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Topos Uranos
Português

Teoremas e demonstrações

Resumo

Esta aula ensina a compor enunciados e demonstrações como ambientes declarados, e não como negritos escritos à mão. Explica o que se ganha ao declará-los (numeração, remissão, coerência e um estilo que se muda em uma linha); apresenta o pacote amsthm e seu comando \newtheorem, com a forma sem número, o contador compartilhado em oposição aos contadores separados e a numeração dentro da seção ou do capítulo, e deduz que numeração convém a um artigo e qual a um livro; distingue os três estilos de \theoremstyle segundo a função do enunciado; mostra o argumento opcional que dá nome ou atribuição a um resultado; estuda o ambiente proof, seu cabeçalho em português, seu símbolo final e o defeito que \qedhere corrige; ensina a remeter aos enunciados com o cleveref e comprova o que ele escreve quando não se lhe declara o nome, incluído um comportamento do contador compartilhado que convém conhecer; apresenta brevemente \newtheoremstyle e o thmtools; mostra o uso desses ambientes fora da matemática; e termina com os erros típicos e seus registros.

Objetivos de aprendizagem

  1. Declarar teoremas, lemas, definições e observações com \newtheorem e \theoremstyle, escolhendo o estilo pela função do enunciado.
  2. Escolher entre contador compartilhado e contadores separados, e entre numeração corrida ou por seção, e prever os números que resultam.
  3. Escrever demonstrações com proof, dar-lhes um cabeçalho próprio e colocar o símbolo final em seu lugar com \qedhere quando terminam em uma fórmula destacada ou em uma lista.
  4. Remeter aos enunciados com \cref, ordenar o preâmbulo para que o cleveref os nomeie corretamente e diagnosticar as referências que imprimem “??” ou um nome equivocado.
  5. Interpretar os registros dos erros típicos ao declarar enunciados e corrigir sua causa.

Por que declarar os enunciados

Um texto demonstrativo articula-se em enunciados de funções distintas: uma definição fixa o sentido de um termo, um teorema afirma algo que será demonstrado, um lema prepara um teorema, um corolário decorre dele, uma observação comenta sem afirmar nada de novo. A tradição tipográfica os distingue pelo cabeçalho, “Teorema 3.”, pelo número, que permite citá-los, e pelo aspecto. Nada impede imitar tudo isso à mão, com um negrito e um número escrito pelo autor.

Código LaTeX
\textbf{Teorema 2.} \emph{Todo número primo maior que 2 é ímpar.}​\textbf{Lema 3.} \emph{Se $n$ é par, $n^2$ é par.}

O resultado impresso pode ser idêntico ao de um ambiente declarado; o defeito está no código-fonte, e é o mesmo que a aula de referências cruzadas e a de macros e preâmbulo próprio apontaram em outros objetos. Se isso é assim, seguem-se daí quatro perdas. O número, escrito à mão, deixa de ser verdadeiro ao primeiro enunciado que se insere. Não há onde pôr um rótulo, de modo que a remissão volta a ser um número escrito à mão. O aspecto depende da memória do autor, e basta um esquecimento para que um teorema saia em redondo. E, se uma revista pede os enunciados em outra letra, é preciso corrigir cada um. Declarar um ambiente teorema nomeia a função, e sua definição, escrita uma vez no preâmbulo, fixa o número, o cabeçalho e o aspecto.