Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Аналитическая тригонометрия: итоги и задачи

Краткое содержание

Этот урок завершает раздел об аналитической тригонометрии. Он собирает в одну дедуктивную цепь то, что доказано в шести его уроках: основные тождества, формулу косинуса разности и все формулы, которые из неё выводятся, преобразование сумм в произведения и гармоническую форму, решение уравнений и неравенств, угол между прямыми и поворот осей, который классифицирует конические сечения. Он объясняет, как эта цепь опирается на предыдущий раздел и на курс «Алгебра и геометрия I», особенно на единичную окружность, полярные координаты, многочлены и конические сечения, и как она готовит очередной раздел, где те же формулы снова появляются как правило умножения комплексных чисел. Урок завершается итоговой проверкой, параллельной входной проверке из введения, и десятью задачами повышенной трудности, более трудными, чем предложенные задачи раздела, которые требуют сочетать несколько уроков.

Цели обучения

  1. Восстанавливать дедуктивную цепь раздела, от формулы косинуса разности до классификации конических сечений по дискриминанту, и указывать на каждом этапе результат, от которого он зависит.
  2. Связывать результаты раздела с результатами предыдущего раздела и курса I о единичной окружности, полярных координатах, многочленах и конических сечениях.
  3. Предвидеть роль формул сложения в умножении комплексных чисел в тригонометрической форме.
  4. Решать задачи, которые сочетают тождества, уравнения, углы между прямыми и повороты, выбирая в каждом случае преобразование, которое делает задачу доступной.

Чего достиг раздел

Раздел начался с того, что был установлен язык. В уроке об основных тригонометрических тождествах тождество было определено как равенство, верное во всей общей области определения обеих его сторон, были собраны тождества обратных величин, частного, пифагоровы тождества, тождества чётности и дополнительных углов, и был установлен метод доказательства: преобразовать одну сторону в другую или обе в одно и то же выражение, не исходя из того, что требуется доказать; одного контрпримера достаточно, чтобы опровергнуть ложное тождество. На этом языке каждая функция была выражена через другую, корни были преобразованы подстановками, а в параметризациях (acos⁡t,bsin⁡t)\left( a \cos t, b \sin t \right) и (asec⁡t,btan⁡t)\left( a \sec t, b \tan t \right) были узнаны эллипс и гипербола.

Решающим стал урок о формулах сложения. Вычисляя двумя способами длину хорды единичной окружности, в декартовых и в полярных координатах, мы доказали, что для всех действительных α\alpha и β\beta выполняется приведённое ниже равенство:

cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

Всё остальное было выведено из него. Из чётности получился косинус суммы; из формул дополнительных углов, синус суммы и разности; из частного, тангенс суммы. Если это так, то, полагая α=β\alpha = \beta, получаем формулы двойного угла; выражая квадрат, формулы понижения степени и половинного угла; складывая ещё раз, формулы тройного угла. Подстановка t=tan⁡θ2t = \tan \frac{\theta}{2} превратила синус и косинус в рациональные дроби от tt, и отсюда последовали рациональная параметризация окружности и формула всех пифагоровых троек.

Урок о преобразовании сумм в произведения прошёл обратный путь: складывая и вычитая формулы сложения, произведения превращают в суммы, а суммы в произведения. Его главный результат состоит в том, что всякая комбинация asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x есть одна волна Rsin⁡(x+φ)R \sin(x + \varphi), где R=a2+b2R = \sqrt{a^2 + b^2}; отсюда следуют её множество значений, [−R,R]\icc{-R}{R}, суперпозиция колебаний одинаковой частоты, биения и, с множителем, который делает сумму телескопической, суммы синусов и косинусов в арифметической прогрессии.

С этими средствами урок о тригонометрических уравнениях и неравенствах смог решить целое семейство задач. Общие решения уравнений sin⁡x=c\sin x = c, cos⁡x=c\cos x = c и tan⁡x=c\tan x = c продолжают по периодичности решения, которые дают обратные функции; остальные уравнения сводятся к ним с помощью тождеств, разложения на множители, равенства двух синусов или двух косинусов и гармонической формы, с двумя постоянными предосторожностями: деление может потерять решения, а возведение в квадрат может их добавить. Неравенства решались на одном обороте, с помощью единичной окружности или таблиц знаков, и продолжались периодически.

