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Topos Uranos
中文 (中国)

空间中的直线与平面

摘要

本课把由一点和一个方向向量确定的直线推广到空间，并以向量形式和参数形式（通过一点和两个方向向量）以及一般式（通过方程 ax+by+cz=dax + by + cz = d，其系数构成一个法向量）来描述平面。向量积把这两种形式联系起来，并且证明每个平面都有一般式方程，在相差一个因子的意义下唯一。平面与直线的位置关系转化为线性方程组，并用鲁歇-弗罗贝尼乌斯定理加以分类；混合积判定两条直线是相交还是异面。本课最后讨论平面束，以及关于飞机航线、地面倾斜和四面体的问题。

学习目标

  1. 把空间中的直线写成向量形式、参数形式和对称式，包括方向向量有分量为零的情形，并证明过两个不同的点有且只有一条直线。
  2. 把平面写成向量形式、参数形式和一般式，用向量积在各种形式之间转换，并作出过三个不共线的点的平面。
  3. 证明每个平面都有一般式方程，在相差一个非零因子的意义下唯一，并证明每个关于 xx、yy 和 zz 且有某个系数不为零的一次方程都表示一个平面。
  4. 用线性方程组的秩和混合积判定两个或三个平面、一条直线与一个平面以及两条直线的位置关系，包括数据依赖于参数的情形。
  5. 用平面束作出包含一条直线并满足另一个条件的平面，并用直线和平面为航空导航、建筑和设计中的情境建模。

空间中的直线

在课程 代数与几何 I 中关于 平面向量 的课里，平面上的直线（自关于 直线的方程 的课起就被看作一次方程的图像）被描述为 P0+td⃗P_0 + t \vec{d}。空间中没有斜率，而关于 xx、yy 和 zz 的一次方程，如后面将看到的，表示一个平面。既然如此，不妨把顺序倒过来：以向量描述为定义，再由它推出其他形式。

空间向量及其数量积已在关于 空间向量与数量积 的课中学过；向量积和混合积则在关于 向量积与混合积 的课中学过。与在平面中相同，Q=P+v⃗Q = P + \vec{v} 表示 PQ⃗=v⃗\vec{PQ} = \vec{v}；两个非零向量当其中一个是另一个的倍数时称为平行的。在图中，yy 轴指向右方，zz 轴指向上方，xx 轴指向观察者。

设 AA 是一个点，v⃗=(v1,v2,v3)\vec{v} = \left( v_1, v_2, v_3 \right) 是一个非零向量。直线（过 AA，方向向量为 v⃗\vec{v}）是满足下述条件的点 PP 的集合：存在实数 tt，使得 P=A+tv⃗P = A + t \vec{v}；数 tt 称为 PP 的参数。
P=A+tv⃗,t∈RP = A + t \vec{v}, \quad t \in \mathbb{R}

每个点的参数是唯一的：若 A+tv⃗=A+sv⃗A + t \vec{v} = A + s \vec{v}，则 (t−s)v⃗=0⃗\left( t - s \right) \vec{v} = \vec{0}，又因为 v⃗\vec{v} 不是零向量，所以 t=st = s。对 A=(x0,y0,z0)A = (x_0, y_0, z_0) 和 P=(x,y,z)P = (x, y, z)，把向量方程按分量写出，就得到直线的参数方程：

{x=x0+tv1y=y0+tv2z=z0+tv3\begin{cases} x = x_0 + t v_1 \\ y = y_0 + t v_2 \\ z = z_0 + t v_3 \end{cases}

若参数是时间，这些方程就描述速度为 v⃗\vec{v} 的匀速运动，与在平面中相同。同一条直线可以有许多出发点和许多方向向量；下面的定理表明，直线由它的两个点确定。

定理过两点的直线

过两个不同的点 AA 和 BB 有且只有一条直线，即方程为 P=A+tAB⃗P = A + t \vec{AB} 的直线。因此，方程 P=A+tv⃗P = A + t \vec{v} 和 P=C+sw⃗P = C + s \vec{w} 表示同一条直线，当且仅当 CC 在第一条直线上且 w⃗\vec{w} 与 v⃗\vec{v} 平行。

图中 A=(2,0,1)A = (2, 0, 1)，B=(1,2,2)B = (1, 2, 2)，所以 AB⃗=(−1,2,1)\vec{AB} = \left( -1, 2, 1 \right)；另一条直线过 C=(0,4,3)C = (0, 4, 3)，方向向量为 v⃗=(1,−2,−1)\vec{v} = \left( 1, -2, -1 \right)。

证明

  1. A+0⋅AB⃗=A,A+1⋅AB⃗=BA + \resaltar{0} \cdot \vec{AB} = A, \qquad A + \resaltar{1} \cdot \vec{AB} = B

    存在性：向量 AB⃗\vec{AB} 不是零向量，因为 A≠BA \neq B；过 AA 且以该向量为方向向量的直线包含 AA（参数为 00）和 BB（参数为 11）。

  2. A=C+t1v⃗,B=C+t2v⃗\dato{ab}{A = C + t_1 \vec{v}, \qquad B = C + t_2 \vec{v}}

    唯一性：设 rr 是任意一条直线（P=C+tv⃗P = C + t \vec{v}），它包含 AA 和 BB，并设 t1t_1 和 t2t_2 是它们的参数。图中 t1=2t_1 = 2，t2=1t_2 = 1。

  3. AB⃗=t2v⃗−t1v⃗=(t2−t1)v⃗\vec{AB} = t_2 \vec{v} - t_1 \vec{v} = \dato{d}{\resaltar{\left( t_2 - t_1 \right)} \vec{v}}

    由沙勒关系，AB⃗=CB⃗−CA⃗\vec{AB} = \vec{CB} - \vec{CA}。两个参数不同，因为 A≠BA \neq B；所以 AB⃗\vec{AB} 与 v⃗\vec{v} 平行。图中 AB⃗=−v⃗\vec{AB} = -\vec{v}。

