Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Уравнение параболы: определения и свойства

Краткое содержание

Этот урок определяет параболу как множество точек, равноудалённых от фиксированной точки, фокуса, и от фиксированной прямой, директрисы, и выводит из этого определения её уравнение. С помощью параллельного переноса графиков он получает уравнение параболы с вершиной в любой точке и показывает, что графики квадратных трёхчленов являются в точности параболами с вертикальной осью: выделение полного квадрата даёт их вершину, фокус и директрису. В конце рассматриваются пересечение парабол с прямыми и касательные.

Цели обучения

  1. Формулировать определение параболы через фокус и директрису и выводить из него её уравнение.
  2. Переносить графики, заменяя xx на x−hx - h и yy на y−ky - k.
  3. Находить вершину, фокус и директрису параболы, заданной квадратным трёхчленом.
  4. Находить пересечение параболы с прямой и касательные с данным угловым коэффициентом.

Две предварительные идеи

Расстояние между двумя точками

Определение параболы основано на расстояниях. Как было показано в уроке об уравнении прямой, расстояние между двумя точками плоскости находится с помощью теоремы Пифагора:

d(P1,P2)=(x2−x1)2+(y2−y1)2d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Расстояние от точки (x,y)(x, y) до горизонтальной прямой y=cy = c есть длина соединяющего их вертикального отрезка, то есть разность между yy и cc, взятая со знаком плюс. Его удобно записывать как корень из квадрата этой разности, который всегда положителен или равен нулю:

(y−c)2\sqrt{(y - c)^2}

Параллельный перенос графиков

Теорема о преобразованиях графика, доказанная в уроке о действиях с функциями, утверждает, что график y=f(x−h)+ky = f(x - h) + k есть график y=f(x)y = f(x), сдвинутый на hh единиц вправо и на kk вверх. Её доказательство не использует того, что кривая является графиком функции: оно годится для любого уравнения между xx и yy, потому что точка (a,b)(a, b) удовлетворяет исходному уравнению в точности тогда, когда точка (a+h,b+k)(a + h, b + k) удовлетворяет уравнению, получающемуся заменой xx на x−hx - h и yy на y−ky - k. Так будут переноситься уравнения парабол.

ПримерПеренос параболы

Взять график y=x2y = x^2 и сдвинуть его на одну единицу вправо и на одну вверх.

Доказательство

  1. y=x2y = x^2

    Самая низкая точка исходного графика находится в начале координат.

  2. y=(x−1)2y = (x - \resaltar{1})^2

    Заменяем xx на x−1x - 1: каждая точка сдвигается на одну единицу вправо, и самая низкая точка переходит в (1,0)(1, 0).

  3. y−1=(x−1)2y - \resaltar{1} = (x - 1)^2

    Заменяем, кроме того, yy на y−1y - 1: график поднимается на одну единицу, и самая низкая точка переходит в (1,1)(1, 1).