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Topos Uranos
中文 (中国)

指数函数与实数指数幂

摘要

这一课把底数为正的幂推广到任意实数指数，把它定义为有理数指数幂的上确界，并证明这一定义延拓了原有的定义、幂关于指数严格单调，以及指数运算法则仍然成立。随后研究指数函数：它的定义域；它的值域，这要借助完备性与伯努利不等式得到；它的单调性；它的水平渐近线；不同底数的比较；底数 aa 与 1a\frac{1}{a} 之间的对称性；以及其图像的变换。借助伯努利不等式，本课说明指数函数无界地增长，并最终超过幂函数；问题部分则不用计算器比较无理指数幂，用函数方程刻画指数函数，并计数 y=2xy = 2^x 与抛物线 y=x2y = x^2 的交点个数。

学习目标

  1. 借助实数的完备性定义正底数的实数指数幂，并说明它延拓了有理数指数幂。
  2. 用有理数指数幂之间的夹逼论证，证明幂关于指数的单调性以及法则 ax+y=axaya^{x + y} = a^x a^y 与 (ax)y=axy\left(a^x\right)^y = a^{xy}。
  3. 描述指数函数（定义域、值域、单调性、渐近线、底数的比较），证明它取遍所有正值，并作出其变换的图像。
  4. 比较无理指数幂，解简单的指数不等式，并推理指数函数相对于幂函数的增长。

实数指数幂

在关于有理数指数幂的课中，定义了 axa^x（其中 a>0a > 0，xx 为有理数），证明了这一定义与表示指数所用的分数无关、指数运算法则成立，以及若 a>1a > 1，则幂随指数增大而增大：若 r<sr < s 为有理数，则 ar<asa^r < a^s。反之，像 222^{\sqrt{2}} 这样的式子仍没有意义，因为 2\sqrt{2} 不是分数，没有任何根式或整数次幂能定义它。

然而，2\sqrt{2} 大于有理数 11、75\frac{7}{5}、141100\frac{141}{100}、14141000\frac{1414}{1000}，这些数从下方逼近它；而幂 212^1、2752^{\frac{7}{5}}、21411002^{\frac{141}{100}}、2141410002^{\frac{1414}{1000}} 构成一个递增数列，其值约为 2；2.639；2.657 和 2.665。它们都不超过 232=82^{\frac{3}{2}} = \sqrt{8}，因为所有这些指数都小于 32\frac{3}{2}。既然如此，自然的做法是把 222^{\sqrt{2}} 定义为不被任何幂 2r2^r（其中 rr 为有理数且 r≤2r \leq \sqrt{2}）超过的最小的数，也就是定义为一个上确界；它的存在由实数的完备性保证，完备性已在关于数集的课中介绍。

借助上确界的定义

设 a>1a > 1，并设 xx 为实数。称 AxA_x 为幂 ara^r（其中 rr 为有理数且 r≤xr \leq x）组成的集合。实数指数幂 axa^x 就是 AxA_x 的上确界。若 0<a<10 < a < 1，定义 ax=(1a)−xa^x = \left(\frac{1}{a}\right)^{-x}，其中底数 1a\frac{1}{a} 大于 11；并定义 1x=11^x = 1，这里 xx 是任意实数。
Ax={ar:r∈Q,r≤x}A_x = \{a^r : r \in \mathbb{Q}, r \leq x\}

这一定义包含两个需要证明的断言：上确界存在；以及若 xx 是有理数，则新的数 axa^x 与原已知的数相同。没有第二个断言，符号 axa^x 对有理指数就会有两种含义。

引理实数指数幂的定义是合理的

设 a>1a > 1。对任意实数 xx，集合 AxA_x 非空且有上界，因而有上确界。若 xx 是有理数，这个上确界就是有理数指数幂 axa^x。

这里要用到阿基米德性质（已在关于有理数的小数表示的课中证明）以及有理数指数幂的单调性。图中考察 a=2a = 2 且 x=2x = \sqrt{2} 的情形：有理数指数幂的阶梯向 222^{\sqrt{2}} 攀升而达不到它。

证明

  1. −k<x→a−k∈Ax-k < x \rightarrow \dato{nv}{a^{-k} \in A_x}

    由阿基米德性质，存在自然数 kk，它大于 −x-x。整数 −k-k 是一个有理数，且小于 xx，因而它的幂属于 AxA_x，于是该集合非空。

  2. r≤x<m→ar<amr \leq x < m \rightarrow \dato{cs}{\resaltar{a^r < a^m}}

    同样，存在自然数 mm，它大于 xx。若 rr 是有理数且 r≤xr \leq x，则 r<mr < m，再由有理数指数幂的单调性得 ar<ama^r < a^m：数 ama^m 是 AxA_x 的一个上界。

  3. (∀r∈Q)(r≤x→ar≤ax)(\forall r \in \mathbb{Q})(r \leq x \rightarrow a^r \leq a^x)

