Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Основные тригонометрические тождества

Краткое содержание

Этот урок открывает аналитическую тригонометрию, которая изучает алгебраические соотношения между тригонометрическими функциями. Он точно определяет, что такое тождество, а именно равенство, выполняющееся во всей общей области определения двух его частей, и собирает основные тождества: тождества обратных величин, частного, пифагоровы, чётности и дополнительных углов, которые, кроме того, читаются как длины отрезков на единичной окружности. Урок излагает метод доказательства тождества, при котором одна часть преобразуется в другую или обе в одно и то же выражение, и показывает, почему нельзя исходить из самого тождества и возводить его в квадрат; одного исключения, контрпримера, достаточно, чтобы опровергнуть ложное тождество. Он выражает каждую функцию через другую, со знаком, который определяет координатная четверть, упрощает выражения, следя за областью определения, превращает алгебраические корни в тригонометрические функции с помощью подстановок и, исключая параметр, узнаёт в точке (acos⁡t,bsin⁡t)\left( a \cos t, b \sin t \right) эллипс, а в точке (asec⁡t,btan⁡t)\left( a \sec t, b \tan t \right) гиперболу.

Цели обучения

  1. Точно определять тригонометрическое тождество, находить его общую область определения и отличать его от уравнения, а также собрать и доказать основные тождества, в том числе в их геометрическом прочтении как отрезков.
  2. Доказывать тождества, преобразуя одну часть в другую или обе в общее выражение, распознавать неверные рассуждения и опровергать ложное тождество контрпримером.
  3. Выражать каждую тригонометрическую функцию через другую, со знаком, соответствующим координатной четверти, и упрощать выражения, сохраняя их область определения.
  4. Применять тригонометрические подстановки для преобразования выражений с корнями и исключать параметр в тригонометрических параметризациях эллипса и гиперболы.

Что такое тождество

Одни равенства между тригонометрическими функциями выполняются для всякого действительного числа, как sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1, доказанное в уроке о тригонометрических отношениях и единичной окружности; другие, как sin⁡θ=−12\sin \theta = -\frac{1}{2}, лишь при некоторых значениях, находить которые мы научились в уроке об обратных тригонометрических функциях. Различие здесь по существу: первое утверждает нечто обо всех числах, а второе ставит вопрос. Однако слова «для всякого действительного числа» требуют уточнения, потому что многие тригонометрические выражения определены не при всех числах.

Тригонометрическим тождеством называется равенство двух выражений, построенных из тригонометрических функций, которое выполняется при всех значениях переменной, при которых определены обе его части. Множество этих значений есть общая область определения тождества. Равенство, выполняющееся лишь при некоторых значениях из общей области определения, есть уравнение, а эти значения суть его решения.

Область определения не мелочь. Тангенс определён там, где косинус не обращается в нуль, а котангенс там, где не обращается в нуль синус; поэтому их произведение определено ровно тогда, когда xx не кратно π2\frac{\pi}{2} с целым множителем, и там оно равно 11:

tan⁡xcot⁡x=1,x≠kπ2\tan x \cot x = 1, \qquad x \neq \frac{k\pi}{2}

В точках, кратных π2\frac{\pi}{2}, тождество ничего не утверждает, потому что его левая часть не обозначает никакого числа. Точно так же sin⁡xtan⁡x=cos⁡x\frac{\sin x}{\tan x} = \cos x есть тождество в своей общей области определения, которая исключает числа, кратные π2\frac{\pi}{2}; однако функции f(x)=sin⁡xtan⁡xf(x) = \frac{\sin x}{\tan x} и g(x)=cos⁡xg(x) = \cos x не равны, потому что, согласно уроку курса I о действиях с функциями, две равные функции имеют одну и ту же область определения, а вторая определена, например, при x=0x = 0. Итак, тождество сравнивает два выражения лишь там, где оба имеют смысл.

Основные тождества

Приведённые ниже тождества получаются непосредственно из определений и из теорем предыдущего раздела; все остальные выводятся из них.

ТеоремаОсновные тождества

В общей области определения каждого равенства выполняются приведённые ниже тождества обратных величин, частного и пифагоровы тождества. Кроме того, синус, тангенс, косеканс и котангенс являются нечётными функциями, а косинус и секанс чётными; и каждая функция от π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta равна своей кофункции от θ\theta, где синус и косинус, тангенс и котангенс, секанс и косеканс являются кофункциями друг друга.