  4. C+tv⃗=A+(t−t1)v⃗=A+t−t1t2−t1AB⃗C + t \vec{v} = A + \left( t - t_1 \right) \vec{v} = A + \resaltar{\frac{t - t_1}{t_2 - t_1}} \vec{AB}

    rr 上的每个点都在直线 ABAB 上：从 AA 而不是从 CC 出发，并把 v⃗\vec{v} 换成它用 AB⃗\vec{AB} 表示的式子。图中，rr 上参数为 12\frac{1}{2} 的点就是直线 ABAB 上参数为 32\frac{3}{2} 的点。

  5. A+sAB⃗=A+s(t2−t1)v⃗=C+(t1+s(t2−t1))v⃗A + s \vec{AB} = A + s \left( t_2 - t_1 \right) \vec{v} = C + \resaltar{\left( t_1 + s \left( t_2 - t_1 \right) \right)} \vec{v}

    反过来，参数为 ss 的点（直线 ABAB 上的）就是参数为 t1+s(t2−t1)t_1 + s \left( t_2 - t_1 \right) 的点（在 rr 上）：两条直线的点相同。关于第二个论断：若两个方程表示同一条直线，则 CC 和 C+w⃗C + \vec{w} 都在它上面，由第三步，w⃗\vec{w} 是 v⃗\vec{v} 的倍数；若 CC 在第一条直线上且 w⃗=kv⃗\vec{w} = k \vec{v}，则第一条直线包含 CC 和 C+w⃗C + \vec{w}，它就是过这两点的直线。

由此可知，两条不同的直线至多有一个公共点：如果它们有两个公共点，它们就都是过这两点的唯一直线。三个点当有一条直线包含它们时称为共线。若 A≠BA \neq B，则点 CC 与它们共线当且仅当 C=A+tAB⃗C = A + t \vec{AB}（对某个 tt），即当且仅当 AC⃗\vec{AC} 是 AB⃗\vec{AB} 的倍数。

对称式方程

从每个方程中解出参数并令结果相等，就得到不含参数的方程，但要注意方向向量的零分量。

命题直线的对称式方程

设直线 rr 过 A=(x0,y0,z0)A = (x_0, y_0, z_0)，方向向量为 v⃗=(v1,v2,v3)\vec{v} = \left( v_1, v_2, v_3 \right)。若 v⃗\vec{v} 的三个分量都不为零，则点 (x,y,z)(x, y, z) 在 rr 上当且仅当下面的等式成立。若只有 v2v_2 为零，条件是 x−x0v1=z−z0v3\frac{x - x_0}{v_1} = \frac{z - z_0}{v_3} 且 y=y0y = y_0；若 v2v_2 和 v3v_3 为零，条件是 y=y0y = y_0 且 z=z0z = z_0。其他分量为零的情形，交换坐标的角色即可得到。

x−x0v1=y−y0v2=z−z0v3\frac{x - x_0}{v_1} = \frac{y - y_0}{v_2} = \frac{z - z_0}{v_3}

图中 A=(1,2,−1)A = (1, 2, -1)，v⃗=(2,0,4)\vec{v} = \left( 2, 0, 4 \right)，即从 AA 到 B=(3,2,3)B = (3, 2, 3) 的向量。

证明

  1. x−x0v1=t,y−y0v2=t,z−z0v3=t\frac{x - x_0}{v_1} = \resaltar{t}, \quad \frac{y - y_0}{v_2} = \resaltar{t}, \quad \frac{z - z_0}{v_3} = \resaltar{t}

    若三个分量都不为零且 P=A+tv⃗P = A + t \vec{v}，则从每个参数方程中解出 tt：三个商都等于 tt。

  2. x=x0+tv1,y=y0+tv2,z=z0+tv3x = x_0 + \resaltar{t} v_1, \quad y = y_0 + \resaltar{t} v_2, \quad z = z_0 + \resaltar{t} v_3

    反过来，若三个商相等，把它们的公共值记作 tt；把每个等式乘以其分母，就恢复参数方程，于是 P=A+tv⃗P = A + t \vec{v} 在 rr 上。

  3. x−12=z+14,y=2\frac{x - 1}{2} = \frac{z + 1}{4}, \quad \resaltar{y = 2}

    若只有 v2v_2 为零，第二个方程是 y=y0y = y_0（对任意 tt），要单独写出，因为除以 00 没有意义。图中直线在平面 y=2y = 2 内。

  4. y=2,z=−1\resaltar{y = 2}, \quad \resaltar{z = -1}

    若 v2v_2 和 v3v_3 为零，后两个方程固定 yy 和 zz，而对每个 xx，参数 t=x−x0v1t = \frac{x - x_0}{v_1} 给出对应的点：这条直线是与 xx 轴平行、过 AA 的直线，在图中位于后方。

  5. 4−12=5+14=32,2−12≠2+14\frac{4 - 1}{2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{3}{2}, \qquad \frac{2 - 1}{2} \neq \frac{2 + 1}{4}

    在图中验证：C=(4,2,5)C = (4, 2, 5) 在直线上，参数为 32\frac{3}{2}；D=(2,2,2)D = (2, 2, 2) 不在直线上，尽管它满足 y=2y = 2。

对称式中的每个等式都是一次方程：图中的直线是 2x−z=32x - z = 3 和 y=2y = 2 的解集。等到看出每个这样的方程都表示一个平面，这就说明直线是两个平面的交线，即它的一般方程。