परवलयों का सामान्य और मानक रूप

पिछली कक्षा में हमने देखा कि परवलय गणितीय रूप से सामान्य समीकरण द्वारा व्यक्त की जा सकती है।

(x-x_0)^2 =4f(y-y_0)

जहां युग्म (x_0,y_0) वर्टेक्स की स्थिति है और f फोकल दूरी है। यदि f \gt 0 है, तो फोकस वर्टेक्स से f दूरी पर होता है, और यदि f \lt 0 है, तो फोकस वर्टेक्स के नीचे f दूरी पर होता है।

हमने यह भी देखा कि परवलयों का समीकरण मानक रूप में द्वितीय श्रेणी के बहुपद के बराबर है।

y(x) = ax^2 + bx + c, जहां a \neq 0

एक परवलय की विशेषता निम्नलिखित जानकारी को उजागर करने में है।

• वर्टेक्स के निर्देशांक
• फोकस के निर्देशांक
• निर्देशांक रेखा की समीकरण
• समरूपता धुरी की समीकरण
• x-अक्ष के कटाव (यदि मौजूद हों)
• अंत में, एक स्केच बनाएं एकत्रित जानकारी के आधार पर।

सामान्य समीकरण से परवलयों की विशेषताएँ

यदि आपके पास सामान्य समीकरण द्वारा परवलय वर्णित है, तो आपके पास पहले से ही अधिकांश जानकारी है, केवल x-अक्ष के कटाव को अतिरिक्त विश्लेषण की आवश्यकता होगी।

(x-x_0)^2 =4f(y-y_0)

यहां से आपके पास है:

• वर्टेक्स: निर्देशांक बिंदु (x_0,y_0)
• फोकस की स्थिति: वर्टेक्स के ऊपर f इकाइयों पर
• फोकस: निर्देशांक बिंदु (x_0,y_0 + f)
• निर्देशांक रेखा: समीकरण y = y_0 - f
• समरूपता धुरी: समीकरण x = x_0

x-अक्ष के कटाव खोजने के लिए, आपको सामान्य समीकरण को मानक रूप में बदलना होगा, और द्वितीय श्रेणी के बहुपद को शून्य के बराबर करना होगा। यदि समाधान मौजूद हैं, तो वे x-अक्ष के कटाव होंगे।

मानक समीकरण से परवलयों की विशेषताएँ

जब परवलय का समीकरण मानक रूप में प्रस्तुत किया जाता है, तो आपके पास दो विकल्प होते हैं: 1) सामान्य समीकरण में बदलें या 2) समरूपता और x-अक्ष के कटाव का उपयोग करें। दोनों विधियों की अपनी विशेषताएँ हैं। दूसरा आम तौर पर तेज़ होता है, लेकिन परवलय हमेशा x-अक्ष को नहीं काटता, पहला अधिक जटिल है, लेकिन जैसा कि हम बाद में देखेंगे, इसे स्वचालित करना सरल है। हम दोनों विकल्पों की जांच करेंगे ताकि आप अपनी प्राथमिकताओं और आवश्यकताओं के अनुसार निर्णय ले सकें।

सामान्य समीकरण में परिवर्तित करना

सामान्य रूप में परिवर्तन निम्नलिखित तर्क द्वारा किया जाता है, जहां a,b,c\in\mathbb{R} और a \neq 0.

इससे हम सामान्य समीकरण से मिली जानकारी को मानक समीकरण के साथ जोड़कर सभी आवश्यक जानकारी निकाल सकते हैं, और परिणामस्वरूप हमें मिलता है:

• वर्टेक्स: निर्देशांक बिंदु (x_0,y_0) = \left(-\dfrac{b}{2a}, c - \dfrac{b^2}{4a}\right)
• फोकस की स्थिति: वर्टेक्स से ऊपर f = \dfrac{1}{4a} इकाइयों पर
• फोकस: निर्देशांक बिंदु (x_0,y_0 + f) = \left(-\dfrac{b}{2a}, c - \dfrac{b^2}{4a} + \dfrac{1}{4a}\right)
• निर्देशांक रेखा: समीकरण y = y_0 - f = c - \dfrac{b^2}{4a} - \dfrac{1}{4a}
• समरूपता धुरी: समीकरण x = x_0 = - \dfrac{b}{2a}

और यहां से, परवलय की विशेषता सामान्य समीकरण का उपयोग करके उसी तरह से की जाती है जैसा हमने पहले देखा था।

समरूपता और x-अक्ष के कटाव का उपयोग करना

जब हमारे पास परवलय का समीकरण मानक रूप y = ax^2 + bx + c में होता है, तो x-अक्ष के कटाव की गणना करना अपेक्षाकृत सरल होता है। इसे हल करने के लिए बस समीकरण हल करें

ax^2 + bx + c = 0

जब ऐसा करना संभव हो, हमें x_1 और x_2 कटाव मिलते हैं, जो दिए गए हैं

x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

चूंकि परवलय समरूप होते हैं, समरूपता धुरी की समीकरण होगी:

x = x_0 = \dfrac{x_1 + x_2}{2} = -\dfrac{b}{2a}

समरूपता धुरी अनिवार्य रूप से परवलय के वर्टेक्स से होकर गुजरती है, जिसके निर्देशांक होंगे:

(x_0, y_0) = \left( -\dfrac{b}{2a}, y(x_0) \right)

जहां

y_0 = y\left(-\dfrac{b}{2a}\right) = a\left(-\dfrac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\dfrac{b}{2a}\right) + c = c - \dfrac{b^2}{4a}

इस प्रकार, हम वर्टेक्स के उन निर्देशांकों पर पहुंचते हैं जिन्हें हमने अन्य तरीकों से भी पहले ही जान लिया था:

(x_0, y_0) = \left( -\dfrac{b}{2a}, c - \dfrac{b^2}{4a} \right)

फोकस की स्थिति, जैसा कि हमने देखा, f = \dfrac{1}{4a} है, और इससे हम निर्देशांक रेखा, फोकस, और सभी जानकारी की गणना कर सकते हैं जो हमें सामान्य समीकरण से मिली थी।

Excel द्वारा स्वचालित विश्लेषण

इन सभी तर्कों को पूरा करने के बाद, अब किसी भी परवलय की विशेषता को स्वचालित रूप से Excel का उपयोग करके करना बहुत आसान है। आप एक उदाहरण यहां देख सकते हैं।