Рациональные числа: дроби и действия с ними

Дроби и их эквивалентность

В уроке о числовых множествах рациональные числа были представлены как дроби из целых чисел с ненулевым знаменателем, и было отмечено, что дробь нельзя определить как деление, потому что деление есть именно то, чего целые числа не допускают. В этом уроке выполняется построение, обещанное там. Отправной точкой для него служат целые числа из урока о целых числах с их сложением, умножением, порядком и одним свойством, которое будет использоваться постоянно: произведение двух ненулевых целых чисел не равно нулю. Из него следует, что ненулевой множитель можно сократить, потому что если $ab = ac$ при $a \neq 0$, то $a(b - c) = 0$, и, следовательно, $b - c = 0$.

Определение (дробь). Дробью называется упорядоченная пара $(p, q)$ целых чисел с $q \neq 0$, которая записывается как $\frac{p}{q}$; целое число $p$ есть её числитель, а $q$ её знаменатель. Дроби $\frac{p}{q}$ и $\frac{r}{s}$ называются эквивалентными, если их перекрёстные произведения совпадают, то есть если $ps = qr$.

Так, $\frac{2}{3}$ и $\frac{4}{6}$ эквивалентны, поскольку $2 \cdot 6 = 3 \cdot 4$, тогда как $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{4}$ не эквивалентны, поскольку $2 \cdot 4 \neq 3 \cdot 3$. Определение не произвольно. Если дроби должны быть частными, то равенство $\frac{p}{q} = \frac{r}{s}$ должно быть равносильно, после умножения обеих частей на $qs$, равенству $ps = qr$; определение берёт за отправную точку это следствие, которое содержит лишь произведения целых чисел и потому имеет смысл ещё до того, как появилось деление. Однако, чтобы эквивалентность могла играть роль равенства, она должна вести себя подобно ему: она должна быть отношением эквивалентности в смысле урока о множествах, отношениях и функциях.

Если это так, то к эквивалентности дробей применимы общие результаты урока о множествах, отношениях и функциях, которые нет нужды повторять: по теореме об эквивалентностях и разбиениях классы эквивалентных дробей образуют разбиение множества дробей, так что каждая дробь принадлежит ровно одному классу, а два различных класса не имеют ни одной общей дроби. Каждый класс есть число.

Определение (рациональное число). Рациональным числом называется класс эквивалентности дроби, то есть множество всех дробей, эквивалентных ей, и любая из них его представляет; в обозначениях урока о множествах, отношениях и функциях рациональное число, представленное дробью $\frac{p}{q}$, есть класс $C\left( \frac{p}{q} \right)$, а здесь оно записывается просто как $\frac{p}{q}$. Множество рациональных чисел, которое есть фактормножество дробей по их эквивалентности, обозначается через $\mathbb{Q}$. Пишут $\frac{p}{q} = \frac{r}{s}$, когда обе дроби представляют одно и то же рациональное число, то есть когда они эквивалентны, как утверждает доказанная там лемма о классах эквивалентности.

Каждое целое число $p$ отождествляется с рациональным числом, представленным дробью $\frac{p}{1}$. Отождествление не смешивает различные целые числа, потому что $\frac{p}{1} = \frac{r}{1}$ равносильно $p \cdot 1 = 1 \cdot r$, то есть $p = r$; в этом смысле $\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}$. Ниже мы убедимся, что действия над рациональными числами, применённые к целым, дают обычные действия. Чаще всего для того, чтобы сменить дробь, не меняя числа, используется следующее практическое правило.