Lo que veremos a continuación es una guía de ejercicios (resueltos) donde el objetivo es el de demostrar algunos teoremas útiles para la teoría de las probabilidades. Prueba intentar resolverlos y luego compara tus resultados >:D

1. Demuestre que P(A^c) = 1 -P(A) y, a partir de esto, haga una deducción que permita argumentar que P(\emptyset) = 0
   MOSTRAR SOLUCIÓN

   De la definición de medida de probabilidad se tiene que, si A y B son eventos medibles cualesquiera, entonces se cumplirá que

   [a]	0\leq P(A) \leq 1
   [b]	A\cap B = \emptyset \rightarrow P(A\cup B) = P(A) + P(B)
   	P(\Omega) = 1

   Ahora, como A\cap A^c = \emptyset, de la parte [b], se tendrá que:

   [d]	A\cap A^c = \emptyset \rightarrow P(A\cup A^c) = P(A) + P(A^c)

   Como A\cap A^c = \emptyset siempre es verdad y A\cup A^c = \Omega, entonces se tendrá que

   1=P(\Omega) = P(A\cup A^c) = P(A) + P(A^c)

   Y, por lo tanto

   P(A^c) = 1-P(A)

   Que es lo que se quería demostrar.

   Para demostrar que P(\emptyset)=0, basta con tomar A\Omega en la relación que se acaba de probar y se tendrá que

   P(\emptyset) = P(\Omega^c) =1 - P(\Omega) = 1-1 = 0

2. a) Demuestre que A\subseteq B \rightarrow P(B\setminus A) = P(B) - P(A),¿La igualdad es cierta en general?b) Demostrar que A\subseteq B \rightarrow P(B)\leq P(A)MOSTRAR SOLUCIÓN a)

   (1)	A\subseteq B; Premisa
   	\equiv A\cap B = A
   (2)	B\setminus A = B\cap A^c; Defincion de Teor. de Conjuntos
   (3)	B= (B\cap A) \cup (B\cap A^c); Propiedad de los conjuntos
   (4)	(B\cap A)\cap (B\cap A^c)=\emptyset; Propiedad de los conjuntos
   (5)	P(B)= P[(B\cap A) \cup (B\cap A^c)]; De (3)
   	P(B)= P (B\cap A) + P(B\cap A^c); De (4) + Def, Medida de Probabilidad
   	P(B)= P (B\cap A) + P(B\setminus A); De (2)
   	P(B\setminus A) =P(B) - P (B\cap A)
   	{P(B\setminus A) =P(B) - P (A) }; De (1)

   Por lo tanto {\{A\subseteq B\}\vdash P(B\setminus A) = P(B) - P(A)}.

   Notemos que esta igualdad no es cierta en general, ya que depende de que se cumpla A\subseteq B para ser obtenida. De estos desarrollos se puede ver que, si tal cosa no se cumple, entonces se tendrá que P(B\setminus A) = P(B) - P(A\cap B).

   MOSTRAR SOLUCIÓN b)

   A partir de lo razonado en a) se tiene que:

   \{A\subseteq B\}\vdash P(B\setminus A) = P(B) - P(A)

   \equiv \{A\subseteq B\}\vdash P(A) + P(B\setminus A) = P(B)

   Finalmente, como P es una medida de probabilidad, se tiene que \forall X (P(X)\geq 0), de modo que, por lo tanto:

   {\{A\subseteq B\}\vdash P(A) \leq P(B)}.

    

3. a) Demuestre que P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cup B). Acompañe la demostración con un diagrama.b) Usando el resultado anterior demuestre que P(A\cup B) \leq P(A) + P(B)MOSTRAR SOLUCIÓN PARTE a)

   (1)	A\cup B = (A\triangle B) \cup (A\cap B); Propiedad de los conjuntos
   (2)	A\triangle B := (A\setminus B) \cup (B\setminus A); Definición de diferencia simétrica
   (3)	(A\triangle B)\cap ( A \cap B) = \emptyset; propiedad de los conjuntos
   (4)	(A\setminus B)\cap (B\setminus A) = \emptyset; propiedad de los conjuntos
   (5)	P(A\cup B) = P[(A\triangle B) \cup (A\cap B)]; De (1)
   	P(A\cup B) = P(A\triangle B) + P(A\cap B)]; De (3)
   	P(A\cup B) = P(A\setminus B) + P(B\setminus A) + P(A\cap B)]; De (2,4)
   (6)	P(B\setminus A) = P(B) - P(A\cap B); Aplicando resultado del ejercicio 2
   (7)	P(A\setminus B) = P(A) - P(A\cap B); Lo mismo que (6)
   (8)	P(A\cup B) = P(A) - P(A\cap B) + P(B) - P(A\cap B) + P(A\cap B); de(5,6,7)
   	{P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)}.

   MOSTRAR SOLUCIÓN PARTE b)

   \vdash P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B); resultado de la parte a)

   \equiv\; \vdash P(A\cup B) + P(A\cap B) = P(A) + P(B)

   \equiv\; \vdash {P(A\cup B) \leq P(A) + P(B)}

    

4. Si \{E_n\} es una familia infinita de eventos tales que E_1\supseteq E_2 \supseteq E_2 \supseteq \cdots \supseteq E_n \supseteq E_{n+1}\supseteq \cdots. Demostrar que se cumple

   \displaystyle P\left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right) = \lim_{n\to \infty}P(E_n) MOSTRAR SOLUCIÓN

   (1)	E_n \supseteq E_{n+1}; Hipótesis
   (2)	E_n^c \subseteq E_{n+1}^c; Por complementación desde (1)
   (3)	\displaystyle(E_n^c \subseteq E_{n+1}^c) \rightarrow P\left( \bigcup_{n=1}^\infty E_n^c \right)= \lim_{n\to\infty}P(E_n^c); Propiedad de Continuidad
   (4)	\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty E_n^c = \left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right)^c; Leyes de DeMorgan
   (5)	P\left(E_n^c\right) = 1 - P(E_n); Demostrado en el ejercicio 1
   (6)	\displaystyle P\left(\left[ \bigcap_{n=1}^\infty E_n\right]^c \right) = \lim_{n\to\infty}[1-P(E_n)] = 1 - \lim_{n\to\infty}P(E_n); de (2,4,5) aplicado sobre (3)
   	\displaystyle 1 - P\left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right) = 1 - \lim_{n\to\infty}P(E_n)
   	{\displaystyle P\left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right) = \lim_{n\to\infty}P(E_n)}

   \displaystyle\therefore\{E_n \supseteq E_{n+1}\}\vdash P\left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right) = \lim_{n\to\infty}P(E_n).