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Topos Uranos
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三角比与单位圆

摘要

本课用两种方式定义角的正弦、余弦和正切。第一种，作为直角三角形各边之比，适用于锐角，并用相似证明它与所选的三角形无关。第二种，作为角的终边与单位圆交点的坐标，适用于一切实数，并在锐角上与第一种一致。由第二种定义推出各象限中的符号、平方关系、π6\frac{\pi}{6}、π4\frac{\pi}{4} 和 π3\frac{\pi}{3} 这几个角的特殊值（它们由等边三角形的一半和正方形的一半得到），以及正弦和余弦的对称性（它们通过在圆上反射点来证明，并使任意角的三角比可以借助其参考角来计算）。

学习目标

  1. 定义直角三角形中锐角的六个三角比，并用相似证明它们与三角形无关。
  2. 借助单位圆定义任意角的正弦、余弦和其余三角比，认识到正切是终边的斜率，并证明两种定义在锐角上一致。
  3. 证明平方关系、特殊角的值以及正弦和余弦的对称性，并用参考角法借助它们计算任意角的三角比。
  4. 由一个三角比和象限求出角的全部三角比，并把三角比应用于高度、距离和面积的问题。

锐角的三角比

在直角三角形中，与直角相对的边称为斜边，另外两边称为直角边。三角形的内角之和是一个平角，其大小为 π\pi；这一初等几何的事实已在关于角及其度量的课中承认。如果是这样，直角三角形的两个非直角之和为 π2\frac{\pi}{2}，且每一个都是锐角，即其大小介于 00 与 π2\frac{\pi}{2} 之间。对于其中一个锐角（大小为 α\alpha），一条直角边是对边，它不经过该角的顶点；另一条是邻边，它与斜边一起构成该角的两边。

设 α\alpha 是直角三角形的一个锐角，该三角形的斜边为 cc，α\alpha 的对边长为 aa，邻边长为 bb。α\alpha 的正弦、余弦和正切分别是对边与斜边之比、邻边与斜边之比、对边与邻边之比。
sin⁡α=ac,cos⁡α=bc,tan⁡α=ab\sin \alpha = \frac{a}{c}, \qquad \cos \alpha = \frac{b}{c}, \qquad \tan \alpha = \frac{a}{b}

它们的倒数称为余割、正割和余切：csc⁡α=ca\csc \alpha = \frac{c}{a}、sec⁡α=cb\sec \alpha = \frac{c}{b} 和 cot⁡α=ba\cot \alpha = \frac{b}{a}。这六者称为三角比，因为它们是比，即三角形各边之间的商。然而，这个定义引出一个疑问：有一个锐角大小为 α\alpha 的直角三角形有无穷多个，有大有小；如果每一个给出不同的商，那么“α\alpha 的正弦”这几个字就不表示任何数。下面的定理消除了这个疑问。

定理三角比与三角形无关

如果两个直角三角形有一个大小相同的锐角 α\alpha，那么第一个三角形中任意两边之比等于第二个三角形中对应两边之比。因此，α\alpha 的正弦、余弦和正切以及它们的倒数只依赖于 α\alpha。此外，0<sin⁡α<10 < \sin \alpha < 1 且 0<cos⁡α<10 < \cos \alpha < 1。

设两个直角三角形都有锐角 α\alpha，第一个的直角边为 a1a_1 和 b1b_1、斜边为 c1c_1，第二个的直角边为 a2a_2 和 b2b_2、斜边为 c2c_2，其中 a1a_1 和 a2a_2 是 α\alpha 的对边。我们承认初等几何中的三角形相似判定，它们与课程 I 中关于直线的方程的课里保证斜率与所选的点无关的判定相同。

证明

  1. a2=ka1,b2=kb1,c2=kc1\dato{k}{a_2 = k a_1, \quad b_2 = k b_1, \quad c_2 = k c_1}

    两个三角形有两个角相等，即直角和大小为 α\alpha 的角；由两角相似判定，它们相似，对应边成比例：存在数 k>0k > 0，使第二个三角形的每条边是第一个三角形对应边的 kk 倍。

  2. a2c2=ka1kc1=a1c1\frac{a_2}{c_2} = \frac{\resaltar{k a_1}}{\resaltar{k c_1}} = \resaltar{\frac{a_1}{c_1}}

    对边与斜边之比在两个三角形中相同，因为因子 kk 约去了。

  3. b2c2=kb1kc1=b1c1\frac{b_2}{c_2} = \frac{\resaltar{k b_1}}{\resaltar{k c_1}} = \resaltar{\frac{b_1}{c_1}}

    邻边与斜边之比也是如此。

  4. a2b2=ka1kb1=a1b1\frac{a_2}{b_2} = \frac{\resaltar{k a_1}}{\resaltar{k b_1}} = \resaltar{\frac{a_1}{b_1}}

    两条直角边之比也是如此。因此，正弦、余弦和正切以及它们的倒数在两个三角形中取相同的值：它们只依赖于 α\alpha。

  5. c2=a2+b2→0<ac<1,0<bc<1c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow 0 < \frac{a}{c} < 1, \quad 0 < \frac{b}{c} < 1

    由勾股定理，斜边的平方是两条直角边的平方之和，并大于其中每一个：斜边大于每条直角边，两个以斜边为分母的比都介于 00 与 11 之间。

这个定理使我们可以用任何包含该角的直角三角形来计算它的三角比，并选择最方便的一个。特别地，一个锐角的对边是另一个锐角的邻边，由此得出两个角（其和为 π2\frac{\pi}{2}，称为互余的角）的三角比之间的一种关系。

例题两个锐角的三角比

在直角边为 33 和 44 的直角三角形中，设 α\alpha 是直角边 33 所对的角，β\beta 是直角边 44 所对的角。计算它们的三角比并加以比较。

证明

  1. c=32+42=25=5c = \sqrt{\resaltar{3^2 + 4^2}} = \sqrt{25} = \resaltar{5}

    由勾股定理，斜边长为 55。

  2. sin⁡α=35,cos⁡α=45,tan⁡α=34\dato{a}{\sin \alpha = \frac{3}{5}, \quad \cos \alpha = \frac{4}{5}, \quad \tan \alpha = \frac{3}{4}}

    对于 α\alpha，对边是 33，邻边是 44。

  3. sin⁡β=45,cos⁡β=35,tan⁡β=43\dato{b}{\sin \beta = \frac{4}{5}, \quad \cos \beta = \frac{3}{5}, \quad \tan \beta = \frac{4}{3}}

    对于 β\beta，两条直角边的角色互换：对边是 44，邻边是 33。

  4. sin⁡β=cos⁡α,cos⁡β=sin⁡α,tan⁡β=1tan⁡α=cot⁡α\sin \beta = \cos \alpha, \quad \cos \beta = \sin \alpha, \quad \tan \beta = \frac{1}{\tan \alpha} = \cot \alpha

    由于 α+β=π2\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}，每个角的正弦是另一个角的余弦，每个角的正切是另一个角的余切。在任何直角三角形中都是如此，因为直角边的互换与它们的长度无关。

名称即由此而来：余弦是余角的正弦，余切是余角的正切，余割是余角的正割。