跳至内容
Topos Uranos
中文 (中国)

空间向量与数量积

摘要

本课把关于平面向量的课用两个坐标研究的向量推广到三维空间。本课确定一个由三条互相垂直的轴构成、具有正定向的坐标系，说明所承认的欧几里得空间几何的事实，并两次应用勾股定理得到两点间的距离。本课把向量定义为实数的三元组，给出它们的加法、数乘、标准基和坐标的唯一性；定义模和数量积，证明它们的性质、用判别式证明柯西-施瓦茨不等式以及三角不等式，并借助这些结果定义两向量的夹角，它与初等几何中的角一致。随后研究正交、正交投影、方向余弦，以及把数量积写成行与列之积的写法，由此推出列为单位向量且互相垂直的矩阵保持长度和角。应用是力所做的功、空间中的余弦定理和甲烷分子的键角；问题涉及正方体和平行六面体的对角线、垂直于两个已知向量的向量、三根缆绳的张力，以及对棱互相垂直的四面体。

学习目标

  1. 在空间直角坐标系中确定点的位置，判断点所在的卦限并计算距离，用勾股定理说明公式的依据。
  2. 对空间向量进行运算，用标准基表示它们，并用它们证明平行四边形、平行六面体和四面体的性质。
  3. 计算模、数量积、角、正交投影和方向余弦，并证明空间中的柯西-施瓦茨不等式和三角不等式。
  4. 把数量积写成矩阵的乘积，并用它判断一个矩阵是否保持长度和角。
  5. 用数量积建立力所做的功、共点力的平衡和分子中键角的模型。

空间直角坐标系

在课程 代数与几何 I 中关于平面向量的课里，平面上的每一点与一对数对应，每一个位移与另一对数对应，直线、角和距离的几何被翻译成关于这些数对的计算。然而，物理世界是三维的：一架飞机的位置、分子中一个原子的位置或悬挂在天花板上的一盏灯的位置，都需要三个数。既然如此，就应当用三元组重复这一构造。在平面上证明过的大部分结论可以不加改变地推广，因为那些证明是逐个分量进行的，或者只用到数量积的代数性质；在这些情形下，本课引用关于平面的那一课。需要小心的是几何：在空间中，没有一张能容纳一切的平面图形，例如两向量的夹角，必须先定义，然后才能计算。

所承认的欧几里得空间几何的事实

空间解析几何翻译的是立体几何，欧几里得在《几何原本》第 XI 卷至第 XIII 卷中阐述了立体几何。它的公理化构建超出了本课程的范围，平面的情形也是如此：在关于直线的方程的课中，所承认的平面几何事实被汇集成一个列表。同样，本单元所用到的空间的事实不加证明地予以承认，并汇集在下面的列表中；本单元的某一课每当用到其中一个事实，就引用这个列表。

  1. 平面。过不共线的三点有且只有一个平面；如果一条直线上的两点在一个平面内，那么整条直线都在这个平面内。在空间的每一个平面内，关于直线的方程的课中所承认的平面几何事实都成立；特别地，勾股定理及其逆定理成立，并且可以在该平面内自由选取坐标轴。
  2. 垂直的直线与平面。过每一点有且只有一个平面垂直于已知直线，而且这个平面与该直线交于唯一的一点。垂直于一个平面的直线，垂直于这个平面内过交点的所有直线。
  3. 坐标轴。过一点 OO 且两两垂直的三条直线，若每条都规定了正方向并取相同的单位长度，就构成一个坐标轴系。距离、角和图形与这种选择无关。
  4. 坐标。取定坐标轴系后，过点 PP 作垂直于三条轴的平面，它们与三条轴分别交于坐标为 xx、yy 和 zz 的点；反过来，对每一个数的三元组，这样的三个平面交于唯一的一点。第三个坐标等于 cc 的点构成一个垂直于 zz 轴的平面，在这个平面内，前两个坐标是同一单位下的平面直角坐标；前两个坐标固定的点构成一条平行于 zz 轴、垂直于该平面的直线，在这条直线上，第三个坐标以同一单位度量位置。把各轴互换，同样的结论也成立。

第四个事实是前三个事实的推论，立体几何利用平行直线和平行平面的性质证明它；之所以单独陈述，是因为以后将以这种形式使用它。

空间直角坐标系是一个坐标轴系，三条轴分别称为 xx 轴、yy 轴和 zz 轴，它们相交于原点 OO。每一点 PP 与其坐标构成的三元组 P=(x,y,z)P = (x, y, z) 对应，这三个坐标分别称为横坐标、纵坐标和竖坐标。三个坐标平面是：xyxy 平面，方程为 z=0z = 0；yzyz 平面，方程为 x=0x = 0；xzxz 平面，方程为 y=0y = 0。

坐标平面按各坐标的符号把空间分成八个区域，称为卦限；第一卦限由三个坐标都为正的点构成，其余卦限用它们的符号三元组来命名，例如卦限 (+,−,+)(+, -, +)。在平面上，两条互相垂直的轴有两种本质上不同的摆放方式：把第一条轴按逆时针方向旋转四分之一圈，或按顺时针方向旋转四分之一圈，得到第二条轴。在空间中，三条轴的情形也是如此，而这种区别有专门的名称。

一个空间坐标系称为具有正定向，是指从 zz 轴的正方向看去，把 xx 轴正半轴转到 yy 轴正半轴的四分之一圈是逆时针的。等价地，右手法则成立：如果右手四指从 xx 轴正半轴弯向 yy 轴正半轴，那么拇指指向 zz 轴正半轴。

