النظريات المفيدة لحساب الاحتمالات

ملخص
في هذه الحصة، نقدم تمارين محلولة تُظهر بعض النظريات المفيدة لحساب الاحتمالات، بما في ذلك الإثباتات والاستدلالات. تتناول التمارين مواضيع مثل الاحتمالات التكميلية، إدراج المجموعات وتلاقي الأحداث. إكمال هذه التمارين سيوفر لك قاعدة صلبة للتعمق في دراسة نظرية الاحتمالات.

أهداف التعلم:
عند إكمال هذه الحصة سيكون الطالب قادراً على:

إثبات الخصائص الأساسية للاحتمالات

ما سنراه الآن هو دليل للتمارين (المحلولة) حيث الهدف هو إثبات بعض النظريات المفيدة لنظرية الاحتمالات. حاول حلها بنفسك ثم قارن نتائجك >:D

أثبت أن $P(A^c) = 1 -P(A)$ و، انطلاقاً من هذا، استدل على أن $P(\emptyset) = 0$
إظهار الحل
من تعريف قياس الاحتمال، إذا كان $A$ و $B$ حدثين قابلين للقياس، فإن:
[a]
$0\leq P(A) \leq 1$
[b]
$A\cap B = \emptyset \rightarrow P(A\cup B) = P(A) + P(B)$
$P(\Omega) = 1$
الآن، بما أن
$A\cap A^c = \emptyset,$
من الجزء [b]، سيكون:
[d]
$A\cap A^c = \emptyset \rightarrow P(A\cup A^c) = P(A) + P(A^c)$
بما أن
$A\cap A^c = \emptyset$
دائماً صحيح و
$A\cup A^c = \Omega$
، إذاً:
$1=P(\Omega) = P(A\cup A^c) = P(A) + P(A^c)$
ولذلك:
$P(A^c) = 1-P(A)$
وهذا هو المطلوب إثباته.
لإثبات أن
$P(\emptyset)=0$
، يكفي أن نأخذ
$A = \Omega$
في العلاقة التي أثبتناها للتو، فسيكون:
$P(\emptyset) = P(\Omega^c) =1 - P(\Omega) = 1-1 = 0$

a) أثبت أن $A\subseteq B \rightarrow P(B\setminus A) = P(B) - P(A)$ ، هل هذه المساواة صحيحة بشكل عام؟b) أثبت أن $A\subseteq B \rightarrow P(B)\leq P(A)$ إظهار الحل a)

(1)	$A\subseteq B$ ; فرضية
	$\equiv A\cap B = A$
(2)	$B\setminus A = B\cap A^c$ ; تعريف نظرية المجموعات
(3)	$B= (B\cap A) \cup (B\cap A^c)$ ; خاصية المجموعات
(4)	$(B\cap A)\cap (B\cap A^c)=\emptyset$ ; خاصية المجموعات
(5)	$P(B)= P[(B\cap A) \cup (B\cap A^c)]$ ; من (3)
	$P(B)= P (B\cap A) + P(B\cap A^c)$ ; من (4) + تعريف قياس الاحتمال
	$P(B)= P (B\cap A) + P(B\setminus A)$ ; من (2)
	$P(B\setminus A) =P(B) - P (B\cap A)$
	${P(B\setminus A) =P(B) - P (A) }$ ; من (1)

لذلك

{\{A\subseteq B\}\vdash P(B\setminus A) = P(B) - P(A)}.

لاحظ أن هذه المساواة ليست صحيحة بشكل عام، لأنها تعتمد على تحقيق

A\subseteq B

ليتم الحصول عليها. من هذه الاستنتاجات يمكن أن نرى أنه إذا لم يتحقق ذلك، فسيكون

P(B\setminus A) = P(B) - P(A\cap B).

