Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Расстояния, углы и объёмы в пространстве

Краткое содержание

Этот урок соединяет инструменты трёх уроков перед ним, скалярное, векторное и смешанное произведения, с уравнениями прямых и плоскостей, чтобы измерять в пространстве. Он определяет расстояние от точки до множества и доказывает, проектируя на нормаль, формулу расстояния от точки до плоскости, а с помощью векторного произведения формулу расстояния от точки до прямой; в обоих случаях основание перпендикуляра оказывается единственной ближайшей точкой. Из них выводятся расстояния между параллельными плоскостями и между параллельными прямыми, и доказывается, что две скрещивающиеся прямые имеют единственный общий перпендикуляр, который находится решением системы двух уравнений и длина которого равна смешанному произведению, делённому на длину вектора. Урок определяет и вычисляет углы между двумя прямыми, между прямой и плоскостью и между двумя плоскостями и доказывает, что они совпадают с углами элементарной геометрии; строит серединную перпендикулярную плоскость отрезка и точки, симметричные данной относительно плоскости и относительно прямой; доказывает, что площадь проекции плоского многоугольника равна его площади, умноженной на косинус двугранного угла, и изучает сферу, её уравнение, её пересечение с плоскостью и её касательную плоскость. Приложения посвящены плоскостям кристалла с их индексами Миллера и спутниковому позиционированию; задачи касаются правильного тетраэдра, точек, равноудалённых от трёх точек, тени солнечной панели, касательных плоскостей к сфере, содержащих прямую, и двух самолётов, маршруты которых скрещиваются.

Цели обучения

  1. Вычислять расстояние от точки до плоскости и до прямой, между параллельными плоскостями, между параллельными прямыми и между скрещивающимися прямыми, доказывая каждую формулу и находя точки, в которых оно достигается.
  2. Находить общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых и доказывать его единственность.
  3. Вычислять углы между прямыми, между прямой и плоскостью и между двумя плоскостями и доказывать, что они совпадают с геометрическими углами, которые они определяют.
  4. Строить серединную перпендикулярную плоскость отрезка и точки, симметричные данной относительно плоскости и относительно прямой.
  5. Вычислять площади и объёмы с помощью векторного и смешанного произведений, доказывать и применять соотношение между площадью плоского многоугольника и площадью его проекции.
  6. Находить центр и радиус сферы по её уравнению, определять её положение относительно плоскости, находить окружность сечения и касательную плоскость и моделировать с помощью этих инструментов задачи кристаллографии, солнечной энергетики, воздушной навигации и спутникового позиционирования.

Расстояние от точки до плоскости и до прямой

В уроке о векторах на плоскости расстояние от точки до прямой на плоскости было получено проектированием на нормальный вектор. В пространстве урок о прямых и плоскостях в пространстве записал плоскость, проходящую через P0P_0 с ненулевым нормальным вектором n⃗=(a,b,c)\vec{n} = \left( a, b, c \right), как множество точек XX с n⃗⋅P0X⃗=0\vec{n} \cdot \vec{P_0 X} = 0, то есть уравнением ax+by+cz=dax + by + cz = d, а прямую, проходящую через AA с направляющим вектором u⃗\vec{u}, как множество точек A+tu⃗A + t \vec{u}, где tt вещественно. Если это так, идея, применённая на плоскости, без изменений годится для плоскостей пространства; для прямых же нормаль уже не задаёт одного направления, и её место занимает векторное произведение из урока о векторном и смешанном произведениях. Используемые факты евклидовой геометрии пространства суть те, что были приняты в уроке о векторах в пространстве и скалярном произведении.

Пусть FF есть непустое множество точек пространства, а PP есть точка. Если среди расстояний от PP до точек FF есть одно, меньшее или равное всем остальным, то это число называется расстоянием от PP до FF и обозначается d⁡(P,F)\operatorname{d}(P, F). Аналогично, если среди расстояний от точек множества FF до точек другого множества GG есть одно, меньшее или равное всем, то это число называется расстоянием между FF и GG, d⁡(F,G)\operatorname{d}(F, G).

Определение не гарантирует, что расстояние существует: среди бесконечного множества расстояний может не оказаться наименьшего. Поэтому теоремы этого урока не ограничиваются формулой; они доказывают, что ближайшая точка существует и единственна.

ТеоремаРасстояние от точки до плоскости

Пусть π\pi есть плоскость ax+by+cz=dax + by + cz = d, где n⃗=(a,b,c)\vec{n} = \left( a, b, c \right) ненулевой, и пусть P=(x0,y0,z0)P = (x_0, y_0, z_0). Точка H=P−λn⃗H = P - \lambda \vec{n}, где λ=ax0+by0+cz0−d∥n⃗∥2\lambda = \frac{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}{{\norma{\vec{n}}}^2}, лежит в π\pi, вектор HP⃗\vec{HP} нормален к π\pi, и HH есть единственная точка π\pi, ближайшая к PP. Следовательно:

d⁡(P,π)=∣ax0+by0+cz0−d∣a2+b2+c2\operatorname{d}(P, \pi) = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

На нормаль проектируется вектор, идущий из произвольной точки плоскости в PP, как в геометрии на плоскости; минимальность даёт теорема Пифагора. На рисунке взяты плоскость 2x+y+2z=42x + y + 2z = 4 и точка P=(2,3,3)P = (2, 3, 3).