Два последних урока перенесли это исчисление в аналитическую геометрию. В уроке об угле между прямыми тангенс разности дал угол между двумя прямыми по их угловым коэффициентам, а скалярное произведение дало вторую формулу, верную и для вертикальных прямых; были найдены биссектрисы и центр вписанной окружности, и были построены модели недоступных высот, гармонического колебания, дальности полёта снарядов и отражения света. Это единственный урок раздела, который принимает что-то без доказательства и заявляет об этом: из евклидовой геометрии, три факта, которые уже принимал курс I (теорему Пифагора, равенство соответственных углов при параллельных и сумму π\pi углов треугольника), а из физики, уравнения гармонического колебания и уравнения движения снаряда. Наконец, в уроке о повороте осей формулы разности описали замену координат при повороте осей; угол, удовлетворяющий условию cot⁡2θ=A−CB\cot 2\theta = \frac{A - C}{B}, исключает член с xyxy, сумма A+CA + C и дискриминант B2−4ACB^2 - 4AC не меняются при повороте, и поэтому знак дискриминанта классифицирует всякое уравнение второй степени.

Всю цепь можно резюмировать так: хорда, вычисленная двумя способами, даёт косинус разности; из него выходят все формулы сложения; из них, преобразования и гармоническая форма; с их помощью решаются уравнения; а решённые уравнения измеряют углы между прямыми и исключают смешанный член конических сечений. Рисунок ниже собирает эту цепь в пять участков, которые идут в порядке абзацев выше: каждый узел столбца есть определение или теорема, пронумерованные в логическом порядке и соединённые дугой с предыдущими звеньями, которые использует их доказательство; вокруг расположены опоры, то есть принципы и средства, к которым цепь обращается снова и снова, и каждая соединена сплошной линией со звеньями, которые на неё опираются, и пунктирной со звеном, где она устанавливается, кроме тех, что принимаются без доказательства или взяты из предыдущего раздела или из курса I: они изображены кольцами. Нажатие на опору выделяет все звенья, которые её используют, а каждое звено ведёт к уроку, где оно доказывается.

Опоры цепи

  • AЕдиничная окружность. Принимается аксиома обхода по длине дуги: для каждого действительного ss существует единственная точка P(s)P(s) единичной окружности, в которую приходят из (1,0)(1, 0), пройдя длину ∣s∣\abs{s}, обходы сцепляются, P(s+2π)=P(s)P(s + 2\pi) = P(s), абсцисса точки P(s)P(s) строго убывает на [0,π]\icc{0}{\pi} и возрастает на [π,2π]\icc{\pi}{2\pi}, и всякая точка окружности есть некоторая P(s)P(s). Из этой аксиомы в разделе о тригонометрических функциях и полярных координатах было доказано, что всякая точка окружности есть P(θ)P(\theta) для единственного θ\theta из [0,2π)\ico{0}{2\pi}, что косинус и синус, координаты точки P(θ)P(\theta), периодичны и удовлетворяют тождествам чётности и дополнительных углов и что они строго монотонны на своих главных промежутках. В этом разделе принимается без доказательства.
  • BОбратные функции. Арксинус, арккосинус и арктангенс дают на своих главных промежутках единственный угол с данным синусом, косинусом или тангенсом; доказано в разделе о тригонометрических функциях и полярных координатах. В этом разделе принимается без доказательства.
  • CПолярные координаты. Точка с полярными координатами (r,φ)(r, \varphi) имеет декартовы координаты x=rcos⁡φx = r \cos \varphi и y=rsin⁡φy = r \sin \varphi, а расстояние между (r1,θ1)(r_1, \theta_1) и (r2,θ2)(r_2, \theta_2) удовлетворяет равенству d2=r12+r22−2r1r2cos⁡(θ1−θ2)d^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos(\theta_1 - \theta_2); доказано в разделе о тригонометрических функциях и полярных координатах. В этом разделе принимается без доказательства.
  • DАналитическая геометрия на плоскости. Формула расстояния, расстояние от точки до прямой, теорема о полуплоскостях, скалярное произведение с неравенством Коши-Шварца и угол между двумя векторами, а также классификация конических сечений с осями, параллельными координатным; доказано в курсе I, в разделе об аналитической геометрии на плоскости, и в уроке о решении треугольников. В этом разделе принимается без доказательства.
  • EАлгебра и арифметика курса I. Разложение многочленов на множители, теорема о множителе и синтетическое деление, таблицы знаков, телескопические суммы и лемма Евклида; доказано в курсе I, в разделах о натуральных числах и об алгебраических функциях и многочленах. В этом разделе принимается без доказательства.
  • FПифагорово тождество. Для всякого θ\theta выполняется sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1, а в своих областях определения, 1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta и 1+cot⁡2θ=csc⁡2θ1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta. Устанавливается в: 2. Основные тождества.
  • GФормулы сложения. Для всех действительных α\alpha и β\beta выполняются cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta и sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta, а также формулы разности, которые получаются заменой β\beta на −β-\beta. Устанавливается в: 6. Формулы сложения.
  • HЕвклидова геометрия. Из евклидовой геометрии принимаются, как в разделе курса I об аналитической геометрии на плоскости, теорема Пифагора и обратная к ней, равенство соответственных углов, образованных секущей с двумя параллельными, и сумма π\pi углов треугольника; из них выводятся равенство вертикальных углов и накрест лежащих углов при параллельных. В этом разделе принимается без доказательства.

