Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Тригонометрическая форма комплексного числа

Краткое содержание

Этот урок записывает каждое ненулевое комплексное число через его модуль и аргумент, то есть полярный угол изображающей его точки, и получает так его тригонометрическую форму, z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right). Он описывает все аргументы комплексного числа, определяет главное значение аргумента и вычисляет его с помощью арктангенса, исправленного в зависимости от четверти, и доказывает, когда две тригонометрические формы задают одно и то же число. С помощью формул сложения он доказывает центральную теорему: при умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются, а при делении модули делятся, а аргументы вычитаются; из неё выводятся аргумент сопряжённого и аргумент обратного числа, и отмечается, что главное значение аргумента произведения равно сумме главных значений аргументов сомножителей лишь с точностью до одного оборота. Наконец, он истолковывает умножение на комплексное число как поворот, соединённый с растяжением, что обобщает поворот на четверть оборота при умножении на ii, и доказывает, что треугольники с вершинами 00, 11, ww и 00, zz, zwzw подобны.

Цели обучения

  1. Записывать ненулевое комплексное число в тригонометрической форме, вычислять главное значение его аргумента в зависимости от четверти и решать, когда две тригонометрические формы задают одно и то же число.
  2. Доказывать с помощью формул сложения, что в произведении модули перемножаются, а аргументы складываются, и выводить правила для частного, сопряжённого и обратного числа.
  3. Истолковывать умножение на комплексное число как поворот, соединённый с растяжением, и доказывать подобие треугольников с вершинами 00, 11, ww и 00, zz, zwzw.
  4. Применять тригонометрическую форму к точным значениям тригонометрических функций, к тождествам между арктангенсами, к уравнениям с zz и сопряжённым к нему числом и к геометрическим местам точек, заданным через аргументы.

Тригонометрическая форма комплексного числа

В уроке курса «Алгебра и геометрия I» о комплексных числах каждое комплексное число z=a+biz = a + bi изображалось точкой (a,b)(a, b) плоскости, его модуль ∣z∣\abs{z} определялся как расстояние от этой точки до начала координат и было доказано, что умножение на ii поворачивает каждую точку на четверть оборота. Открытым остался вопрос об умножении на произвольное комплексное число, действие которого не читается в алгебраической форме: действительная часть произведения (a+bi)(c+di)(a + bi)(c + di) равна ac−bdac - bd, и это выражение не обнаруживает никакой геометрии. Однако точку плоскости можно задать также расстоянием от неё до начала координат и направлением, в котором она видна из начала, как в уроке о полярных координатах. Если это так для точек, то так и для комплексных чисел; и в этом втором описании, как будет доказано, умножение становится прозрачным.

Пусть z=a+biz = a + bi есть ненулевое комплексное число. Аргументом числа zz называется всякое действительное число θ\theta, такое что a=∣z∣cos⁡θa = \abs{z} \cos \theta и b=∣z∣sin⁡θb = \abs{z} \sin \theta. Если r=∣z∣r = \abs{z} и θ\theta есть аргумент числа zz, то приводимое ниже выражение называется тригонометрической формой числа zz.
z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)

Всякое ненулевое комплексное число имеет аргументы. Действительно, по теореме о переходе от декартовых координат к полярным, доказанной в уроке о полярных координатах, точка (a,b)(a, b), отличная от полюса, имеет полярное представление (r,θ)(r, \theta) с r>0r > 0, и её полярный радиус равен r=a2+b2r = \sqrt{a^2 + b^2}, то есть модулю числа zz; равенства a=rcos⁡θa = r \cos \theta и b=rsin⁡θb = r \sin \theta означают тогда, что полярный угол θ\theta есть аргумент числа zz. Следовательно, аргумент числа zz есть угол, который образует с положительной действительной полуосью отрезок, соединяющий начало координат с zz, измеренный в радианах. Нуль же аргумента не имеет: равенство 0=0(cos⁡θ+isin⁡θ)0 = 0\left( \cos \theta + i \sin \theta \right) выполняется для всякого θ\theta, и никакой угол его не выделяет. Чтобы обозначить любой из аргументов числа zz, пишут arg⁡z\arg z, что читается «аргумент zz».

Теорема, приводимая ниже, утверждает, что модуль и аргумент, в отличие от полярных координат с отрицательным радиусом, определяют комплексное число однозначно с точностью до полных оборотов. От неё зависит всякое вычисление с тригонометрическими формами: чтобы доказать, что два комплексных числа равны, достаточно будет сравнить их модули и аргументы.

