导数的应用：导言

开始本单元之前，先测一测你的起点。这是一次简短的自我测评：不计分，结果只保存在你的浏览器中。

1. 第 1 题在下列哪种情形中，魏尔斯特拉斯定理保证函数在所给集合上取得最大值？

   $f(x) = \abs{x^2 - 1}$，在 $\icc{0}{2}$ 上

   $f(x) = \arctan x$，在 $\mathbb{R}$ 上

   $f(x) = x^2$，在 $\ico{0}{1}$ 上

   函数取值为 $x$（在 $\ico{0}{1}$ 上）与 $0$（在 $1$ 处），区间为 $\icc{0}{1}$

2. 第 2 题函数 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上可导，$f(0) = 1$，且 $\abs{f'(x)} \leq 2$ 对任意 $x$ 成立。关于 $f(3)$ 能断定什么？

   $-5 \leq f(3) \leq 7$

   $f(3) = 7$

   $\abs{f(3)} \leq 6$

   什么也不能断定，因为不知道导数在任何一点的值。

3. 第 3 题计算 $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin\frac{1}{x}}{\sin x}$。

   $0$

   不存在，因为导数之比没有极限。

   不存在，因为 $\sin\frac{1}{x}$ 没有极限（当 $x \to 0$ 时）。

   $1$

4. 第 4 题在 $\mathbb{R}$ 上，函数 $f(x) = x + \cos x$ 是否严格递增？

   是：它的导数 $1 - \sin x$ 非负，并且不在任何开区间的所有点上都为零。

   否：它的导数在无穷多个点处为零。

   它递增，但不是严格递增，因为它的导数并非处处为正。

   它不是单调的，因为余弦时升时降。

5. 第 5 题函数 $f$ 在 $\icc{0}{4}$ 上连续，在 $\ioo{0}{4}$ 的每一点处可导，只有 $1$ 除外，并且它的导数只在 $3$ 处为零。若 $f(0) = 2$、$f(1) = -1$、$f(2) = 3$、$f(3) = 5$、$f(4) = 4$，则它在 $\icc{0}{4}$ 上的最大值与最小值是多少？

   最大值为 $5$，最小值为 $-1$。

   最大值为 $5$，最小值为 $2$。

   最大值为 $4$，最小值为 $2$。

   没有 $f$ 的表达式就无法知道。

6. 第 6 题$f(x) = x^5 - 5x^4$ 的拐点是哪些？

   只有 $3$。

   $0$ 和 $3$，因为二阶导数在这两点为零。

   $0$ 和 $4$，因为导数在这两点为零。

   没有，因为三阶导数在 $0$ 处为零。

7. 第 7 题$f(x) = \frac{1}{x}$ 的图像在点 $(1, 1)$ 处的密切圆是哪一个？

   圆心为 $(2, 2)$、半径为 $\sqrt{2}$ 的圆。

   圆心为 $(0, 0)$、半径为 $\sqrt{2}$ 的圆。

   圆心为 $\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)$、半径为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的圆。

   圆心为 $\left(1, \frac{3}{2}\right)$、半径为 $\frac{1}{2}$ 的圆。

8. 第 8 题抛物线 $y = x^2$ 上离点 $(0, 2)$ 最近的点是哪些？

   $\left(-\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2}\right)$ 与 $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2}\right)$

   顶点 $(0, 0)$。

   只有 $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2}\right)$。

   没有：由于抛物线无界，距离可能取不到最小值。

9. 第 9 题函数 $f(x) = e^x - 3$ 在 $\mathbb{R}$ 上递增且下凸，它的根是 $\ln 3$，接近 $1.0986$。从 $x_0 = 0$ 出发，牛顿-拉弗森迭代值如何变化？

   第一个迭代值跳到根的另一侧，到 $x_1 = 2$，此后迭代值递减地趋于 $\ln 3$ 而不越过它。

   它们递增地趋于 $\ln 3$ 而不越过它，因为从它的左侧出发。

   不收敛，因为 $f(x_0) < 0$ 不满足定理的条件。

   在根的两侧交替出现，越来越近。

10. 第 10 题来自前面的单元函数 $f$ 在 $\icc{0}{1}$ 上连续，$f(0) = 1$，$f(1) = -1$。能断定什么？

    它在 $\ioo{0}{1}$ 中的某一点处为零。

    它恰好在 $\ioo{0}{1}$ 中的一点处为零。

    它在 $\icc{0}{1}$ 上递减。

    它在 $\frac{1}{2}$ 处为零。

11. 第 11 题来自前面的单元函数 $f$ 在包含 $a$ 的某个开区间上有定义，并且 $f'(a) > 0$。能断定什么？

    存在 $\delta > 0$，使得 $f(x) < f(a)$ 对 $a - \delta < x < a$ 成立，$f(x) > f(a)$ 对 $a < x < a + \delta$ 成立。

    $f$ 在包含 $a$ 的某个开区间上递增。

    $f(x) > f(a)$ 对区间中任意 $x > a$ 成立。

    $f'(x) > 0$ 对任意 $x$（靠近 $a$）成立。

12. 第 12 题来自前面的单元计算 $f''(1)$，其中 $f(x) = x^2 \ln x$。

    $3$

    $1$

    $2$

    $-2$

13. 第 13 题来自前面的单元方程 $x^2 + xy + y^2 = 3$ 在点 $(1, 1)$ 附近确定一个可导函数 $y(x)$，且 $y(1) = 1$。$y'(1)$ 等于多少？

    $-1$

    $-\frac{3}{2}$

    $-5$

    $1$

14. 第 14 题来自前面的单元计算 $\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left(1 + x^2\right)}{1 - \cos x}$。

    $2$

    $1$

    $\frac{1}{2}$

    不存在，因为商是 $\frac{0}{0}$ 型。