Доказательство

  1. p⃗=QP⃗⋅n⃗∥n⃗∥2n⃗\vec{p} = \dato{p}{\frac{\vec{QP} \cdot \vec{n}}{{\norma{\vec{n}}}^2} \vec{n}}

    Выберем точку Q=(q1,q2,q3)Q = (q_1, q_2, q_3) плоскости π\pi и спроектируем QP⃗\vec{QP} на n⃗\vec{n} по теореме об ортогональной проекции из урока о векторах в пространстве. На рисунке Q=(2,0,0)Q = (2, 0, 0).

  2. QP⃗⋅n⃗=ax0+by0+cz0−(aq1+bq2+cq3)=ax0+by0+cz0−d\vec{QP} \cdot \vec{n} = a x_0 + b y_0 + c z_0 \resaltar{- \left( a q_1 + b q_2 + c q_3 \right)} = \dato{e}{a x_0 + b y_0 + c z_0 - \resaltar{d}}

    Так как QQ лежит в π\pi, имеем aq1+bq2+cq3=da q_1 + b q_2 + c q_3 = d, и скалярное произведение в числителе есть левая часть уравнения, вычисленная в PP, минус dd.

  3. QH⃗=QP⃗−λn⃗,n⃗⋅QH⃗=0→H∈π\vec{QH} = \vec{QP} - \resaltar{\lambda \vec{n}}, \qquad \vec{n} \cdot \vec{QH} = 0 \rightarrow \dato{h}{H \in \pi}

    Итак, p⃗=λn⃗\vec{p} = \lambda \vec{n} и H=P−p⃗H = P - \vec{p}. Вектор QH⃗=QP⃗−p⃗\vec{QH} = \vec{QP} - \vec{p} есть ортогональная составляющая проекции, перпендикулярная n⃗\vec{n}; по уравнению плоскости по точке и нормальному вектору HH лежит в π\pi.

  4. ∥PX⃗∥2=∥PH⃗∥2+∥HX⃗∥2≥∥PH⃗∥2{\norma{\vec{PX}}}^2 = {\norma{\vec{PH}}}^2 + \resaltar{{\norma{\vec{HX}}}^2} \ge {\norma{\vec{PH}}}^2

    Пусть XX есть произвольная точка π\pi. По соотношению Шаля PX⃗=PH⃗+HX⃗\vec{PX} = \vec{PH} + \vec{HX}; первое слагаемое кратно n⃗\vec{n}, а второе соединяет две точки π\pi, так что они ортогональны, и выполняется равенство Пифагора.

  5. d⁡(P,π)=∥p⃗∥=∣QP⃗⋅n⃗∣∥n⃗∥=∣ax0+by0+cz0−d∣a2+b2+c2\operatorname{d}(P, \pi) = \norma{\vec{p}} = \frac{\resaltar{\abs{\vec{QP} \cdot \vec{n}}}}{\norma{\vec{n}}} = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

    Равенство достигается, только если HX⃗=0⃗\vec{HX} = \vec{0}, то есть если X=HX = H: основание перпендикуляра есть единственная ближайшая точка, а расстояние равно длине проекции.

  6. d⁡(P,π)=∣2⋅2+3+2⋅3−4∣4+1+4=93=3\operatorname{d}(P, \pi) = \frac{\abs{2 \cdot 2 + 3 + 2 \cdot 3 - 4}}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{\resaltar{9}}{\resaltar{3}} = 3

    На рисунке QP⃗=(0,3,3)\vec{QP} = \left( 0, 3, 3 \right), QP⃗⋅n⃗=9\vec{QP} \cdot \vec{n} = 9 и ∥n⃗∥=3\norma{\vec{n}} = 3, так что λ=1\lambda = 1, основание есть H=(0,2,1)H = (0, 2, 1), а расстояние равно 33.

Знак числа ax0+by0+cz0−da x_0 + b y_0 + c z_0 - d, который формула скрывает за модулем, тоже имеет смысл. Так как P=H+λn⃗P = H + \lambda \vec{n}, он положителен, когда в PP попадают из плоскости, двигаясь в направлении n⃗\vec{n}, и отрицателен, когда в неё попадают, двигаясь в противоположном направлении. Точки с ax+by+cz>dax + by + cz > d образуют одно из двух полупространств, определяемых плоскостью, а точки с ax+by+cz<dax + by + cz < d образуют другое; две точки лежат по одну сторону от плоскости тогда и только тогда, когда выражение имеет в них одинаковый знак. Так, начало координат и точка (2,3,3)(2, 3, 3) лежат по разные стороны от плоскости 2x+y+2z=42x + y + 2z = 4, поскольку 0−4<0<90 - 4 < 0 < 9.