sin⁡θcsc⁡θ=1,cos⁡θsec⁡θ=1,tan⁡θcot⁡θ=1\sin \theta \csc \theta = 1, \qquad \cos \theta \sec \theta = 1, \qquad \tan \theta \cot \theta = 1
tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \qquad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}
sin⁡2θ+cos⁡2θ=1,1+tan⁡2θ=sec⁡2θ,1+cot⁡2θ=csc⁡2θ\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1, \qquad 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta, \qquad 1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta
sec⁡(−θ)=sec⁡θ,csc⁡(−θ)=−csc⁡θ,cot⁡(−θ)=−cot⁡θ\sec(-\theta) = \sec \theta, \qquad \csc(-\theta) = -\csc \theta, \qquad \cot(-\theta) = -\cot \theta
sec⁡(π2−θ)=csc⁡θ,csc⁡(π2−θ)=sec⁡θ,cot⁡(π2−θ)=tan⁡θ\sec\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \csc \theta, \qquad \csc\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \sec \theta, \qquad \cot\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \tan \theta

Всё читается в точке P(θ)=(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right) из урока о тригонометрических отношениях: четыре остальные функции были определены там как частные её координат, а теорема о симметриях синуса и косинуса, доказанная в том же уроке, даёт отражения точки P(θ)P(\theta) относительно оси xx и относительно прямой y=xy = x. Остальные тождества получаются взятием частных и обратных величин. На рисунке угол острый.

Доказательство

  1. tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ,sec⁡θ=1cos⁡θ,csc⁡θ=1sin⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \quad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}, \quad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \quad \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}

    Тождества обратных величин и частного суть определения тангенса, котангенса, секанса и косеканса: каждая из этих функций определена там, где не обращается в нуль её знаменатель, и в этой области произведение функции на обратную ей величину равно 11. На рисунке синус и косинус являются координатами точки P(θ)P(\theta).

  2. sin⁡2θ+cos⁡2θ=1→sin⁡2θcos⁡2θ+1=1cos⁡2θ,1+cos⁡2θsin⁡2θ=1sin⁡2θ\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \rightarrow \frac{\resaltar{\sin^2 \theta}}{\cos^2 \theta} + 1 = \frac{1}{\resaltar{\cos^2 \theta}}, \quad 1 + \frac{\resaltar{\cos^2 \theta}}{\sin^2 \theta} = \frac{1}{\resaltar{\sin^2 \theta}}

    Точка P(θ)P(\theta) находится на расстоянии 11 от начала координат: это первое пифагорово тождество, доказанное в уроке о тригонометрических отношениях. Там, где cos⁡θ≠0\cos \theta \neq 0, обе его части делятся на cos⁡2θ\cos^2 \theta, а там, где sin⁡θ≠0\sin \theta \neq 0, на sin⁡2θ\sin^2 \theta; по тождествам, доказанным выше, получаются два других.

  3. P(−θ)=(cos⁡θ,−sin⁡θ)\dato{i}{P(-\theta) = \left( \cos \theta, \resaltar{-\sin \theta} \right)}

    Отражение точки P(θ)P(\theta) относительно оси xx есть P(−θ)P(-\theta): по теореме о симметриях косинус чётен, а синус нечётен. В частности, −θ-\theta принадлежит области определения каждой функции ровно тогда, когда ей принадлежит θ\theta, потому что нули синуса и косинуса расположены симметрично.

  4. sec⁡(−θ)=1cos⁡θ=sec⁡θ,csc⁡(−θ)=1−sin⁡θ=−csc⁡θ,cot⁡(−θ)=cos⁡θ−sin⁡θ=−cot⁡θ\sec(-\theta) = \frac{1}{\cos \theta} = \sec \theta, \quad \csc(-\theta) = \frac{1}{\resaltar{-\sin \theta}} = -\csc \theta, \quad \cot(-\theta) = \frac{\cos \theta}{\resaltar{-\sin \theta}} = -\cot \theta

    При взятии обратных величин и частных знак минус появляется у тех функций, выражение которых содержит синус ровно один раз: секанс чётен, а косеканс, тангенс и котангенс нечётны.

  5. P(π2−θ)=(sin⁡θ,cos⁡θ)\dato{c}{P\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \left( \resaltar{\sin \theta}, \resaltar{\cos \theta} \right)}

    Отражение точки P(θ)P(\theta) относительно прямой y=xy = x есть P(π2−θ)P\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right): по теореме о симметриях это отражение меняет местами синус и косинус.

  6. sec⁡(π2−θ)=1sin⁡θ=csc⁡θ,csc⁡(π2−θ)=1cos⁡θ=sec⁡θ,cot⁡(π2−θ)=sin⁡θcos⁡θ=tan⁡θ\sec\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\resaltar{\sin \theta}} = \csc \theta, \quad \csc\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\resaltar{\cos \theta}} = \sec \theta, \quad \cot\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{\resaltar{\sin \theta}}{\resaltar{\cos \theta}} = \tan \theta

    При взятии обратных величин и частных меняются местами также секанс и косеканс, тангенс и котангенс. Области определения соответствуют друг другу: π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta принадлежит области определения секанса тогда и только тогда, когда θ\theta принадлежит области определения косеканса, потому что cos⁡(π2−θ)=sin⁡θ\cos\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \sin \theta, и то же верно для остальных функций.