    由完备性，非空且有界的集合 AxA_x 有上确界，这就是定义中的数 axa^x。作为上界，意味着指数小于或等于 xx 的有理数指数幂都不超过它。

  4. x∈Q→ax∈Ax∧(∀r∈Q)(r≤x→ar≤ax)x \in \mathbb{Q} \rightarrow \resaltar{a^x \in A_x} \wedge (\forall r \in \mathbb{Q})(r \leq x \rightarrow a^r \leq a^x)

    若 xx 是有理数，有理数指数幂 axa^x 属于 AxA_x（取 r=xr = x），并且由单调性它是 AxA_x 的上界。一个集合中作为该集合上界的元素就是它的上确界，因为任何比它小的数都不再是上界。两种定义一致。

对小于 11 的底数所作的定义同样延拓了原有的定义：若 0<a<10 < a < 1 且 rr 是有理数，由有理数指数的运算法则得 (1a)−r=1(1a)r=ar\left(\frac{1}{a}\right)^{-r} = \frac{1}{\left(\frac{1}{a}\right)^r} = a^r。此外，由定义直接得到一条常用的法则：对任意底数 a>0a > 0 和任意实数 xx，倒数底数的幂等于相反指数的幂。事实上，若 a>1a > 1，则底数 1a\frac{1}{a} 小于 11，按定义 (1a)x=a−x\left(\frac{1}{a}\right)^x = a^{-x}；若 0<a<10 < a < 1，则底数 1a\frac{1}{a} 大于 11，而 a−xa^{-x} 的定义恰好就是 (1a)x\left(\frac{1}{a}\right)^{x}。

(1a)x=a−x\left(\frac{1}{a}\right)^x = a^{-x}

单调性

定义的第一个用途是把 axa^x 置于有理数指数幂之间：当底数大于 11 时，每个小于 xx 的有理指数给出小于 axa^x 的幂，每个更大的有理指数给出更大的幂。由此可得任意实数指数的单调性。

定理有理数指数幂之间的夹逼与实数指数幂的单调性

设 a>1a > 1，并设 xx 为实数。若 rr 与 ss 是有理数且 r<x<sr < x < s，则 ar<ax<asa^r < a^x < a^s（夹逼）。因此，若 x<yx < y 是实数，则 ax<aya^x < a^y（当 a>1a > 1 时），ax>aya^x > a^y（当 0<a<10 < a < 1 时）（单调性）。此外，ax>0a^x > 0 对任意底数 a>0a > 0 和任意实数 xx 成立。

这里要用到有理数的稠密性（已在关于实数轴的课中证明）：两个不同的实数之间总有一个有理数。图中在 y=2xy = 2^x 的图像上展示 xx 附近的有理数如何夹住值 2x2^x。

证明

  1. ar<au≤axa^r < \resaltar{a^u} \leq a^x

    由稠密性，存在有理数 uu 使 r<u<xr < u < x。它的幂属于 AxA_x，因而不超过上确界；而由有理数指数幂的单调性，它大于 ara^r。

  2. ax≤aw<as,ar<ax<asa^x \leq \resaltar{a^w} < a^s, \quad \dato{enc}{a^r < a^x < a^s}

    还存在有理数 ww 使 x<w<sx < w < s。AxA_x 中每个幂的指数都小于 ww，因此都小于 awa^w：这个数是 AxA_x 的上界，从而不小于上确界，因为上确界是最小的上界。

  3. x<q<y→ax<aq<ayx < q < y \rightarrow a^x < \resaltar{a^q} < a^y

    a>1a > 1 时的单调性。若 x<yx < y，由稠密性，两者之间有有理数 qq，把夹逼对 xx 用一次、对 yy 再用一次，便得到不等式。

  4. ax=(1a)−x>(1a)−y=aya^x = \left(\frac{1}{a}\right)^{\resaltar{-x}} > \left(\frac{1}{a}\right)^{\resaltar{-y}} = a^y

    若 0<a<10 < a < 1，则底数 1a\frac{1}{a} 大于 11，而相反的指数满足 −y<−x-y < -x。由上面的结果和定义，不等号反向。

  5. r∈Q,r≤x→ax≥ar>0r \in \mathbb{Q}, \quad r \leq x \rightarrow a^x \geq \resaltar{a^r} > 0

    正性。若 a>1a > 1，上确界不小于 AxA_x 的任何元素，而这些元素是有理数指数幂，由关于有理数指数幂的课知它们为正。若 0<a<10 < a < 1，数 axa^x 是以 1a>1\frac{1}{a} > 1 为底的幂，且 1x=11^x = 1。

若 a>1a > 1，单调性可以双向解读：对任意实数 uu 和 vv，u<vu < v 当且仅当 au<ava^u < a^v，u=vu = v 当且仅当 au=ava^u = a^v。事实上，若 u≥vu \geq v，则会有 au≥ava^u \geq a^v。当底数在 00 与 11 之间时，等价关系在不等号反向后成立。这样，同底的幂可以通过比较指数来比较。

a>1→(u<v↔au<av),0<a<1→(u<v↔au>av)a > 1 \rightarrow (u < v \leftrightarrow a^u < a^v), \qquad 0 < a < 1 \rightarrow (u < v \leftrightarrow a^u > a^v)