跳至内容
Topos Uranos
中文 (中国)

空间中的距离、角与体积

摘要

本课把前三课的工具，即数量积、向量积和混合积，与直线和平面的方程结合起来，用于空间中的度量。本课定义点到集合的距离，通过向法线投影证明点到平面的距离公式，并借助向量积证明点到直线的距离公式，两者都以垂足作为唯一的最近点。由此推出平行平面之间的距离和平行直线之间的距离，并证明两条异面直线有唯一的公垂线，它通过解一个由两个方程组成的方程组求得，其长度等于一个混合积除以一个模。本课定义并计算两条直线之间、直线与平面之间以及两个平面之间的角，并证明它们与初等几何中的角一致；作出线段的中垂面以及一点关于平面和关于直线的对称点；证明平面多边形的投影面积等于它的面积乘以二面角的余弦，并研究球面、球面的方程、它与平面的交以及它的切平面。应用涉及晶体的晶面及其米勒指数和卫星定位；问题涉及正四面体、到三个点距离相等的点、太阳能板的影子、球面的含有一条直线的切平面，以及航线异面的两架飞机。

学习目标

  1. 计算点到平面和点到直线的距离、平行平面之间、平行直线之间以及异面直线之间的距离，证明每个公式，并求出距离达到的点。
  2. 求两条异面直线的公垂线并证明它是唯一的。
  3. 计算直线之间、直线与平面之间以及两个平面之间的角，并证明它们与所定义的几何角一致。
  4. 作出线段的中垂面以及一点关于平面和关于直线的对称点。
  5. 用向量积和混合积计算面积和体积，并证明和应用平面多边形的面积与其投影面积之间的关系。
  6. 由球面的方程求出球心和半径，判定球面与平面的位置关系，求出截得的圆和切平面，并用这些工具为晶体学、太阳能、航空导航和卫星定位中的问题建立模型。

点到平面和点到直线的距离

关于平面向量的课通过向法向量投影，得到了平面上点到直线的距离。在空间中，关于空间中的直线与平面的课把过 P0P_0、法向量为 n⃗=(a,b,c)\vec{n} = \left( a, b, c \right)（非零）的平面写成点 XX 的集合（满足 n⃗⋅P0X⃗=0\vec{n} \cdot \vec{P_0 X} = 0），即由方程 ax+by+cz=dax + by + cz = d 给出，并把过 AA、方向向量为 u⃗\vec{u} 的直线写成点 A+tu⃗A + t \vec{u} 的集合，其中 tt 为实数。如果是这样，平面上的思路无须改变就适用于空间中的平面；但对于直线，法线不再只是一个方向，于是关于向量积与混合积的课中的向量积取而代之。所用的空间欧几里得几何的事实，就是关于空间向量与数量积的课中所承认的那些事实。

设 FF 是空间中的一个非空点集，PP 是一个点。如果在 PP 到 FF 中各点的距离中，有一个小于或等于其余所有距离，那么这个数称为PP 到 FF 的距离，记作 d⁡(P,F)\operatorname{d}(P, F)。同样，如果在集合 FF 的点到另一个集合 GG 的点的距离中，有一个小于或等于所有距离，那么这个数称为FF 与 GG 之间的距离，记作 d⁡(F,G)\operatorname{d}(F, G)。

定义并不保证距离存在：在无穷多个距离中可能没有最小的一个。因此，后面的定理不只给出公式，还证明存在一个最近点，而且它是唯一的。

定理点到平面的距离

设 π\pi 是平面 ax+by+cz=dax + by + cz = d，其中 n⃗=(a,b,c)\vec{n} = \left( a, b, c \right) 非零，并设 P=(x0,y0,z0)P = (x_0, y_0, z_0)。点 H=P−λn⃗H = P - \lambda \vec{n}（其中 λ=ax0+by0+cz0−d∥n⃗∥2\lambda = \frac{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}{{\norma{\vec{n}}}^2}）在 π\pi 上，HP⃗\vec{HP} 垂直于 π\pi，并且 HH 是 π\pi 上离 PP 最近的唯一点。因此：

d⁡(P,π)=∣ax0+by0+cz0−d∣a2+b2+c2\operatorname{d}(P, \pi) = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

把从平面上任意一点到 PP 的向量投影到法线上，与平面几何中的做法相同；最小性就是勾股定理。图中使用平面 2x+y+2z=42x + y + 2z = 4 和点 P=(2,3,3)P = (2, 3, 3)。

证明

  1. p⃗=QP⃗⋅n⃗∥n⃗∥2n⃗\vec{p} = \dato{p}{\frac{\vec{QP} \cdot \vec{n}}{{\norma{\vec{n}}}^2} \vec{n}}

