Язык логики высказываний

Что нужно из теории множеств

Формальный язык есть прежде всего совокупность цепочек символов; если это так, то, чтобы говорить о нём точно, нужен словарь для совокупностей. Этот словарь даёт теория множеств, из которой урок берёт только то, чем будет пользоваться курс. Множество есть совокупность объектов, называемых его элементами, которая ими определяется: два множества с одними и теми же элементами суть одно и то же множество. То, что объект $a$ является элементом множества $A$, записывается $a \in A$ и читается «$a$ принадлежит $A$»; то, что не является, записывается $a \notin A$.

Множество можно задать двумя способами. Перечислением, называя его элементы один за другим в фигурных скобках, причём ни порядок, ни повторения не важны; и описанием, формулируя условие, которому удовлетворяют его элементы и только они, с двоеточием, которое читается «таких, что». Так, натуральные числа, меньшие $5$, образуют множество

Один из вариантов описания, очень частый в дальнейшем, характеризует элементы по их виду: $\{ 2n : n \in \mathbb{N} \}$ есть множество чисел вида $2n$ с натуральным $n$, то есть множество чётных чисел. Множество, заданное перечислением, обязательно конечно; описанием можно задать и бесконечные множества, например множество чётных чисел.

Говорят, что $A$ включено в $B$, и пишут $A \subseteq B$, если каждый элемент $A$ является элементом $B$. Отсюда следует, что два множества равны тогда и только тогда, когда каждое из них включено в другое, потому что тогда у них одни и те же элементы; и это действительно обычный способ доказывать равенство множеств: доказать оба включения. Наконец, объединение $A \cup B$ есть множество объектов, принадлежащих $A$, $B$ или обоим; откуда каждое из двух множеств включено в их объединение.