Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Прямые и плоскости в пространстве

Краткое содержание

Этот урок переносит в пространство прямую, заданную точкой и направляющим вектором, и описывает плоскость в векторной и параметрической форме, через точку и два направляющих вектора, и в декартовой форме, через уравнение ax+by+cz=dax + by + cz = d, коэффициенты которого образуют вектор нормали. Векторное произведение связывает обе формы, и доказывается, что всякая плоскость имеет общее уравнение, единственное с точностью до множителя. Взаимное расположение плоскостей и прямых сводится к линейным системам и классифицируется теоремой Кронекера-Капелли (теоремой Руше-Фробениуса); смешанное произведение решает, пересекаются ли две прямые или скрещиваются. Урок завершается пучком плоскостей и задачами о маршрутах самолётов, наклоне местности и тетраэдрах.

Цели обучения

  1. Записывать прямую в пространстве в векторной, параметрической и канонической форме, в том числе когда какая-либо координата направляющего вектора равна нулю, и доказывать, что через две различные точки проходит единственная прямая.
  2. Записывать плоскость в векторной, параметрической и декартовой форме, переходить от одной формы к другой с помощью векторного произведения и строить плоскость, проходящую через три точки, не лежащие на одной прямой.
  3. Доказывать, что всякая плоскость имеет общее уравнение, единственное с точностью до ненулевого множителя, и что всякое линейное уравнение относительно xx, yy и zz с каким-либо ненулевым коэффициентом задаёт плоскость.
  4. Определять взаимное расположение двух или трёх плоскостей, прямой и плоскости и двух прямых по рангам линейной системы и смешанному произведению, в том числе когда данные зависят от параметра.
  5. Строить с помощью пучка плоскостей плоскость, содержащую прямую и удовлетворяющую ещё одному условию, и моделировать прямыми и плоскостями ситуации из аэронавигации, строительства и проектирования.

Прямая в пространстве

В уроке курса «Алгебра и геометрия I» о векторах на плоскости прямая на плоскости, известная как график уравнения первой степени со времени урока об уравнении прямой, была описана как P0+td⃗P_0 + t \vec{d}. В пространстве нет углового коэффициента, а уравнение первой степени относительно xx, yy и zz задаёт, как будет видно, плоскость. Если это так, удобно обратить порядок: векторное описание станет определением, а из него будут выведены остальные формы.

Векторы пространства и их скалярное произведение изучались в уроке о векторах в пространстве и скалярном произведении; векторное и смешанное произведения, в уроке о векторном и смешанном произведениях. Как и на плоскости, Q=P+v⃗Q = P + \vec{v} означает PQ⃗=v⃗\vec{PQ} = \vec{v}, и два ненулевых вектора коллинеарны, когда один кратен другому. На рисунках ось yy направлена вправо, ось zz вверх, а ось xx к наблюдателю.

Пусть AA есть точка и v⃗=(v1,v2,v3)\vec{v} = \left( v_1, v_2, v_3 \right) есть ненулевой вектор. Прямая, проходящая через AA с направляющим вектором v⃗\vec{v}, есть множество точек PP, для которых существует действительное число tt, такое что P=A+tv⃗P = A + t \vec{v}; число tt называется параметром точки PP.
P=A+tv⃗,t∈RP = A + t \vec{v}, \quad t \in \mathbb{R}

Параметр каждой точки единствен: если A+tv⃗=A+sv⃗A + t \vec{v} = A + s \vec{v}, то (t−s)v⃗=0⃗\left( t - s \right) \vec{v} = \vec{0}, и поскольку v⃗\vec{v} не нулевой, t=st = s. Для A=(x0,y0,z0)A = (x_0, y_0, z_0) и P=(x,y,z)P = (x, y, z) векторное уравнение, записанное в координатах, даёт параметрические уравнения прямой:

{x=x0+tv1y=y0+tv2z=z0+tv3\begin{cases} x = x_0 + t v_1 \\ y = y_0 + t v_2 \\ z = z_0 + t v_3 \end{cases}

Если параметр есть время, эти уравнения описывают равномерное движение со скоростью v⃗\vec{v}, как на плоскости. Одна и та же прямая допускает много начальных точек и много направляющих векторов; теорема, приведённая ниже, показывает, что две её точки её определяют.