    取一点 Q=(q1,q2,q3)Q = (q_1, q_2, q_3)（属于 π\pi），并用关于空间向量的课中的正交投影定理把 QP⃗\vec{QP} 投影到 n⃗\vec{n} 上。图中 Q=(2,0,0)Q = (2, 0, 0)。

  2. QP⃗⋅n⃗=ax0+by0+cz0−(aq1+bq2+cq3)=ax0+by0+cz0−d\vec{QP} \cdot \vec{n} = a x_0 + b y_0 + c z_0 \resaltar{- \left( a q_1 + b q_2 + c q_3 \right)} = \dato{e}{a x_0 + b y_0 + c z_0 - \resaltar{d}}

    由于 QQ 在 π\pi 上，有 aq1+bq2+cq3=da q_1 + b q_2 + c q_3 = d，而分子中的数量积就是方程左边在 PP 处的值减去 dd。

  3. QH⃗=QP⃗−λn⃗,n⃗⋅QH⃗=0→H∈π\vec{QH} = \vec{QP} - \resaltar{\lambda \vec{n}}, \qquad \vec{n} \cdot \vec{QH} = 0 \rightarrow \dato{h}{H \in \pi}

    因此 p⃗=λn⃗\vec{p} = \lambda \vec{n}，且 H=P−p⃗H = P - \vec{p}。向量 QH⃗=QP⃗−p⃗\vec{QH} = \vec{QP} - \vec{p} 是投影的正交分量，垂直于 n⃗\vec{n}；由平面的点法式方程，HH 在 π\pi 上。

  4. ∥PX⃗∥2=∥PH⃗∥2+∥HX⃗∥2≥∥PH⃗∥2{\norma{\vec{PX}}}^2 = {\norma{\vec{PH}}}^2 + \resaltar{{\norma{\vec{HX}}}^2} \ge {\norma{\vec{PH}}}^2

    设 XX 是 π\pi 上任意一点。由沙勒关系，PX⃗=PH⃗+HX⃗\vec{PX} = \vec{PH} + \vec{HX}；第一项是 n⃗\vec{n} 的倍数，第二项连接 π\pi 上的两点，所以二者正交，勾股等式成立。

  5. d⁡(P,π)=∥p⃗∥=∣QP⃗⋅n⃗∣∥n⃗∥=∣ax0+by0+cz0−d∣a2+b2+c2\operatorname{d}(P, \pi) = \norma{\vec{p}} = \frac{\resaltar{\abs{\vec{QP} \cdot \vec{n}}}}{\norma{\vec{n}}} = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

    仅当 HX⃗=0⃗\vec{HX} = \vec{0}，即 X=HX = H 时等号成立：垂足是唯一的最近点，距离就是投影的模。

  6. d⁡(P,π)=∣2⋅2+3+2⋅3−4∣4+1+4=93=3\operatorname{d}(P, \pi) = \frac{\abs{2 \cdot 2 + 3 + 2 \cdot 3 - 4}}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{\resaltar{9}}{\resaltar{3}} = 3

    图中 QP⃗=(0,3,3)\vec{QP} = \left( 0, 3, 3 \right)、QP⃗⋅n⃗=9\vec{QP} \cdot \vec{n} = 9 且 ∥n⃗∥=3\norma{\vec{n}} = 3，所以 λ=1\lambda = 1，垂足为 H=(0,2,1)H = (0, 2, 1)，距离为 33。

数 ax0+by0+cz0−da x_0 + b y_0 + c z_0 - d 的符号被公式中的绝对值隐藏了，它也有意义。由于 P=H+λn⃗P = H + \lambda \vec{n}，当点 PP 是从平面出发、沿 n⃗\vec{n} 的方向移动而到达时，它为正；沿相反方向到达时，它为负。满足 ax+by+cz>dax + by + cz > d 的点构成平面所确定的两个半空间之一，满足 ax+by+cz<dax + by + cz < d 的点构成另一个；两点位于平面的同一侧，当且仅当该表达式在这两点处同号。因此，原点和点 (2,3,3)(2, 3, 3) 位于平面 2x+y+2z=42x + y + 2z = 4 的两侧，因为 0−4<0<90 - 4 < 0 < 9。

定理点到直线的距离

设 rr 是直线 A+tu⃗A + t \vec{u}，其中 u⃗\vec{u} 非零，并设 PP 是一个点。点 H=A+t0u⃗H = A + t_0 \vec{u}（其中 t0=AP⃗⋅u⃗∥u⃗∥2t_0 = \frac{\vec{AP} \cdot \vec{u}}{{\norma{\vec{u}}}^2}）是 rr 上离 PP 最近的唯一点，HP⃗\vec{HP} 垂直于 u⃗\vec{u}，并且：

d⁡(P,r)=∥AP⃗×u⃗∥∥u⃗∥\operatorname{d}(P, r) = \frac{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}{\norma{\vec{u}}}

