電気フラックスとガウスの法則

静電気学において、電場を「ゼロから」計算することは、電荷分布の幾何学が単純でない場合、非常に計算コストが高くなることがあります。電気フラックスとガウスの法則は、より知的な道筋を提供します。すなわち、終わりのない積分と格闘する代わりに、適切な閉曲面を選び、系の対称性を活用することで、明快で検証可能な結果を得ることができます。実際には、これは手順の削減、誤りの減少、そして自分が何をしているのかに対する概念的な制御の向上につながります。「手順は知っている」という段階から「方法を理解している」という段階へ進みたいのであれば、ここでガウスが、重そうに見える問題をどのように直接的な解へと変換するのか、そして本当に使用する価値があるのはどのような場合なのかを確認することができます。

学習目標

1. 説明する：電場に対するガウスの法則の働きを説明する。
2. 利用する：直交座標系、円筒座標系、球座標系の対称性を活用して、ガウスの法則により電場を計算する。
3. 関連付ける：発散定理を用いて積分形と微分形を結び付け、各項が何を表しているかを特定する。
4. 対比する：ガウスのアプローチとクーロン積分による直接計算を比較し、いつ計算の複雑さを低減し、いつ閉じた形の解を与えないのかを説明する。

内容索引:
静電気学の解法
電場の力線
力線の密度とその表現に関する注記
電場フラックス
ガウスの法則
球対称性をもつ問題
さらなる対称性
円筒対称性および平面対称性をもつ問題

静電気学の解法

これまでに確認した内容から分かるように、電場要素の形とその空間分布を知るだけで、全電場を決定することができます。体積電荷分布を考える場合には、次のようになります。

\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \int_V d\vec{E}(\vec{r})= \int_V \frac{\rho(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0}\frac{\vec{r}-\vec{r}^\prime}{\|\vec{r}-\vec{r}^\prime\|^3}dV

ここで \rho(\vec{r}^\prime) は体積電荷密度を表します。表面電荷密度または線電荷密度を持つ場合には、それぞれ \rho を \sigma または \lambda に置き換えます。この時点以降、電場を求められるかどうかを決定するのは、その積分を解けるかどうかに依存します。

問題の設定自体は通常は直接的ですが、遅かれ早かれ、その評価が必ずしも容易ではないことに気付くでしょう。実際、静電気学の研究の大きな部分は、不必要に複雑な積分計算を回避するための戦略を構築することにあります。これらの簡略化の多くはベクトル解析、とりわけ発散の利用に由来しています。

電場の力線

ベクトル解析を導入する前に、静電気学の理解をより直感的にするいくつかの考え方を提示します。ここで扱うのが 電場の力線 です。

まず最も単純な場合から始めましょう。座標原点に位置する点電荷が作る電場です。これは次の形をとります。

\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{\|\vec{r}\|^2}\hat{r}

これにより、空間中の電場を、それぞれの点における電場の向きと強さを表す「矢印」の集合として表現することができます。

電場の強さは原点からの距離の二乗に反比例して減衰するため、原点から離れるにつれてベクトルは次第に小さくなります。また、それらは電荷から外向きに放射状に向いています。

この表現は有用ですが、さらに情報量の多い別の表現があります。それは、「連続した矢印をつなぐ」ことで線の場を形成する方法です。この場合、電場の強さを示すのは矢印の長さではなく、図における「力線の密度」となります。

力線の密度とその表現に関する注記

先に進む前に、電場の力線図に関する一つの点に注意しておく必要があります。この種の表現は、平面（2D）に描かれる場合、必ずしも完全に忠実ではありません。2次元の図において、半径 r の円を考えると、力線の総数は円周上に分配されるため、線密度は

\displaystyle \frac{n}{2\pi r}

となります。これは r に対して減衰し、電場の強度が従うと期待される r^2 に対する減衰とは一致しません。しかし、このモデルを三次元（ハリネズミのような形）として解釈すると、力線の総数は球の表面積で割られることになり、

\displaystyle \frac{n}{4\pi r^2}

となり、これは確かに r^2 に対して減衰します。言い換えれば、力線の表現は通常2次元で行われますが、実際に要約しようとしているのは3次元の状況です。単に三次元で描くための紙がないため、3Dで伝えたい内容を2Dで表現しているにすぎません。

電場フラックス

ある表面を横切る電場の力線の数を問うとき、その答えは、その表面における電場のフラックスによって与えられます。したがって、電場 \vec{E} の、表面 S に関する電気フラックスは次のように定義されます。