إظهار الحل b)

استناداً إلى ما تم استنتاجه في a)، لدينا:

\{A\subseteq B\}\vdash P(B\setminus A) = P(B) - P(A)

\equiv \{A\subseteq B\}\vdash P(A) + P(B\setminus A) = P(B)

وأخيراً، بما أن

P

هو قياس الاحتمال، فلدينا

\forall X (P(X)\geq 0),

وبالتالي:

{\{A\subseteq B\}\vdash P(A) \leq P(B)}.

a) أثبت أن $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cup B).$ ارفق البرهان برسم بياني.b) باستخدام النتيجة السابقة أثبت أن $P(A\cup B) \leq P(A) + P(B)$ إظهار الحل a)

$(1)$	$A\cup B = (A\triangle B) \cup (A\cap B)$ ; خاصية المجموعات
$(2)$	$A\triangle B := (A\setminus B) \cup (B\setminus A)$ ; تعريف الفرق المتماثل
$(3)$	$(A\triangle B)\cap ( A \cap B) = \emptyset$ ; خاصية المجموعات
$(4)$	$(A\setminus B)\cap (B\setminus A) = \emptyset$ ; خاصية المجموعات
$(5)$	$P(A\cup B) = P[(A\triangle B) \cup (A\cap B)]$ ; من (1)
	$P(A\cup B) = P(A\triangle B) + P(A\cap B)]$ ; من (3)
	$P(A\cup B) = P(A\setminus B) + P(B\setminus A) + P(A\cap B)]$ ; من (2,4)
$(6)$	$P(B\setminus A) = P(B) - P(A\cap B)$ ; تطبيق نتيجة التمرين 2
$(7)$	$P(A\setminus B) = P(A) - P(A\cap B)$ ; نفس (6)
$(8)$	$P(A\cup B) = P(A) - P(A\cap B) + P(B) - P(A\cap B) + P(A\cap B)$ ; من (5,6,7)
	${P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)}.$

إظهار الحل b)

\vdash P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)

; نتيجة الجزء a)

\equiv\; \vdash P(A\cup B) + P(A\cap B) = P(A) + P(B)

\equiv\; \vdash {P(A\cup B) \leq P(A) + P(B)}

إذا كانت $\{E_n\}$ مجموعة لانهائية من الأحداث بحيث
$E_1\supseteq E_2 \supseteq E_3 \supseteq \cdots \supseteq E_n \supseteq E_{n+1}\supseteq \cdots.$

أثبت أن

\displaystyle P\left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right) = \lim_{n\to \infty}P(E_n)

إظهار الحل

$(1)$	$E_n \supseteq E_{n+1}$ ; فرضية
$(2)$	$E_n^c \subseteq E_{n+1}^c$ ; بالتكامل من (1)
$(3)$	$\displaystyle(E_n^c \subseteq E_{n+1}^c) \rightarrow P\left( \bigcup_{n=1}^\infty E_n^c \right)= \lim_{n\to\infty}P(E_n^c)$ ; خاصية الاستمرارية
$(4)$	$\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty E_n^c = \left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right)^c$ ; قوانين دي مورجان
$(5)$	$P\left(E_n^c\right) = 1 - P(E_n)$ ; أثبت في التمرين 1
$(6)$	$\displaystyle P\left(\left[ \bigcap_{n=1}^\infty E_n\right]^c \right) = \lim_{n\to\infty}[1-P(E_n)] = 1 - \lim_{n\to\infty}P(E_n)$ ; من (2,4,5) مطبقة على (3)
	$\displaystyle 1 - P\left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right) = 1 - \lim_{n\to\infty}P(E_n)$
	$P\left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right) = \lim_{n\to\infty}P(E_n)$

\displaystyle\therefore\{E_n \supseteq E_{n+1}\}\vdash P\left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right) = \lim_{n\to\infty}P(E_n).

بحل هذه التمارين، ستكمل ركناً أساسياً يساعدك على متابعة دراسة نظرية الاحتمالات.

[a]	$0\leq P(A) \leq 1$
[b]	$A\cap B = \emptyset \rightarrow P(A\cup B) = P(A) + P(B)$
	$P(\Omega) = 1$

النظريات المفيدة لحساب الاحتمالات

اترك تعليقاً