ТеоремаПрямая, проходящая через две точки

Через две различные точки AA и BB проходит единственная прямая, а именно прямая с уравнением P=A+tAB⃗P = A + t \vec{AB}. Как следствие, уравнения P=A+tv⃗P = A + t \vec{v} и P=C+sw⃗P = C + s \vec{w} задают одну и ту же прямую тогда и только тогда, когда CC лежит на первой, а w⃗\vec{w} коллинеарен v⃗\vec{v}.

На рисунке A=(2,0,1)A = (2, 0, 1) и B=(1,2,2)B = (1, 2, 2), так что AB⃗=(−1,2,1)\vec{AB} = \left( -1, 2, 1 \right), а другая прямая проходит через C=(0,4,3)C = (0, 4, 3) с направляющим вектором v⃗=(1,−2,−1)\vec{v} = \left( 1, -2, -1 \right).

Доказательство

  1. A+0⋅AB⃗=A,A+1⋅AB⃗=BA + \resaltar{0} \cdot \vec{AB} = A, \qquad A + \resaltar{1} \cdot \vec{AB} = B

    Существование: вектор AB⃗\vec{AB} не нулевой, поскольку A≠BA \neq B, и прямая, проходящая через AA с этим направляющим вектором, содержит AA, с параметром 00, и BB, с параметром 11.

  2. A=C+t1v⃗,B=C+t2v⃗\dato{ab}{A = C + t_1 \vec{v}, \qquad B = C + t_2 \vec{v}}

    Единственность: пусть rr есть произвольная прямая, P=C+tv⃗P = C + t \vec{v}, содержащая AA и BB, и пусть t1t_1 и t2t_2 есть их параметры. На рисунке t1=2t_1 = 2 и t2=1t_2 = 1.

  3. AB⃗=t2v⃗−t1v⃗=(t2−t1)v⃗\vec{AB} = t_2 \vec{v} - t_1 \vec{v} = \dato{d}{\resaltar{\left( t_2 - t_1 \right)} \vec{v}}

    По соотношению Шаля AB⃗=CB⃗−CA⃗\vec{AB} = \vec{CB} - \vec{CA}. Параметры различны, поскольку A≠BA \neq B; следовательно, AB⃗\vec{AB} коллинеарен v⃗\vec{v}. На рисунке AB⃗=−v⃗\vec{AB} = -\vec{v}.

  4. C+tv⃗=A+(t−t1)v⃗=A+t−t1t2−t1AB⃗C + t \vec{v} = A + \left( t - t_1 \right) \vec{v} = A + \resaltar{\frac{t - t_1}{t_2 - t_1}} \vec{AB}

    Каждая точка прямой rr лежит на прямой ABAB: начинаем с AA вместо CC и заменяем v⃗\vec{v} его выражением через AB⃗\vec{AB}. На рисунке точка прямой rr с параметром 12\frac{1}{2} есть точка прямой ABAB с параметром 32\frac{3}{2}.

  5. A+sAB⃗=A+s(t2−t1)v⃗=C+(t1+s(t2−t1))v⃗A + s \vec{AB} = A + s \left( t_2 - t_1 \right) \vec{v} = C + \resaltar{\left( t_1 + s \left( t_2 - t_1 \right) \right)} \vec{v}

    Обратно, точка с параметром ss прямой ABAB есть точка с параметром t1+s(t2−t1)t_1 + s \left( t_2 - t_1 \right) на rr: у двух прямых одни и те же точки. Для второго утверждения: если уравнения задают одну и ту же прямую, то CC и C+w⃗C + \vec{w} лежат на ней, и по третьему шагу w⃗\vec{w} кратен v⃗\vec{v}; если CC лежит на первой и w⃗=kv⃗\vec{w} = k \vec{v}, то первая содержит CC и C+w⃗C + \vec{w} и есть прямая, проходящая через них.

