解三角形：正弦定理与余弦定理

记号与预备事实

在关于三角比的课中，锐角的正弦、余弦和正切被定义为直角三角形的边之比，随后借助单位圆推广到任意角。因此，直角三角形可以用这些三角比和勾股定理来解。然而，在几何和土地测量中出现的三角形大多没有直角；本课的目的就是解所有的三角形。

在顶点为 $A$、$B$ 和 $C$ 的三角形中，同一个大写字母既表示顶点，也表示三角形在该顶点处的内角的大小，对应的小写字母表示对边的长：$a$ 是边 $BC$ 的长，$b$ 是边 $CA$ 的长，$c$ 是边 $AB$ 的长。三角形的面积记作 $S$，两点 $P$ 与 $Q$ 之间的距离记作 $\operatorname{d}(P, Q)$。按照解三角形的惯例，角用度来表示。然而，三角函数是对实数定义的，而这些实数是以弧度计的大小；按照关于角及其度量的课中的换算法则，$g$ 度的角的大小为 $\frac{\pi g}{180}$ 弧度，并作如下约定：$\sin g^\circ$ 表示 $\sin \frac{\pi g}{180}$，其余函数同理；例如 $\cos 60^\circ = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$。同样，反余弦在 $\icc{0}{\pi}$ 中取值，它返回一个角以弧度计的大小，而这个大小用度来表示：等式 $\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = 120^\circ$ 的意思是 $\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{2\pi}{3}$，即 $120^\circ$ 的角以弧度计的大小。在这一约定下，以下所有内容在弧度制下同样成立，只需把 $180^\circ$ 换成 $\pi$。与关于角及其度量的课一样，我们承认初等几何中的一个事实，本课程不证明它，因为本课程不展开综合几何：三角形的三个内角之和等于两个直角。

由此可知，三角形的每个角都严格介于 $0^\circ$ 与 $180^\circ$ 之间，并且其中至多有一个是直角或钝角。此外，还要用到本单元前面几课中的下列事实：

• 到原点的距离为 $r$、并且位于与横轴正半轴成角 $\theta$ 的射线上的点，坐标为 $\left( r \cos \theta, r \sin \theta \right)$：它是单位圆上对应于 $\theta$ 的点乘以 $r$。
• 平方关系 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$，以及补角的对称性 $\sin \left( 180^\circ - \theta \right) = \sin \theta$ 和 $\cos \left( 180^\circ - \theta \right) = -\cos \theta$。
• 若 $0^\circ < \theta < 180^\circ$，则 $\theta$ 的正弦为正；若 $\theta$ 是锐角，余弦为正，是直角则为零，是钝角则为负。
• 余弦在 $0^\circ$ 与 $180^\circ$ 之间严格减小，并在这个区间上恰好一次取到 $-1$ 与 $1$ 之间的每个值；因此，根据关于反三角函数的课，三角形的一个角由其余弦确定：$\theta = \arccos x$。

正弦则不能确定三角形的一个角：角 $\theta$ 与 $180^\circ - \theta$ 的正弦相同，而反正弦函数只返回其中的锐角。正弦与余弦之间的这种不对称，将在倒数第二节中说明为什么某些已知条件允许两个不同的三角形。