  1. Участок 1 Язык: тождества и их доказательство

    • Определять тождество как равенство, верное во всей общей области определения его сторон, и отличать его от уравнения.
    • Собирать тождества обратных величин, частного, пифагоровы тождества, тождества чётности и дополнительных углов.
    • Доказывать тождества, не исходя из того, что требуется доказать, и опровергать ложные контрпримером.
    • Преобразовывать корни подстановками и узнавать эллипс и гиперболу в их тригонометрических параметризациях.

    1. Тождество и его доказательство. Тождество есть равенство, верное во всей общей области определения обеих его сторон; оно доказывается преобразованием одной стороны в другую или обеих в одно и то же выражение, не исходя из него самого, и опровергается одним контрпримером.

      Доказывается в уроке: Основные тригонометрические тождества.

    2. Основные тождества. В общей области определения каждого из них выполняются тождества обратных величин, частного и пифагоровы тождества; синус, тангенс, косеканс и котангенс нечётны, косинус и секанс чётны, и каждая функция от π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta равна своей дополнительной функции от θ\theta.

      Использует: 1. Тождество и его доказательство. Опирается на: A (Единичная окружность). Доказывается в уроке: Основные тригонометрические тождества.

    3. Тригонометрические подстановки. Если θ=arcsin⁡x\theta = \arcsin x, то 1−x2=cos⁡θ\sqrt{1 - x^2} = \cos \theta; если θ=arctan⁡x\theta = \arctan x, то 1+x2=sec⁡θ\sqrt{1 + x^2} = \sec \theta; и если x≥1x \geq 1 и θ=arccos⁡1x\theta = \arccos \frac{1}{x}, то x2−1=tan⁡θ\sqrt{x^2 - 1} = \tan \theta.

      Использует: 2. Основные тождества. Опирается на: F (Пифагорово тождество), B (Обратные функции). Доказывается в уроке: Основные тригонометрические тождества.

    4. Параметрические эллипс и гипербола. Когда tt пробегает [0,2π)\ico{0}{2\pi}, точка (acos⁡t,bsin⁡t)(a \cos t, b \sin t) один раз обходит эллипс x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1; а точка (asec⁡t,btan⁡t)(a \sec t, b \tan t) один раз обходит правую ветвь гиперболы x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, когда tt пробегает (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, и левую, когда пробегает (π2,3π2)\ioo{\frac{\pi}{2}}{\frac{3\pi}{2}}.

      Использует: 2. Основные тождества. Опирается на: A (Единичная окружность), F (Пифагорово тождество). Доказывается в уроке: Основные тригонометрические тождества.

  2. Участок 2 Формула косинуса разности и её следствия

    • Доказывать формулу косинуса разности, вычисляя двумя способами хорду единичной окружности.
    • Выводить из неё косинус и синус суммы и разности и тангенс суммы.
    • Получать формулы двойного угла, понижения степени, половинного угла и тройного угла.
    • Выражать синус и косинус рациональными дробями от t=tan⁡θ2t = \tan \frac{\theta}{2}, рационально параметризовать окружность и порождать все пифагоровы тройки.

