Формализация естественного языка

От высказывания к формуле

Урок о языке логики высказываний построил язык без значения: цепочки кружков и дисков, правило образования и несколько сокращений. Урок об индукции по формулам доказал, что каждая формула читается единственным образом. Однако этот язык построен с определённой целью: чтобы представлять форму высказываний, которыми мы рассуждаем в повседневной жизни, в науках, в праве и в математике, так чтобы правильность рассуждения можно было изучать в самой форме, независимо от его предмета. Этот урок наводит мост между двумя мирами. Мост этот не механический: естественный язык богат, неоднозначен и зависит от контекста, а формальный язык беден, точен и жёсток. Отсюда следует, что формализовать значит истолковывать и что всякую формализацию нужно обосновывать.

Высказывание, в смысле этого урока, есть повествовательное предложение, которое в своём контексте истинно или ложно: «Вода кипит при ста градусах на уровне моря», «Анна опоздала», «$7$ есть простое число». Вопросы, приказы и пожелания («Анна опоздала?», «Закрой дверь», «Хоть бы пошёл дождь») высказываниями не являются. Высказывание составное, если оно содержит другие высказывания, соединённые частицами вроде «не», «и», «или», «если… то»; атомарное, если так не разлагается. Логика высказываний не анализирует внутреннее строение атомарных высказываний: для неё «Анна опоздала» есть неделимый кусок, который может быть только истинным или ложным.

Соглашение о буквах

Формулы базового языка суть цепочки кружков и дисков; $n$-я переменная есть $v_n = \sigO^{n}\sigI$, то есть $n$ кружков, за которыми следует диск. Писать такие цепочки столь же надёжно, сколь утомительно, и для формализации удобно иметь краткие имена. Мы принимаем следующее соглашение, которое действует в этом уроке и в остальной части курса, если явно не оговорено иное:

Если это так, латинские буквы $p$, $q$, $r$, $s$ и $t$ суть имена пяти определённых переменных, подобно тому как $7$ есть имя определённого числа: $p$ не меняется, а всегда обозначает цепочку $\sigO\sigI$. Греческие же буквы $\varphi$, $\psi$, $\chi$ и $\theta$ остаются метапеременными, как в уроке о языке: они обозначают произвольные формулы, и выражение, записанное с их помощью, например $(\varphi \downarrow \psi)$, есть схема, охватывающая бесконечно много формул. Отсюда следует существенное различие: $(p \downarrow q)$ есть одна-единственная формула, цепочка $\sigI\sigO\sigI\sigO\sigO\sigI$; $(\varphi \downarrow \psi)$ есть форма формул, частными случаями которой являются $(p \downarrow q)$, $(p \downarrow p)$ и $(q \downarrow (p \downarrow r))$. В некоторых текстах $p$ и $q$ служат метапеременными; здесь нет, потому что при формализации нужно, чтобы две разные буквы заведомо обозначали разные переменные, а метапеременная такой гарантии не даёт: ничто не мешает $\varphi$ и $\psi$ обозначать одну и ту же формулу.

Словарь формализации

Формализация высказывания состоит из трёх операций: выделить его атомарные высказывания, сопоставить каждому переменную и восстановить составное высказывание с помощью связок. Сопоставление, выполняемое во второй операции, называется словарём формализации, и его нужно объявлять всегда, потому что без него формула ничего не говорит. Словарь подчиняется двум правилам: одно и то же атомарное высказывание всегда получает одну и ту же переменную, а разные атомарные высказывания получают разные переменные. Первое правило гарантирует, что формула фиксирует повторы текста; второе, что она не выдумывает тождеств, которых текст не утверждает.