Шесть функций как отрезки

Названия тангенса и секанса пришли из геометрии: для острого угла это длины отрезков на касательной и на секущей к единичной окружности. Этот классический чертёж собирает на одном рисунке все шесть функций и три пифагоровых тождества.

ТеоремаШесть тригонометрических отношений как отрезки

Пусть 0<θ<π20 < \theta < \frac{\pi}{2}, PP есть точка P(θ)P(\theta) единичной окружности, QQ есть основание перпендикуляра, опущенного из неё на ось xx, A=(1,0)A = (1, 0) и B=(0,1)B = (0, 1). Прямая, содержащая конечную сторону, пересекает вертикальную касательную в точке AA в некоторой точке TT, а горизонтальную касательную в точке BB в некоторой точке SS. Тогда косинус, синус, тангенс, секанс, котангенс и косеканс числа θ\theta суть, соответственно, длины отрезков от OO до QQ, от QQ до PP, от AA до TT, от OO до TT, от BB до SS и от OO до SS; а теорема Пифагора в треугольнике с вершинами OO, AA и TT и в треугольнике с вершинами OO, BB и SS есть, соответственно, второе и третье пифагоровы тождества.

Обойдём рисунок отрезок за отрезком. Инструмент тот же, что в уроке о тригонометрических отношениях раскрыл смысл тангенса: прямая, содержащая конечную сторону, проходит через начало координат и имеет угловой коэффициент tan⁡θ\tan \theta, так что её уравнение есть y=xtan⁡θy = x \tan \theta.

Доказательство

  1. P(θ)=(cos⁡θ,sin⁡θ),Q=(cos⁡θ,0)P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right), \quad Q = \left( \cos \theta, 0 \right)

    По определению координаты точки PP суть косинус и синус; горизонтальный отрезок от OO до QQ имеет длину, равную абсциссе, а вертикальный отрезок от QQ до PP длину, равную ординате, и обе они положительны в первой четверти.

  2. T=(1,tan⁡θ)\dato{t}{T = \left( 1, \tan \theta \right)}

    Касательная к окружности в точке AA есть прямая x=1x = 1. Подставляя x=1x = 1 в уравнение конечной стороны, получаем TT: отрезок от AA до TT, лежащий на касательной, имеет длину tan⁡θ\tan \theta.

  3. T=sec⁡θ⋅(cos⁡θ,sin⁡θ)T = \resaltar{\sec \theta} \cdot \left( \cos \theta, \sin \theta \right)

    Точка TT есть точка P(θ)P(\theta), умноженная на sec⁡θ\sec \theta, потому что sec⁡θcos⁡θ=1\sec \theta \cos \theta = 1. Так как P(θ)P(\theta) находится на расстоянии 11 от начала координат, TT находится на расстоянии sec⁡θ\sec \theta: отрезок от OO до TT, лежащий на секущей, имеет длину, равную секансу.

  4. 12+tan⁡2θ=sec⁡2θ\resaltar{1^2} + \resaltar{\tan^2 \theta} = \resaltar{\sec^2 \theta}

    Треугольник с вершинами OO, AA и TT прямоугольный с прямым углом при AA, с катетами 11 и tan⁡θ\tan \theta и гипотенузой sec⁡θ\sec \theta. Теорема Пифагора в нём есть второе пифагорово тождество.

  5. S=(cot⁡θ,1)=csc⁡θ⋅(cos⁡θ,sin⁡θ)\dato{s}{S = \left( \cot \theta, 1 \right) = \csc \theta \cdot \left( \cos \theta, \sin \theta \right)}

    Касательная в точке BB есть прямая y=1y = 1. Подставляя y=1y = 1 в y=xtan⁡θy = x \tan \theta, получаем x=cot⁡θx = \cot \theta; а так как csc⁡θsin⁡θ=1\csc \theta \sin \theta = 1, точка SS есть P(θ)P(\theta), умноженная на csc⁡θ\csc \theta. Поэтому отрезок от BB до SS имеет длину, равную котангенсу, а отрезок от OO до SS длину, равную косекансу.

  6. 12+cot⁡2θ=csc⁡2θ\resaltar{1^2} + \resaltar{\cot^2 \theta} = \resaltar{\csc^2 \theta}

    Треугольник с вершинами OO, BB и SS прямоугольный с прямым углом при BB, с катетами 11 и cot⁡θ\cot \theta и гипотенузой csc⁡θ\csc \theta: из него вытекает третье пифагорово тождество. Его угол при OO равен π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta, и для этого угла котангенс числа θ\theta есть противолежащий катет: это тангенс дополнительного угла.

На рисунке видно также, что секанс и косеканс острого угла больше 11, потому что они являются гипотенузами треугольников с катетом длины 11, и что тангенс меньше секанса. Первое пифагорово тождество есть точно так же теорема Пифагора в треугольнике с вершинами OO, QQ и PP.