    1. Косинус разности. Для всех действительных α\alpha и β\beta выполняется cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta, потому что хорда, соединяющая P(α)P(\alpha) с P(β)P(\beta), имеет одну и ту же длину, вычисленную в декартовых и в полярных координатах.

      Опирается на: C (Полярные координаты), D (Аналитическая геометрия на плоскости), F (Пифагорово тождество). Доказывается в уроке: Формулы сложения, двойного и половинного угла.

    2. Формулы сложения. С помощью чётности и формул дополнительных углов получаются cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta, sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta и синус разности; а если тангенсы α\alpha и β\beta определены и tan⁡αtan⁡β≠1\tan \alpha \tan \beta \neq 1, то tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}.

      Использует: 2. Основные тождества, 5. Косинус разности. Доказывается в уроке: Формулы сложения, двойного и половинного угла.

    3. Двойной угол. Выполняются sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta, cos⁡2θ=cos⁡2θ−sin⁡2θ=2cos⁡2θ−1=1−2sin⁡2θ\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1 = 1 - 2 \sin^2 \theta и, где определено, tan⁡2θ=2tan⁡θ1−tan⁡2θ\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}.

      Опирается на: G (Формулы сложения), F (Пифагорово тождество). Доказывается в уроке: Формулы сложения, двойного и половинного угла.

    4. Понижение степени и половинный угол. Выполняются cos⁡2θ=1+cos⁡2θ2\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} и sin⁡2θ=1−cos⁡2θ2\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}; отсюда синус и косинус от θ2\frac{\theta}{2} суть корни из 1−cos⁡θ2\frac{1 - \cos \theta}{2} и из 1+cos⁡θ2\frac{1 + \cos \theta}{2} со знаком их четверти, и tan⁡θ2=sin⁡θ1+cos⁡θ\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}, если cos⁡θ≠−1\cos \theta \neq -1.

      Использует: 7. Двойной угол. Опирается на: F (Пифагорово тождество). Доказывается в уроке: Формулы сложения, двойного и половинного угла.

    5. Тройной угол. Для всякого действительного θ\theta выполняются cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ\cos 3\theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta и sin⁡3θ=3sin⁡θ−4sin⁡3θ\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta.

      Использует: 7. Двойной угол. Опирается на: F (Пифагорово тождество), G (Формулы сложения). Доказывается в уроке: Формулы сложения, двойного и половинного угла.

    6. Тангенс половинного угла. Если θ\theta не есть нечётное кратное π\pi и t=tan⁡θ2t = \tan \frac{\theta}{2}, то sin⁡θ=2t1+t2\sin \theta = \frac{2t}{1 + t^2} и cos⁡θ=1−t21+t2\cos \theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}.

      Использует: 7. Двойной угол. Опирается на: F (Пифагорово тождество). Доказывается в уроке: Формулы сложения, двойного и половинного угла.

    7. Рациональная параметризация. Прямая с угловым коэффициентом tt, проходящая через (−1,0)(-1, 0), снова пересекает единичную окружность в точке (1−t21+t2,2t1+t2)\left( \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \frac{2t}{1 + t^2} \right); всякая другая точка окружности получается так для единственного tt и рациональна тогда и только тогда, когда рационально tt.

      Использует: 10. Тангенс половинного угла. Опирается на: E (Алгебра и арифметика курса I). Доказывается в уроке: Формулы сложения, двойного и половинного угла.

    8. Пифагоровы тройки. Примитивные пифагоровы тройки с чётным bb суть в точности a=m2−n2a = m^2 - n^2, b=2mnb = 2mn и c=m2+n2c = m^2 + n^2, где m>nm > n, НОД⁡(m,n)=1\operatorname{\text{НОД}}(m, n) = 1 и m−nm - n нечётно.

      Использует: 11. Рациональная параметризация. Опирается на: E (Алгебра и арифметика курса I). Доказывается в уроке: Формулы сложения, двойного и половинного угла.

  3. Участок 3 Преобразования и гармоническая форма

    • Превращать произведения в суммы и суммы в произведения, складывая и вычитая формулы сложения.
    • Записывать всякую комбинацию asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x как одну волну Rsin⁡(x+φ)R \sin(x + \varphi) и находить её множество значений.
    • Складывать колебания одинаковой частоты и объяснять биения.
    • Суммировать синусы и косинусы в арифметической прогрессии с помощью телескопической суммы.

