Forme générale et canonique des paraboles

Dans le cours précédent, nous avons vu que les paraboles peuvent être exprimées algébriquement à travers l’équation générale des paraboles comme suit.

(x-x_0)^2 =4f(y-y_0)

Où le couple (x_0,y_0) représente la position du sommet et f est la distance focale. Si f \gt 0, alors le foyer est à une distance f au-dessus du sommet, et si f\lt 0, alors le foyer est à une distance f en dessous du sommet.

Nous avons également vu que l’équation des paraboles, lorsqu’elle est ramenée à sa forme canonique, est équivalente à un polynôme de degré 2.

y(x) = ax^2 + bx + c, avec a\neq 0

Caractériser une parabole consiste à révéler les informations suivantes :

• Les coordonnées du sommet
• Les coordonnées du foyer
• L’équation de la directrice
• L’équation de l’axe de symétrie
• Les intersections avec l’axe des abscisses (s’il en existe)
• Enfin, construire une esquisse du graphique avec les informations collectées.

Caractérisation des Paraboles à partir de l’Équation Générale

Si vous avez la parabole décrite par l’équation générale, alors vous avez déjà presque toutes les informations nécessaires pour compléter la caractérisation, seules les intersections avec l’axe des abscisses nécessiteront une analyse supplémentaire.

(x-x_0)^2 =4f(y-y_0)

De là, vous obtenez :

• Sommet : Le point de coordonnées (x_0,y_0)
• Position focale : à f unités au-dessus du sommet
• Foyer : le point de coordonnées (x_0,y_0 + f)
• Directrice : la droite d’équation y= y_0 - f
• L’axe de symétrie : la droite d’équation x= x_0

Pour trouver les intersections avec l’axe des abscisses, vous devrez transformer l’équation générale en forme canonique, égaler le polynôme de second degré résultant à zéro. Si des solutions existent, elles seront les intersections avec l’axe des abscisses.

Caractérisation des Paraboles à partir de l’Équation Canonique

Lorsque l’équation des paraboles est présentée sous forme canonique, vous avez deux possibilités : 1) Caractériser en transformant en équation générale ou 2) En utilisant la symétrie et les intersections avec l’axe des abscisses. Les deux méthodes ont leurs vertus. La seconde est généralement plus rapide, mais les paraboles ne coupent pas toujours l’axe des abscisses, la première est plus laborieuse mais, comme nous le verrons plus tard, est facile à automatiser. Nous examinerons les deux alternatives afin que vous puissiez choisir, selon vos préférences et vos besoins, quelle voie suivre.

Transformer en équation générale

La transformation en forme générale se fait selon le raisonnement suivant, où a,b,c\in\mathbb{R} et a\neq 0.

À partir de cela, nous pouvons extraire toutes les informations que nous avions de l’équation générale en reliant ses paramètres à ceux de l’équation canonique, nous avons donc :

• Sommet : Le point de coordonnées (x_0,y_0) = \left(-\dfrac{b}{2a}, c -\dfrac{b^2}{4a} \right)
• Position focale : à f = \dfrac{1}{4a} unités au-dessus du sommet
• Foyer : le point de coordonnées (x_0,y_0 + f) = \left(-\dfrac{b}{2a}, c -\dfrac{b^2}{4a} + \dfrac{1}{4a}\right) =\left(-\dfrac{b}{2a}, c +\dfrac{1-b^2}{4a}\right)
• Directrice : la droite d’équation y=y_0 - f= c -\dfrac{b^2}{4a} - \dfrac{1}{4a} = c -\dfrac{1 + b^2}{4a}
• L’axe de symétrie : la droite d’équation x= x_0 = -\dfrac{b}{2a}

Et à partir de là, la caractérisation des paraboles se fait comme nous l’avons déjà vu en utilisant l’équation générale.

Utiliser la symétrie et les intersections avec l’axe des abscisses

Lorsque nous avons l’équation des paraboles écrite sous forme canonique y=ax^2 + bx+c, il est relativement simple de calculer ses intersections avec l’axe des abscisses, il suffit de résoudre l’équation suivante :

ax^2 + bx + c = 0

Quand cela est possible, nous obtenons les intersections x_1 et x_2 données par

x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Comme les paraboles sont symétriques, l’axe de symétrie aura l’équation suivante :

x = x_0 = \dfrac{x_1 + x_2}{2}= -\dfrac{b}{2a}

L’axe de symétrie passe nécessairement par le sommet de la parabole, dont les coordonnées sont :

(x_0, y_0) = (x_0, y(x_0)) = \left( -\dfrac{b}{2a}, y\left(-\dfrac{b}{2a}\right) \right)

Où

y_0 = y\left(-\dfrac{b}{2a} \right) = a\left(-\dfrac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\dfrac{b}{2a}\right) + c = \dfrac{b^2}{4a} - \dfrac{b^2}{2a} + c = c - \dfrac{b^2}{4a}

C’est ainsi que nous obtenons les coordonnées du sommet que nous connaissions déjà par d’autres méthodes :

(x_0, y_0) = \left( -\dfrac{b}{2a},c - \dfrac{b^2}{4a} \right)

La position focale est, comme nous l’avons déjà vu, f=\dfrac{1}{4a}, et à partir de cela, nous pouvons calculer la position de la directrice, du foyer et toutes les informations que nous avions déjà à partir de l’équation générale.

Caractérisation automatique avec Excel

Après avoir effectué tous ces raisonnements, il est maintenant très simple d’automatiser la caractérisation de toute parabole via Excel. Vous pouvez trouver un exemple ici.