\Phi_{\vec{E},S} =\displaystyle \int_S \vec{E}\cdot d\vec{S}

「ある表面を横切る電場の力線の数」という直感的な概念に惑わされてはいけません。その力線の数（あるいは力線密度）は、電場の強度を表現するための一つの方法にすぎません。したがって、ここで計算される電気フラックスは、表面 S を通過する電場の強度に対応するスカラー量です。

ガウスの法則

電場の強度が電荷に比例するのであれば、ある電荷を包み込む表面における電気フラックスは、包まれた電荷量に比例する量として表せるはずです。実際、そのようになることは容易に示すことができます。次の図を考えてみましょう。

これより、次が成り立ちます。

\begin{array}{rl} \displaystyle \oint_S \vec{E}\cdot d\vec{S} &= \displaystyle \oint_S \left(\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_{enc}}{\|\vec{r}\|^2}\hat{r} \right)\cdot d\vec{S} \\ \\ & = \displaystyle \frac{q_{enc}}{4\pi\epsilon_0} \oint_S \frac{\hat{r}}{\|\vec{r}\|^2}\cdot d\vec{S} \\ \\ & = \displaystyle \frac{q_{enc}}{4\pi\epsilon_0} \underbrace{\oint_S d{\Omega}}_{= 4\pi} = \frac{q_{enc}}{\epsilon_0} \end{array}

要約すると、次を得ます。

\displaystyle\color{blue}{\oint_S \vec{E}\cdot d\vec{S} = \frac{q_{enc}}{\epsilon_0}}

これは 電場に対するガウスの法則の積分形 であり、閉曲面を通過する電気フラックスと包まれた電荷との比例関係を示しています。ここでは「積分形」で提示していますが、ベクトル解析の文脈においてガウスの発散定理を用いることで得られる微分形も存在することを強調するためです。

 

発散定理を適用すると、閉曲面 S における電場のフラックスについて次を得ます。

\displaystyle \oint_S\vec{E}\cdot d\vec{S} = \int_V (\vec{\nabla}\cdot\vec{E})dV = \frac{q_{enc}}{\epsilon_0}

一方で、次も成り立ちます。

\displaystyle \frac{q_{enc}}{\epsilon_0} = \int_V \frac{\rho}{\epsilon_0} dV

これら二つの式から、最終的に次を得ます。

\displaystyle \color{blue}{\vec{\nabla}\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}}

これは 電場に対するガウスの法則の微分形 です。

これにより、ガウスの法則を用いて問題に内在する幾何学的対称性を有効に活用し、電場へと至る積分計算を大幅に簡略化することができます。

球対称性をもつ問題

1. 一様な表面電荷密度 \sigma をもつ半径 R の球面について、中心から距離 z における電場を求めよ。z\lt R の場合と z\geq R の場合の両方を解析せよ。
2. 前問と同様の解析を行うが、今回は一様な体積電荷密度 \rho をもつ一様に帯電した実体球を考える。その後、\|\vec{E}\| を z の関数としてグラフ化せよ。
3. 座標原点から距離 r における電場が \vec{E}=kr^2\hat{r}（k は定数）で与えられているとする。この電場に対応する電荷密度 \rho を求めよ。

さらなる対称性

ガウスの法則は常に成り立ちますが、常に有用であるとは限りません。前の例において、もし \rho が一様でなかった場合、球対称性が存在しなかった場合、あるいはガウス面として別の形状を選んだ場合でも、電気フラックスが q_{enc}/\epsilon_0 であること自体は依然として正しいですが、電場は必ずしも一定である必要はなく、要素 d\vec{S} と同じ方向を向く必要もありません。これらの条件が満たされない場合、\|\vec{E}\| を積分の外に取り出すことはできません。

問題解決においてガウスの法則を適用する際、対称性は決定的に重要です。

利用可能な対称性には多くの種類がありますが、その中でも次の三つが最も頻繁に現れます。

1. 球対称性： ガウス面は同心球である。
2. 円筒対称性： ガウス面は同軸円筒である。
3. 平面対称性： ガウス面は直方体の箱である。

円筒対称性および平面対称性をもつ問題

1. 円筒状の導線を考えよ。半径 R をもち、無限に長く、直線的で、次の形の電荷密度 \rho をもつとする。

   \rho(r) = \left\{\begin{array}{lll} kr & ; & r\lt R \\ \\ 0 & ; & R\lt r \\ \\ \end{array}\right.

   ここで k は定数である。円筒の内部における電場を求めよ。

2. 電場を求めよ。一様な表面電荷密度 \sigma をもつ無限平面が生成する電場を求めよ。