    1. Преобразование произведения в сумму. Выполняется sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β))\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \right), и точно так же cos⁡αsin⁡β\cos \alpha \sin \beta, cos⁡αcos⁡β\cos \alpha \cos \beta и sin⁡αsin⁡β\sin \alpha \sin \beta суть полусуммы или полуразности синусов или косинусов от α+β\alpha + \beta и от α−β\alpha - \beta.

      Опирается на: G (Формулы сложения). Доказывается в уроке: Преобразование сумм в произведения и гармоническая форма.

    2. Преобразование суммы в произведение. Для всех действительных pp и qq выполняется sin⁡p+sin⁡q=2sin⁡p+q2cos⁡p−q2\sin p + \sin q = 2 \sin \frac{p + q}{2} \cos \frac{p - q}{2}, с аналогичными формулами для sin⁡p−sin⁡q\sin p - \sin q, cos⁡p+cos⁡q\cos p + \cos q и cos⁡p−cos⁡q\cos p - \cos q; отсюда следуют биения функции sin⁡(ax)+sin⁡(bx)\sin(ax) + \sin(bx).

      Использует: 13. Преобразование произведения в сумму. Доказывается в уроке: Преобразование сумм в произведения и гармоническая форма.

    3. Гармоническая форма. Если aa и bb не равны нулю одновременно и R=a2+b2R = \sqrt{a^2 + b^2}, то существует единственное φ\varphi из [0,2π)\ico{0}{2\pi}, такое что asin⁡x+bcos⁡x=Rsin⁡(x+φ)a \sin x + b \cos x = R \sin(x + \varphi) для всякого xx; эта форма единственна, и функция имеет множество значений [−R,R]\icc{-R}{R}.

      Опирается на: A (Единичная окружность), D (Аналитическая геометрия на плоскости), F (Пифагорово тождество), G (Формулы сложения). Доказывается в уроке: Преобразование сумм в произведения и гармоническая форма.

    4. Суперпозиция колебаний. Если они не гасят друг друга, колебания A1sin⁡(ωt+φ1)A_1 \sin(\omega t + \varphi_1) и A2sin⁡(ωt+φ2)A_2 \sin(\omega t + \varphi_2) в сумме дают колебание той же частоты, амплитуда которого удовлетворяет равенству A2=A12+A22+2A1A2cos⁡(φ1−φ2)A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos(\varphi_1 - \varphi_2).

      Использует: 5. Косинус разности, 15. Гармоническая форма. Опирается на: F (Пифагорово тождество), G (Формулы сложения). Доказывается в уроке: Преобразование сумм в произведения и гармоническая форма.

    5. Суммы в арифметической прогрессии. Если xx не есть целое кратное 2π2\pi, то выполняется ∑k=1nsin⁡(kx)=sin⁡nx2sin⁡(n+1)x2sin⁡x2\sum_{k=1}^{n} \sin(kx) = \frac{\sin \frac{nx}{2} \sin \frac{(n + 1)x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}, а сумма косинусов получается с cos⁡(n+1)x2\cos \frac{(n + 1)x}{2} вместо sin⁡(n+1)x2\sin \frac{(n + 1)x}{2}.

      Использует: 13. Преобразование произведения в сумму, 14. Преобразование суммы в произведение. Опирается на: E (Алгебра и арифметика курса I). Доказывается в уроке: Преобразование сумм в произведения и гармоническая форма.

  4. Участок 4 Уравнения и неравенства

    • Получать общие решения уравнений sin⁡x=c\sin x = c, cos⁡x=c\cos x = c и tan⁡x=c\tan x = c с помощью обратных функций и периодичности.
    • Сводить остальные уравнения к простейшим с помощью тождеств, разложения на множители, равенства двух синусов или двух косинусов и гармонической формы.
    • Не терять решения при делении и не добавлять их при возведении в квадрат.
    • Решать неравенства на одном обороте, с помощью единичной окружности или таблиц знаков, и продолжать их решения периодически.