ТеоремаРавенство в тригонометрической форме

Пусть rr, r1r_1 и r2r_2 суть положительные действительные числа, а θ\theta, θ1\theta_1 и θ2\theta_2 суть действительные числа. Комплексное число r(cos⁡θ+isin⁡θ)r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right) имеет модуль rr и аргумент θ\theta. Кроме того, комплексные числа r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1)r_1\left( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right) и r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)r_2\left( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right) равны тогда и только тогда, когда r1=r2r_1 = r_2 и θ1−θ2=2kπ\theta_1 - \theta_2 = 2k\pi при некотором целом kk. Используются основное тригонометрическое тождество, периодичность синуса и косинуса и описание углов с общей конечной стороной из урока об углах и их измерении: два угла дают одну и ту же точку единичной окружности ровно тогда, когда они отличаются на целое кратное 2π2\pi.

Доказательство

  1. ∣z∣2=r2cos⁡2θ+r2sin⁡2θ=r2\abs{z}^2 = \resaltar{r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \resaltar{r^2}

    Пусть z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right), где r>0r > 0. Его действительная часть равна rcos⁡θr \cos \theta, а мнимая часть равна rsin⁡θr \sin \theta; по основному тригонометрическому тождеству квадрат его модуля равен r2r^2.

  2. ∣z∣=r,rcos⁡θ=∣z∣cos⁡θ,rsin⁡θ=∣z∣sin⁡θ\dato{m}{\resaltar{\abs{z} = r}}, \qquad r \cos \theta = \resaltar{\abs{z} \cos \theta}, \qquad r \sin \theta = \abs{z} \sin \theta

    Числа ∣z∣\abs{z} и rr положительны и имеют один и тот же квадрат; следовательно, они равны, и действительная и мнимая части числа zz таковы, каких требует определение: θ\theta есть аргумент числа zz. Поэтому всякое выражение этого вида с r>0r > 0 есть тригонометрическая форма.

  3. r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1)=r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)→r1=r2r_1 \left( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right) = r_2 \left( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right) \rightarrow \dato{r}{\resaltar{r_1 = r_2}}

    Если комплексные числа с модулями r1r_1 и r2r_2 равны, то у них один и тот же модуль, а по только что доказанному их модули равны r1r_1 и r2r_2.

  4. cos⁡θ1=cos⁡θ2∧sin⁡θ1=sin⁡θ2↔θ1−θ2=2kπ\resaltar{\cos \theta_1 = \cos \theta_2 \wedge \sin \theta_1 = \sin \theta_2} \leftrightarrow \resaltar{\theta_1 - \theta_2 = 2k\pi}

    Приравниваем действительные части и мнимые части и делим на r1=r2r_1 = r_2, отличное от нуля: углы θ1\theta_1 и θ2\theta_2 дают одну и ту же точку единичной окружности, так что у них общая конечная сторона.

  5. cos⁡(θ2+2kπ)=cos⁡θ2,sin⁡(θ2+2kπ)=sin⁡θ2\cos(\resaltar{\theta_2 + 2k\pi}) = \resaltar{\cos \theta_2}, \qquad \sin(\theta_2 + 2k\pi) = \sin \theta_2

    Обратно, если r1=r2r_1 = r_2 и θ1=θ2+2kπ\theta_1 = \theta_2 + 2k\pi, то по периодичности синуса и косинуса оба выражения имеют одинаковые действительные и мнимые части, и комплексные числа равны.

Отсюда следует, что если θ\theta есть аргумент числа zz, то аргументы числа zz суть в точности числа θ+2kπ\theta + 2k\pi, где kk целое: два аргумента одного и того же комплексного числа всегда отличаются на полные обороты. Поэтому равенство arg⁡z=θ\arg z = \theta означает, что θ\theta есть один из аргументов числа zz, и не фиксирует остальные. Кроме того, стоит заметить, что теорема требует r>0r > 0: выражение −2(cos⁡π3+isin⁡π3)-2\left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) не есть тригонометрическая форма, поскольку −2-2 не может быть модулем; так как −cos⁡θ=cos⁡(θ+π)-\cos \theta = \cos(\theta + \pi) и −sin⁡θ=sin⁡(θ+π)-\sin \theta = \sin(\theta + \pi), то то же число записывается в тригонометрической форме как 2(cos⁡4π3+isin⁡4π3)2\left( \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \right).