把 AP⃗\vec{AP} 分解为它在 u⃗\vec{u} 上的投影与它的正交分量；后者的模用拉格朗日恒等式表示。图中使用过 A=(0,0,1)A = (0, 0, 1)、方向向量为 u⃗=(1,2,2)\vec{u} = \left( 1, 2, 2 \right) 的直线和点 P=(3,3,1)P = (3, 3, 1)。

证明

  1. AP⃗=t0u⃗+w⃗,w⃗⋅u⃗=0\vec{AP} = t_0 \vec{u} + \dato{w}{\vec{w}}, \qquad \vec{w} \cdot \vec{u} = 0

    由正交投影定理，AP⃗\vec{AP} 是它的投影 t0u⃗t_0 \vec{u}（在 u⃗\vec{u} 上）与向量 w⃗\vec{w}（正交于 u⃗\vec{u}）之和。点 H=A+t0u⃗H = A + t_0 \vec{u} 在 rr 上，且 HP⃗=w⃗\vec{HP} = \vec{w}。

  2. XP⃗=w⃗+(t0−t)u⃗,∥XP⃗∥2=∥w⃗∥2+(t0−t)2∥u⃗∥2≥∥w⃗∥2\vec{XP} = \vec{w} + \resaltar{\left( t_0 - t \right) \vec{u}}, \qquad {\norma{\vec{XP}}}^2 = {\norma{\vec{w}}}^2 + \resaltar{\left( t_0 - t \right)^2 {\norma{\vec{u}}}^2} \ge {\norma{\vec{w}}}^2

    对任意一点 X=A+tu⃗X = A + t \vec{u}（属于 rr），向量 XP⃗\vec{XP} 等于 w⃗\vec{w} 加上 u⃗\vec{u} 的一个倍数；两项正交，勾股等式成立。

  3. d⁡(P,r)2=∥w⃗∥2=∥AP⃗∥2−(AP⃗⋅u⃗)2∥u⃗∥2=∥AP⃗∥2∥u⃗∥2−(AP⃗⋅u⃗)2∥u⃗∥2{\operatorname{d}(P, r)}^2 = {\norma{\vec{w}}}^2 = {\norma{\vec{AP}}}^2 - \resaltar{\frac{\left( \vec{AP} \cdot \vec{u} \right)^2}{{\norma{\vec{u}}}^2}} = \dato{q}{\frac{{\norma{\vec{AP}}}^2 {\norma{\vec{u}}}^2 - \left( \vec{AP} \cdot \vec{u} \right)^2}{{\norma{\vec{u}}}^2}}

    仅当 t=t0t = t_0 时等号成立：HH 是唯一的最近点，距离就是 w⃗\vec{w} 的模，其平方由投影的勾股等式给出。

  4. d⁡(P,r)2=∥AP⃗×u⃗∥2∥u⃗∥2→d⁡(P,r)=∥AP⃗×u⃗∥∥u⃗∥{\operatorname{d}(P, r)}^2 = \frac{\resaltar{{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}^2}}{{\norma{\vec{u}}}^2} \rightarrow \operatorname{d}(P, r) = \frac{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}{\norma{\vec{u}}}

    由关于向量积的课中的拉格朗日恒等式，分子是 AP⃗×u⃗\vec{AP} \times \vec{u} 的模的平方；开平方即得。

  5. AP⃗×u⃗=(6,−6,3),d⁡(P,r)=93=3\vec{AP} \times \vec{u} = \left( 6, -6, 3 \right), \qquad \operatorname{d}(P, r) = \frac{\resaltar{9}}{\resaltar{3}} = 3

    图中 AP⃗=(3,3,0)\vec{AP} = \left( 3, 3, 0 \right)，AP⃗⋅u⃗=9\vec{AP} \cdot \vec{u} = 9，所以 t0=1t_0 = 1，H=(1,2,3)H = (1, 2, 3)，w⃗=(2,1,−2)\vec{w} = \left( 2, 1, -2 \right)，其模为 33。向量积给出同样的结果。

这个公式有直接的几何意义：∥AP⃗×u⃗∥\norma{\vec{AP} \times \vec{u}} 是以 AP⃗\vec{AP} 和 u⃗\vec{u} 为边的平行四边形的面积，∥u⃗∥\norma{\vec{u}} 是它落在直线上的底边的长度；商就是高，也就是所求的距离。只需要距离时，向量积可以省去计算垂足。