ТеоремаРасстояние от точки до прямой

Пусть rr есть прямая A+tu⃗A + t \vec{u}, где u⃗\vec{u} ненулевой, и пусть PP есть точка. Точка H=A+t0u⃗H = A + t_0 \vec{u}, где t0=AP⃗⋅u⃗∥u⃗∥2t_0 = \frac{\vec{AP} \cdot \vec{u}}{{\norma{\vec{u}}}^2}, есть единственная точка rr, ближайшая к PP, вектор HP⃗\vec{HP} перпендикулярен u⃗\vec{u}, и:

d⁡(P,r)=∥AP⃗×u⃗∥∥u⃗∥\operatorname{d}(P, r) = \frac{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}{\norma{\vec{u}}}

Вектор AP⃗\vec{AP} раскладывается на проекцию на u⃗\vec{u} и ортогональную составляющую; длина последней выражается через тождество Лагранжа. На рисунке взяты прямая, проходящая через A=(0,0,1)A = (0, 0, 1) с направляющим вектором u⃗=(1,2,2)\vec{u} = \left( 1, 2, 2 \right), и точка P=(3,3,1)P = (3, 3, 1).

Доказательство

  1. AP⃗=t0u⃗+w⃗,w⃗⋅u⃗=0\vec{AP} = t_0 \vec{u} + \dato{w}{\vec{w}}, \qquad \vec{w} \cdot \vec{u} = 0

    По теореме об ортогональной проекции AP⃗\vec{AP} есть сумма своей проекции t0u⃗t_0 \vec{u} на u⃗\vec{u} и вектора w⃗\vec{w}, ортогонального u⃗\vec{u}. Точка H=A+t0u⃗H = A + t_0 \vec{u} лежит на rr, и HP⃗=w⃗\vec{HP} = \vec{w}.

  2. XP⃗=w⃗+(t0−t)u⃗,∥XP⃗∥2=∥w⃗∥2+(t0−t)2∥u⃗∥2≥∥w⃗∥2\vec{XP} = \vec{w} + \resaltar{\left( t_0 - t \right) \vec{u}}, \qquad {\norma{\vec{XP}}}^2 = {\norma{\vec{w}}}^2 + \resaltar{\left( t_0 - t \right)^2 {\norma{\vec{u}}}^2} \ge {\norma{\vec{w}}}^2

    Для произвольной точки X=A+tu⃗X = A + t \vec{u} прямой rr вектор XP⃗\vec{XP} равен w⃗\vec{w} плюс вектор, кратный u⃗\vec{u}; два слагаемых ортогональны, и выполняется равенство Пифагора.

  3. d⁡(P,r)2=∥w⃗∥2=∥AP⃗∥2−(AP⃗⋅u⃗)2∥u⃗∥2=∥AP⃗∥2∥u⃗∥2−(AP⃗⋅u⃗)2∥u⃗∥2{\operatorname{d}(P, r)}^2 = {\norma{\vec{w}}}^2 = {\norma{\vec{AP}}}^2 - \resaltar{\frac{\left( \vec{AP} \cdot \vec{u} \right)^2}{{\norma{\vec{u}}}^2}} = \dato{q}{\frac{{\norma{\vec{AP}}}^2 {\norma{\vec{u}}}^2 - \left( \vec{AP} \cdot \vec{u} \right)^2}{{\norma{\vec{u}}}^2}}

    Равенство достигается, только если t=t0t = t_0: HH есть единственная ближайшая точка, а расстояние равно длине w⃗\vec{w}, квадрат которой даёт равенство Пифагора для проекции.

  4. d⁡(P,r)2=∥AP⃗×u⃗∥2∥u⃗∥2→d⁡(P,r)=∥AP⃗×u⃗∥∥u⃗∥{\operatorname{d}(P, r)}^2 = \frac{\resaltar{{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}^2}}{{\norma{\vec{u}}}^2} \rightarrow \operatorname{d}(P, r) = \frac{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}{\norma{\vec{u}}}

    По тождеству Лагранжа из урока о векторном произведении числитель есть квадрат длины AP⃗×u⃗\vec{AP} \times \vec{u}; извлекаем корень.

  5. AP⃗×u⃗=(6,−6,3),d⁡(P,r)=93=3\vec{AP} \times \vec{u} = \left( 6, -6, 3 \right), \qquad \operatorname{d}(P, r) = \frac{\resaltar{9}}{\resaltar{3}} = 3

    На рисунке AP⃗=(3,3,0)\vec{AP} = \left( 3, 3, 0 \right) и AP⃗⋅u⃗=9\vec{AP} \cdot \vec{u} = 9, так что t0=1t_0 = 1, H=(1,2,3)H = (1, 2, 3) и w⃗=(2,1,−2)\vec{w} = \left( 2, 1, -2 \right), длины 33. Векторное произведение даёт то же самое.

Формула имеет прямой геометрический смысл: ∥AP⃗×u⃗∥\norma{\vec{AP} \times \vec{u}} есть площадь параллелограмма со сторонами AP⃗\vec{AP} и u⃗\vec{u}, а ∥u⃗∥\norma{\vec{u}} есть длина его основания, лежащего на прямой; частное есть высота, то есть искомое расстояние. Когда нужно только расстояние, векторное произведение избавляет от вычисления основания перпендикуляра.