加一个撇号作为数字分隔符，编译器会忽略它，读者则会感激它：0b0010'1101，1'000'000。输出时，格式说明 {:b} 以二进制写出整数，{:x} 以小写字母的十六进制写出，{:X} 则用大写字母；符号 # 加上前缀，而前面带一个 0 的宽度会在左边补 0。

#include <print>​int main(){    const int decimal{45};    const int binary{0b0010'1101};    const int hexadecimal{0x2d};    std::println("{} {} {}", decimal, binary, hexadecimal);    std::println("二进制：{:b}", decimal);    std::println("八位：{:08b}", decimal);    std::println("十六进制：{:x} {:X} {:#x}", decimal, decimal, decimal);}

45 45 45二进制：101101八位：00101101十六进制：2d 2D 0x2d