Отсюда следует, что две различные прямые имеют не более одной общей точки: если бы у них были две общие точки, они были бы единственной прямой, проходящей через эти точки. Три точки лежат на одной прямой, когда существует прямая, их содержащая. Если A≠BA \neq B, то точка CC лежит на одной прямой с ними тогда и только тогда, когда C=A+tAB⃗C = A + t \vec{AB} для некоторого tt, то есть тогда и только тогда, когда AC⃗\vec{AC} кратен AB⃗\vec{AB}.

Канонические уравнения

Если выразить параметр из каждого уравнения и приравнять результаты, получаются уравнения без параметра; при этом нужно учитывать нулевые координаты направляющего вектора.

УтверждениеКанонические уравнения прямой

Пусть rr есть прямая, проходящая через A=(x0,y0,z0)A = (x_0, y_0, z_0) с направляющим вектором v⃗=(v1,v2,v3)\vec{v} = \left( v_1, v_2, v_3 \right). Если все три координаты v⃗\vec{v} отличны от нуля, точка (x,y,z)(x, y, z) лежит на rr тогда и только тогда, когда выполняются приведённые ниже равенства. Если равна нулю только v2v_2, условие таково: x−x0v1=z−z0v3\frac{x - x_0}{v_1} = \frac{z - z_0}{v_3} и y=y0y = y_0; если равны нулю v2v_2 и v3v_3, условие таково: y=y0y = y_0 и z=z0z = z_0. Случаи, когда обращаются в нуль другие координаты, получаются перестановкой ролей координат.

x−x0v1=y−y0v2=z−z0v3\frac{x - x_0}{v_1} = \frac{y - y_0}{v_2} = \frac{z - z_0}{v_3}

На рисунке A=(1,2,−1)A = (1, 2, -1) и v⃗=(2,0,4)\vec{v} = \left( 2, 0, 4 \right), вектор, идущий от AA к B=(3,2,3)B = (3, 2, 3).

Доказательство

  1. x−x0v1=t,y−y0v2=t,z−z0v3=t\frac{x - x_0}{v_1} = \resaltar{t}, \quad \frac{y - y_0}{v_2} = \resaltar{t}, \quad \frac{z - z_0}{v_3} = \resaltar{t}

    Если все три координаты отличны от нуля и P=A+tv⃗P = A + t \vec{v}, выражаем tt из каждого параметрического уравнения: все три отношения равны tt.

  2. x=x0+tv1,y=y0+tv2,z=z0+tv3x = x_0 + \resaltar{t} v_1, \quad y = y_0 + \resaltar{t} v_2, \quad z = z_0 + \resaltar{t} v_3

    Обратно, если три отношения равны, обозначим через tt их общее значение; умножив каждое равенство на его знаменатель, получим параметрические уравнения, и P=A+tv⃗P = A + t \vec{v} лежит на rr.

  3. x−12=z+14,y=2\frac{x - 1}{2} = \frac{z + 1}{4}, \quad \resaltar{y = 2}

    Если равна нулю только v2v_2, второе уравнение имеет вид y=y0y = y_0 при всяком tt и записывается отдельно, поскольку деление на 00 лишено смысла. На рисунке прямая лежит в плоскости y=2y = 2.

  4. y=2,z=−1\resaltar{y = 2}, \quad \resaltar{z = -1}

    Если v2v_2 и v3v_3 равны нулю, два последних уравнения фиксируют yy и zz, и для каждого xx параметр t=x−x0v1t = \frac{x - x_0}{v_1} даёт точку: прямая есть прямая, параллельная оси xx и проведённая через AA, которая на рисунке видна на заднем плане.

  5. 4−12=5+14=32,2−12≠2+14\frac{4 - 1}{2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{3}{2}, \qquad \frac{2 - 1}{2} \neq \frac{2 + 1}{4}

    Контроль на рисунке: C=(4,2,5)C = (4, 2, 5) лежит на прямой, с параметром 32\frac{3}{2}, а D=(2,2,2)D = (2, 2, 2) не лежит, хотя и удовлетворяет условию y=2y = 2.

Каждое равенство канонических уравнений есть уравнение первой степени: прямая на рисунке есть множество решений уравнений 2x−z=32x - z = 3 и y=2y = 2. Когда будет показано, что каждое такое уравнение задаёт плоскость, это будет означать, что прямая есть пересечение двух плоскостей; это её общие уравнения.