Главное значение аргумента

Среди аргументов ненулевого комплексного числа ровно один лежит в промежутке (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi}, поскольку этот промежуток имеет длину 2π2\pi и содержит единственного представителя каждого семейства θ+2kπ\theta + 2k\pi. Этот аргумент называется главным значением аргумента числа zz, обозначается arg⁡z\operatorname{arg} z и читается «главное значение аргумента zz». По теореме из урока о полярных координатах, где aa и bb играют роль xx и yy, он вычисляется с помощью арктангенса из урока об обратных тригонометрических функциях, который видит только первую и четвёртую четверти и в двух других требует поправки:

arg⁡z={arctan⁡baa>0arctan⁡ba+πa<0∧b≥0arctan⁡ba−πa<0∧b<0π2a=0∧b>0−π2a=0∧b<0\operatorname{arg} z = \begin{cases} \arctan \frac{b}{a} & a > 0 \\ \arctan \frac{b}{a} + \pi & a < 0 \wedge b \geq 0 \\ \arctan \frac{b}{a} - \pi & a < 0 \wedge b < 0 \\ \frac{\pi}{2} & a = 0 \wedge b > 0 \\ -\frac{\pi}{2} & a = 0 \wedge b < 0 \end{cases}
ПримерТригонометрическая форма числа из второй четверти

Запишем в тригонометрической форме комплексное число z=−3+iz = -\sqrt{3} + i и опишем все его аргументы. Рисунок сопровождает вычисление на комплексной плоскости.

Доказательство

  1. ∣z∣=(−3)2+12=4=2\abs{z} = \sqrt{\resaltar{\left( -\sqrt{3} \right)^2 + 1^2}} = \sqrt{4} = \dato{m}{\resaltar{2}}

    Модуль есть расстояние от точки (−3,1)\left( -\sqrt{3}, 1 \right) до начала координат.

  2. arctan⁡1−3=arctan⁡(−33)=−π6\arctan \frac{1}{-\sqrt{3}} = \resaltar{\arctan\left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right)} = \dato{a}{\resaltar{-\frac{\pi}{6}}}

    Арктангенс отношения мнимой части к действительной даёт угол из четвёртой четверти: это аргумент противоположной точки, 3−i\sqrt{3} - i, а не числа zz.

  3. arg⁡z=−π6+π=5π6\operatorname{arg} z = \resaltar{-\frac{\pi}{6} + \pi} = \dato{t}{\resaltar{\frac{5\pi}{6}}}

    Поскольку действительная часть отрицательна, а мнимая положительна, точка лежит во второй четверти, и формула прибавляет π\pi.

  4. z=2(cos⁡5π6+isin⁡5π6)=2(−32+12i)=−3+iz = 2\left( \resaltar{\cos \frac{5\pi}{6}} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right) = 2\left( \resaltar{-\frac{\sqrt{3}}{2}} + \frac{1}{2} i \right) = -\sqrt{3} + i

    Сверяем тригонометрическую форму со значениями косинуса и синуса угла 5π6\frac{5\pi}{6}, которые получаются из значений для π6\frac{\pi}{6} по симметрии относительно угла, дополняющего его до развёрнутого.

  5. arg⁡z=5π6+2kπ,k∈Z\arg z = \resaltar{\frac{5\pi}{6} + 2k\pi}, \qquad k \in \mathbb{Z}

    Остальные аргументы отличаются от главного значения на полные обороты: например, −7π6-\frac{7\pi}{6} и 17π6\frac{17\pi}{6} тоже являются аргументами числа zz, но не лежат в (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi}.

Комплексные числа, лежащие на осях, имеют тригонометрические формы, которые полезно узнавать сразу. Положительные действительные числа имеют главное значение аргумента 00, а отрицательные π\pi; чисто мнимые числа bibi с b>0b > 0 имеют главное значение аргумента π2\frac{\pi}{2}, а с b<0b < 0 его значение равно −π2-\frac{\pi}{2}. Так, например:

−1=cos⁡π+isin⁡π,i=cos⁡π2+isin⁡π2,−2i=2(cos⁡(−π2)+isin⁡(−π2))-1 = \cos \pi + i \sin \pi, \qquad i = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}, \qquad -2i = 2\left( \cos\left( -\frac{\pi}{2} \right) + i \sin\left( -\frac{\pi}{2} \right) \right)

Промежуток (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi} есть соглашение, то же, что и в уроке о полярных координатах; в других текстах используют [0,2π)\ico{0}{2\pi}. От соглашения не зависит множество всех аргументов, и поэтому теоремы этого урока формулируются для произвольных аргументов, если явно не сказано обратное.