    1. Общие решения. Если ∣c∣≤1\abs{c} \leq 1, то решения уравнения sin⁡x=c\sin x = c суть arcsin⁡c+2kπ\arcsin c + 2k\pi и π−arcsin⁡c+2kπ\pi - \arcsin c + 2k\pi, а уравнения cos⁡x=c\cos x = c суть arccos⁡c+2kπ\arccos c + 2k\pi и −arccos⁡c+2kπ-\arccos c + 2k\pi; для всякого действительного cc решения уравнения tan⁡x=c\tan x = c суть arctan⁡c+kπ\arctan c + k\pi, где kk целое.

      Использует: 2. Основные тождества. Опирается на: A (Единичная окружность), B (Обратные функции). Доказывается в уроке: Тригонометрические уравнения и неравенства.

    2. Равенство синусов и косинусов. Равенство sin⁡A=sin⁡B\sin A = \sin B выполняется тогда и только тогда, когда A=B+2kπA = B + 2k\pi или A=π−B+2kπA = \pi - B + 2k\pi, а cos⁡A=cos⁡B\cos A = \cos B тогда и только тогда, когда A=B+2kπA = B + 2k\pi или A=−B+2kπA = -B + 2k\pi, для некоторого целого kk; два определённых тангенса равны тогда и только тогда, когда A=B+kπA = B + k\pi.

      Использует: 14. Преобразование суммы в произведение. Опирается на: A (Единичная окружность), G (Формулы сложения). Доказывается в уроке: Тригонометрические уравнения и неравенства.

    3. Алгебраические и однородные уравнения. Уравнение P(sin⁡x)=0P(\sin x) = 0 равносильно уравнениям sin⁡x=r\sin x = r для действительных корней rr многочлена PP; однородное уравнение относительно sin⁡x\sin x и cos⁡x\cos x сводится к алгебраическому относительно tan⁡x\tan x, если отдельно рассмотреть нули косинуса; и всякое решение, полученное при возведении в квадрат, нужно подставить в исходное уравнение.

      Использует: 18. Общие решения. Опирается на: E (Алгебра и арифметика курса I). Доказывается в уроке: Тригонометрические уравнения и неравенства.

    4. Уравнение, линейное относительно синуса и косинуса. Уравнение asin⁡x+bcos⁡x=ca \sin x + b \cos x = c имеет решение тогда и только тогда, когда c2≤a2+b2c^2 \leq a^2 + b^2, и тогда его решения суть −φ+arcsin⁡cR+2kπ-\varphi + \arcsin \frac{c}{R} + 2k\pi и π−φ−arcsin⁡cR+2kπ\pi - \varphi - \arcsin \frac{c}{R} + 2k\pi, где RR и φ\varphi взяты из гармонической формы.

      Использует: 15. Гармоническая форма, 18. Общие решения. Доказывается в уроке: Тригонометрические уравнения и неравенства.

    5. Неравенства. Если −1<c<1-1 < c < 1 и β=arccos⁡c\beta = \arccos c, то cos⁡x>c\cos x > c тогда и только тогда, когда −β+2kπ<x<β+2kπ-\beta + 2k\pi < x < \beta + 2k\pi для некоторого целого kk, и аналогичное верно для синуса; произведения и частные тригонометрических множителей решаются с помощью таблицы знаков на одном обороте.

      Использует: 18. Общие решения. Опирается на: A (Единичная окружность), B (Обратные функции), E (Алгебра и арифметика курса I). Доказывается в уроке: Тригонометрические уравнения и неравенства.

  5. Участок 5 Аналитическая геометрия: прямые и конические сечения

    • Измерять угол между двумя прямыми с помощью тангенса разности и скалярного произведения.
    • Находить биссектрисы двух прямых и центр вписанной окружности треугольника.
    • Строить модели недоступных высот, гармонического колебания, дальности полёта снаряда и отражения света.
    • Выводить формулы поворота, исключать член с xyxy и классифицировать всякое уравнение второй степени по знаку дискриминанта.

    1. Угол между прямыми. Угловой коэффициент невертикальной прямой есть тангенс её угла наклона; две прямые с угловыми коэффициентами m1m_1 и m2m_2 перпендикулярны тогда и только тогда, когда 1+m1m2=01 + m_1 m_2 = 0, а если нет, то угол θ\theta между ними удовлетворяет равенству tan⁡θ=∣m2−m11+m1m2∣\tan \theta = \abs{\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}}, в согласии с формулой скалярного произведения их направляющих векторов.