若把其中一条轴反向，定向就改变；若把两条轴反向，定向保持不变。把各轴作轮换，由 xx、yy、zz 变为 yy、zz、xx，定向也不改变，因此在正定向的坐标系中，从 xx 轴正半轴看去，由 yy 到 zz 的旋转也是逆时针的。以下所有坐标系都具有正定向。图中用斜二测画法画坐标系：yy 轴向右，zz 轴向上，xx 轴指向观察者，沿斜线画出，长度缩短为一半。定向在本课中不起作用；在接下来的一课，即关于向量积与混合积的课中，它将至关重要。

例题在空间中确定一个点

沿坐标轴走动来确定点 P=(3,4,2)P = (3, 4, 2) 的位置，指出它所在的卦限，并确定点 P1=(3,4,−2)P_1 = (3, 4, -2) 的位置。

证明

  1. O=(0,0,0)O = \left( 0, 0, 0 \right)

    画出具有正定向的三条轴：从上方看去，由 xx 轴正半轴到 yy 轴正半轴的四分之一圈是逆时针的。

  2. A=(3,0,0)A = \left( \resaltar{3}, 0, 0 \right)

    前进 33 个单位（沿 xx 轴）。

  3. B=(3,4,0)B = \left( 3, \resaltar{4}, 0 \right)

    从 AA 出发，前进 44 个单位（沿 yy 轴的方向），不离开 xyxy 平面。

  4. P=(3,4,2)P = \left( 3, 4, \resaltar{2} \right)

    从 BB 出发，向上 22 个单位（沿 zz 轴的方向）。三个坐标都是正的：PP 在第一卦限，它是与 OO 相对的顶点，所在长方体的棱长为 33、44 和 22。

  5. P1=(3,4,−2)P_1 = \left( 3, 4, \resaltar{-2} \right)

    如果从 BB 向下 22 个单位，就到达 P1P_1，它在卦限 (+,+,−)(+, +, -) 中。xyxy 平面垂直地截线段 PP1P P_1 于其中点 BB：P1P_1 是 PP 关于这个平面的对称点。

两点间的距离

在平面上，两点间的距离是对一个两条直角边平行于坐标轴的三角形应用一次勾股定理得到的。在空间中需要应用两次：先在一个水平平面内，再在一个竖直平面内。

定理两点间的距离

点 P=(x1,y1,z1)P = (x_1, y_1, z_1) 与 Q=(x2,y2,z2)Q = (x_2, y_2, z_2) 之间的距离如下。

d⁡(P,Q)=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2\operatorname{d}(P, Q) = \sqrt{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2 + \left( z_2 - z_1 \right)^2}

引入一个辅助点 RR，它与 PP 等高，并在 QQ 的竖直线上。图中使用 P=(1,2,1)P = (1, 2, 1) 和 Q=(3,5,7)Q = (3, 5, 7)。

证明

  1. R=(x2,y2,z1)R = \left( x_2, y_2, \resaltar{z_1} \right)

    设 RR 是这样的点：前两个坐标取 QQ 的，竖坐标取 PP 的。点 PP 和 RR 在竖坐标为 z1z_1 的平面内，RR 和 QQ 在平行于 zz 轴的直线上，这条直线由前两个坐标为 x2x_2 和 y2y_2 的点构成。

  2. d⁡(P,R)2=(x2−x1)2+(y2−y1)2{\operatorname{d}(P, R)}^2 = \dato{pr}{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2}

    根据坐标的事实，在竖坐标为 z1z_1 的平面内，前两个坐标是直角坐标，于是关于直线的方程的课中平面上的距离公式给出 PRPR 的长度。图中，4+9=134 + 9 = 13。

  3. d⁡(R,Q)=∣z2−z1∣\operatorname{d}(R, Q) = \dato{rq}{\abs{z_2 - z_1}}

    在包含 RR 和 QQ 的竖直直线上，竖坐标度量位置：RQRQ 的长度是竖坐标之差的绝对值。图中，7−1=67 - 1 = 6。

  4. d⁡(P,Q)2=d⁡(P,R)2+d⁡(R,Q)2{\operatorname{d}(P, Q)}^2 = \resaltar{{\operatorname{d}(P, R)}^2} + \resaltar{{\operatorname{d}(R, Q)}^2}

    直线 RQRQ 垂直于竖坐标为 z1z_1 的平面，因而根据所承认的第二个事实，垂直于直线 PRPR，后者在这个平面内并经过 RR。三角形 PRQPRQ 在 RR 处是直角，根据第一个事实，勾股定理在包含它的平面内成立。

  5. d⁡(P,Q)=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2,13+36=7\operatorname{d}(P, Q) = \sqrt{\resaltar{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2} + \resaltar{\left( z_2 - z_1 \right)^2}}, \qquad \sqrt{13 + 36} = 7

    代入并开平方。如果 P=RP = R 或 R=QR = Q，就不构成三角形，但公式化为两个距离中只有一个的公式，仍然成立。图中，距离为 77。

特别地，P=(x,y,z)P = (x, y, z) 到原点的距离是 x2+y2+z2\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}，即棱长为 ∣x∣\abs{x}、∣y∣\abs{y} 和 ∣z∣\abs{z} 的长方体的对角线长。例如，棱长为 aa 的正方体的对角线长为 a2+a2+a2=a3\sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a \sqrt{3}。