抛物线及其图形的表征
摘要:
在本课中，我们将从一般方程和标准形式出发，解释如何识别关键元素，如顶点、焦点、准线、对称轴以及可能的与X轴的交点。
学习目标:
本节课结束后，学生将能够：
- 计算顶点、焦点和准线的位置，从其一般形式和标准形式出发。
- 转换标准方程为一般形式以提取几何信息。
- 绘制使用获得的信息绘制抛物线的图形。
抛物线的一般形式和标准形式
在上一课中，我们看到抛物线可以通过抛物线的一般方程代数地表示。
(x-x_0)^2 =4f(y-y_0)
其中坐标对(x_0,y_0)是顶点的位置，f是焦距。如果f \gt 0，那么焦点在顶点之上f的距离；如果f\lt 0，则焦点在顶点之下f的距离。
我们还看到，抛物线的标准方程形式等效于二次多项式。
y(x) = ax^2 + bx + c, 其中 a\neq 0
表征抛物线就是揭示以下信息。
- 顶点的坐标
- 焦点的坐标
- 准线的方程
- 对称轴的方程
- 与x轴的交点（如果有）
- 最后，使用收集到的信息构建图形草图。
从一般方程表征抛物线
如果你通过 一般方程描述抛物线，那么你几乎已经掌握了完成表征所需的大部分信息，只有与x轴的交点需要进一步分析。
(x-x_0)^2 =4f(y-y_0)
由此你已经得出：
- 顶点：坐标点(x_0,y_0)
- 焦点位置：距顶点f个单位
- 焦点：坐标点(x_0,y_0 + f)
- 准线：方程为y= y_0 - f的直线
- 对称轴：方程为x= x_0的直线
要找到与x轴的交点，你需要将一般方程转换为标准形式，并将所得的二次多项式等于零。如果有解，这些解就是与x轴的交点。
从标准方程表征抛物线
当抛物线的方程以标准形式呈现时，你有两种选择：1) 将其转换为一般方程进行表征，或者 2) 使用对称性和与x轴的交点。两种方法各有优点。第二种通常较快，但抛物线并不总是与x轴相交，第一种虽然较为繁琐，但正如我们稍后将看到的，它也易于自动化。我们将探讨两种选择，以便你根据自己的偏好和需求选择合适的途径。
转换为一般方程
转换为一般形式是通过以下推理完成的，其中a,b,c\in\mathbb{R}并且a\neq 0.
| (1) | y=ax^2 + bx + c | ; 抛物线的标准方程 |
| y=a\left[x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a}\right] | ; 因式分解a | |
| y=a\left[ \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2}{4a^2} + \dfrac{c}{a}\right] | ; 因为\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{b^2}{4a^2} | |
| y=a\left[ \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 + \dfrac{4ac - b^2}{4a^2} \right] | ||
| y=a \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 + \dfrac{4ac - b^2}{4a} | ||
| y=a \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \dfrac{b^2}{4a}\right) | ||
| \left[x - \left(- \dfrac{b}{2a}\right)\right]^2 = \dfrac{1}{a} \left[y - \left(c - \dfrac{b^2}{4a}\right)\right] | ||
| \left[x - \left( -\dfrac{b}{2a}\right)\right]^2 = 4\left(\dfrac{1}{4a}\right) \left[y - \left(c - \dfrac{b^2}{4a}\right)\right] | ; 抛物线的一般方程 |
从中我们可以提取出与标准方程相对应的信息，得出以下结论：
- 顶点：坐标点(x_0,y_0) = \left(-\dfrac{b}{2a}, c -\dfrac{b^2}{4a} \right)
- 焦点位置：距顶点f = \dfrac{1}{4a}个单位
- 焦点：坐标点(x_0,y_0 + f) = \left(-\dfrac{b}{2a}, c -\dfrac{b^2}{4a} + \dfrac{1}{4a}\right) =\left(-\dfrac{b}{2a}, c +\dfrac{1-b^2}{4a}\right)
- 准线：方程为y=y_0 - f= c -\dfrac{b^2}{4a} - \dfrac{1}{4a} = c -\dfrac{1 + b^2}{4a}
- 对称轴：方程为x= x_0 = -\dfrac{b}{2a}
从这里，抛物线的表征就像我们已经看到的那样，可以通过一般方程完成。
使用对称性和与x轴的交点
当我们使用抛物线的标准方程y=ax^2 + bx+c时，我们可以很容易地计算出它与x轴的交点，只需解方程：
ax^2 + bx + c = 0
如果解存在，我们会得到交点x_1和x_2，分别为：
x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
由于抛物线是对称的，我们的对称轴方程为：
x = x_0 = \dfrac{x_1 + x_2}{2}= -\dfrac{b}{2a}
对称轴必须通过抛物线的顶点，其坐标为：
(x_0, y_0) = (x_0, y(x_0)) = \left( -\dfrac{b}{2a}, y\left(-\dfrac{b}{2a}\right) \right)
其中：
y_0 = y\left(-\dfrac{b}{2a} \right) = a\left(-\dfrac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\dfrac{b}{2a}\right) + c = \dfrac{b^2}{4a} - \dfrac{b^2}{2a} + c = c - \dfrac{b^2}{4a}
这就是我们通过其他方法得出的顶点坐标：
(x_0, y_0) = \left( -\dfrac{b}{2a},c - \dfrac{b^2}{4a} \right)
焦点的位置与我们之前看到的一样，为f=\dfrac{1}{4a},从而我们可以计算出准线、焦点以及从一般方程中得到的所有信息。
使用Excel进行自动表征
完成了所有推理之后，现在通过Excel自动化任何抛物线的表征变得非常简单。你可以在此处找到一个示例 这里。