      Использует: 5. Косинус разности, 6. Формулы сложения. Опирается на: B (Обратные функции), D (Аналитическая геометрия на плоскости), F (Пифагорово тождество), H (Евклидова геометрия). Доказывается в уроке: Угол между двумя прямыми и приложения тригонометрии.

    2. Биссектрисы и центр вписанной окружности. Точки, равноудалённые от двух пересекающихся прямых, образуют две взаимно перпендикулярные прямые, биссектрисы, каждая из которых делит пополам свою пару вертикальных углов; а три биссектрисы внутренних углов треугольника, каждая из которых пересекает противолежащую сторону, пересекаются во внутренней точке, центре вписанной окружности.

      Использует: 8. Понижение степени и половинный угол. Опирается на: D (Аналитическая геометрия на плоскости), H (Евклидова геометрия). Доказывается в уроке: Угол между двумя прямыми и приложения тригонометрии.

    3. Дальность полёта снаряда. Если принять из физики уравнения движения, которые сочетают равномерное горизонтальное перемещение с равноускоренным падением, то дальность полёта снаряда, брошенного со скоростью vv под углом возвышения θ\theta, равна v2sin⁡2θg\frac{v^2 \sin 2\theta}{g}; она максимальна при θ=π4\theta = \frac{\pi}{4}, и каждая меньшая дальность достигается ровно при двух углах, которые дополняют друг друга до прямого.

      Использует: 18. Общие решения, 7. Двойной угол. Доказывается в уроке: Угол между двумя прямыми и приложения тригонометрии.

    4. Формулы поворота. Если оси повернуть на угол θ\theta, то новые координаты суть X=xcos⁡θ+ysin⁡θX = x \cos \theta + y \sin \theta и Y=−xsin⁡θ+ycos⁡θY = -x \sin \theta + y \cos \theta, и расстояние между двумя точками не меняется.

      Опирается на: A (Единичная окружность), C (Полярные координаты), F (Пифагорово тождество), G (Формулы сложения). Доказывается в уроке: Поворот осей и общее уравнение второй степени.

    5. Коэффициенты после поворота. При повороте осей уравнение Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 сохраняет свободный член, а его новый коэффициент при XYXY равен B1=Bcos⁡2θ−(A−C)sin⁡2θB_1 = B \cos 2\theta - (A - C) \sin 2\theta.

      Использует: 26. Формулы поворота, 7. Двойной угол. Доказывается в уроке: Поворот осей и общее уравнение второй степени.

    6. Исключение члена с xy. Если B≠0B \neq 0, то существует единственный угол θ\theta из (0,π2)\ioo{0}{\frac{\pi}{2}}, поворот на который обращает в нуль B1B_1: тот, что удовлетворяет условию cot⁡2θ=A−CB\cot 2\theta = \frac{A - C}{B}.

      Использует: 27. Коэффициенты после поворота. Опирается на: B (Обратные функции). Доказывается в уроке: Поворот осей и общее уравнение второй степени.

    7. Инварианты поворота. Для всякого угла поворота выполняются A1+C1=A+CA_1 + C_1 = A + C и B12−4A1C1=B2−4ACB_1^2 - 4A_1C_1 = B^2 - 4AC.

      Использует: 27. Коэффициенты после поворота, 7. Двойной угол. Опирается на: F (Пифагорово тождество). Доказывается в уроке: Поворот осей и общее уравнение второй степени.

    8. Классификация по дискриминанту. Если AA, BB и CC не все равны нулю и Δ=B2−4AC\Delta = B^2 - 4AC, то уравнение задаёт эллипс, точку или пустое множество, если Δ<0\Delta < 0; параболу, две параллельные прямые, одну прямую или пустое множество, если Δ=0\Delta = 0; и гиперболу или две пересекающиеся прямые, если Δ>0\Delta > 0.

      Использует: 26. Формулы поворота, 28. Исключение члена с xy, 29. Инварианты поворота. Опирается на: D (Аналитическая геометрия на плоскости). Доказывается в уроке: Поворот осей и общее уравнение второй степени.

К комплексным числам в тригонометрической форме. При умножении cos⁡α+isin⁡α\cos \alpha + i \sin \alpha на cos⁡β+isin⁡β\cos \beta + i \sin \beta появляются косинус и синус от α+β\alpha + \beta: формулы сложения суть правило умножения комплексных чисел, и очередной раздел объединяет их в одну, формулу Муавра.