Характеристика Парабол и их Графиков
Резюме:
В этом уроке мы рассмотрим характеристику парабол на основе их общего уравнения и канонической формы, объясняя, как определить ключевые элементы, такие как вершина, фокус, директриса, ось симметрии и возможные пересечения с осью X.
Цели обучения:
По окончании этого урока студент будет способен
- Вычислить положение вершины, фокуса и директрисы параболы на основе ее общей и канонической формы.
- Преобразовать каноническое уравнение в общую форму для извлечения геометрической информации.
- Схематизировать график параболы с полученной информацией.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Общая и каноническая форма парабол
Характеристика Парабол из Общего Уравнения
Характеристика Парабол из Канонического Уравнения
Автоматическая характеристика с помощью Excel
Общая и каноническая форма парабол
На предыдущем уроке мы видели, что параболы можно выразить алгебраически через общее уравнение парабол как.
(x-x_0)^2 =4f(y-y_0)
Где пара (x_0,y_0) является положением вершины, а f — фокусное расстояние. Если f \gt 0, то фокус находится на расстоянии f над вершиной, а если f\lt 0, то фокус будет на расстоянии f под вершиной.
Также мы видели, что уравнение парабол, приведенное к канонической форме, эквивалентно многочлену второй степени.
y(x) = ax^2 + bx + c, где a\neq 0
Характеристика параболы заключается в выявлении следующей информации.
- Координаты вершины
- Координаты фокуса
- Уравнение директрисы
- Уравнение оси симметрии
- Пересечения с осью X (если они существуют)
- Наконец, построение эскиза графика с собранной информацией.
Характеристика Парабол из Общего Уравнения
Если у вас есть парабола, описанная общим уравнением, то у вас уже есть почти вся необходимая информация для завершения характеристики, только пересечения с осью x потребуют дополнительного анализа.
(x-x_0)^2 =4f(y-y_0)
Из этого уравнения вы уже имеете:
- Вершина: Точка с координатами (x_0,y_0)
- Положение фокуса: на f единиц выше вершины
- Фокус: Точка с координатами (x_0,y_0 + f)
- Директриса: Прямая с уравнением y= y_0 - f
- Ось симметрии: Прямая с уравнением x= x_0
Чтобы найти пересечения с осью x, вам нужно преобразовать общее уравнение в каноническую форму и приравнять полученный многочлен второй степени к нулю. Если есть решения, то это будут пересечения с осью x.
Характеристика Парабол из Канонического Уравнения
Когда уравнение парабол представлено в канонической форме, у вас есть два варианта: 1) Характеризовать, преобразовав в общее уравнение, или 2) Использовать симметрию и пересечения с осью x. Оба метода имеют свои преимущества. Второй обычно быстрее, но параболы не всегда пересекают ось X, первый более трудоемкий, но также, как мы увидим позже, его легко автоматизировать. Мы рассмотрим оба подхода, чтобы вы могли выбрать, какой из них вам больше подходит.
Преобразование в общее уравнение
Преобразование в общую форму выполняется через следующий рассуждение, где a,b,c\in\mathbb{R} и a\neq 0.
| (1) | y=ax^2 + bx + c | ; Каноническое уравнение парабол |
| y=a\left[x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a}\right] | ; Факторизация по a | |
| y=a\left[ \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \дfrac{b^2}{4a^2} + \dfrac{c}{a}\right] | ; Так как \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{b^2}{4a^2} | |
| y=a\left[ \left(x + \дfrac{b}{2a}\right)^2 + \дfrac{4ac - b^2}{4a^2} \right] | ||
| y=a \left(x + \дfrac{b}{2a}\right)^2 + \дfrac{4ac - b^2}{4a} | ||
| y=a \left(x + \дfrac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \дfrac{b^2}{4a}\right) | ||
| \left[x - \left(- \дfrac{b}{2a}\right)\right]^2 = \дfrac{1}{a} \left[y - \left(c - \дfrac{b^2}{4a}\right)\right] | ||
| \left[x - \left( -\дfrac{b}{2a}\right)\right]^2 = 4\left(\дfrac{1}{4a}\right) \left[y - \left(c - \дfrac{b^2}{4a}\right)\right] | ; Общее уравнение парабол |
Из этого уравнения мы можем извлечь всю информацию, которая была в общем уравнении, соотнося его параметры с параметрами канонического уравнения. Таким образом, мы имеем:
- Вершина: Точка с координатами (x_0,y_0) = \left(-\дfrac{b}{2a}, c -\дfrac{b^2}{4a} \right)
- Положение фокуса: на f = \дfrac{1}{4a} единиц выше вершины
- Фокус: Точка с координатами (x_0,y_0 + f) = \left(-\дfrac{b}{2a}, c -\дfrac{b^2}{4a} + \дfrac{1}{4a}\right) =\left(-\дfrac{b}{2a}, c +\дfrac{1-b^2}{4a}\right)
- Директриса: Прямая с уравнением y=y_0 - f= c -\дfrac{b^2}{4a} - \дfrac{1}{4a} = c -\дfrac{1 + b^2}{4a}
- Ось симметрии: Прямая с уравнением x= x_0 = -\дfrac{b}{2a}
И с этого момента характеристика парабол выполняется так же, как мы уже видели, используя общее уравнение.
Использование симметрии и пересечений с осью x
Когда у нас есть уравнение парабол в канонической форме y=ax^2 + bx+c, мы видим, что довольно просто вычислить их пересечения с осью x, достаточно решить уравнение
ax^2 + bx + c = 0
Если это возможно, мы получим пересечения x_1 и x_2, которые даны формулами
x_1 = \дfrac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
x_2 = \дfrac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
Так как параболы симметричны, ось симметрии будет иметь уравнение:
x = x_0 = \дfrac{x_1 + x_2}{2}= -\дfrac{b}{2a}
Ось симметрии обязательно проходит через вершину параболы, чьи координаты будут
(x_0, y_0) = (x_0, y(x_0)) = \left( -\дfrac{b}{2a}, y\left(-\дfrac{b}{2a}\right) \right)
Где
y_0 = y\left(-\дfrac{b}{2a} \right) = a\left(-\дfrac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\дfrac{b}{2a}\right) + c = \дfrac{b^2}{4a} - \дfrac{b^2}{2a} + c = c - \дfrac{b^2}{4a}
Таким образом, мы находим координаты вершины, которые уже знали другими методами
(x_0, y_0) = \left( -\дfrac{b}{2a},c - \дfrac{b^2}{4a} \right)
Положение фокуса, как мы уже видели, f=\дfrac{1}{4a}, и на основе этого мы можем вычислить положение директрисы, фокуса и всю информацию, которую уже получили из общего уравнения.
Автоматическая характеристика с помощью Excel
После всех этих рассуждений, теперь очень просто автоматизировать характеристику любой параболы через Excel. Пример можно найти здесь.