Factorización del Polinomio Cuadrático y 2n-Cuadrático
Resumen:
En esta clase revisaremos en detalle el proceso de factorización de polinomios cuadráticos P(x) = ax^2 + bx + c y polinomios (2n)-cuadráticos P(x) = ax^{2n} + bx^n + c, descomponiéndolos en factores simples. Se desarrollarán matemáticamente los procedimientos y se mostrarán ejemplos prácticos.
Objetivos de aprendizaje
- Aprender a factorizar polinomios cuadráticos de la forma P(x) = ax^2 + bx + c.
- Derivar y utilizar la fórmula cuadrática x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} para encontrar las raíces.
- Aplicar técnicas de factorización a polinomios (2n)-cuadráticos de la forma P(x) = ax^{2n} + bx^n + c.
- Reconocer las condiciones necesarias para la factorización de polinomios de tipo cuadráticos.
- Utilizar el método de completar el cuadrado en el proceso de factorización.
ÍNDICE DE CONTENIDOS:
Introducción
Polinomio Cuadrático y Polinomio (2n)-cuadrático
Factorización del polinomio cuadrático
Expansión a la factorización del polinomio bi-cuadrático
Ejercicios de ejemplo
Introducción
Aprender a factorizar el polinomio cuadrático es el paso inicial para comenzar a estudiar muchas otras técnicas de factorización. Es por esto por lo que revisaremos en profundidad esta técnica y expandiremos su uso tal lejos como se pueda. Al terminar habrás aprendido no solo a factorizar el polinomio cuadrático (de grado 2) sino que además utilizarás estas mismas técnicas para factorizar cualquier polinomio (2n)-cuadrático.
Polinomio Cuadrático y Polinomio (2n)-cuadrático
Un polinomio cuadrático es el polinomio de grado dos. A partir de esto tenemos que un polinomio cuadrático es cualquier función de la forma
P(x) = ax^{2}+bx +c
con a,b,c\in\mathbb{R} y a\neq 0. Nuestro estudio, sin embargo, no se centrará sólo en factorizar los polinomios de esta forma, sino que apuntaremos a una forma generalizada del cual el cuadrático es sólo un caso particular. Hablamos del polinomio (2n)-cuadrático. Esta generalización engloba a todos los polinomios que se pueden escribir de la forma
P(x) = ax^{2n}+bx^n +c
donde además de asumir a,b,c\in\mathbb{R} y a\neq 0, se toma un n\in\mathbb{N} cualquiera. Ejemplos de este tipo de polinomio serían:
- P(x) = 3x^2 -x + 1
- Q(x) = 7x^4 +5x^2 + 3
- R(x) = -4x^6 +12x^3 + 2
- S(x) = 21x^8 -75 x^4 -9
y así en general.
Factorización del polinomio cuadrático
Como ya hemos visto, un polinomio de grado 2 tiene la forma general
P(x) = ax^{2}+bx +c \;\; , \;\; a\neq 0
La factorización es el proceso que separa un polinomio complejo en el producto de dos polinomios más sencillos. Por esto, si es posible factorizar, entonces existen constantes \alpha,\beta,\gamma,\delta \in\mathbb{R}, con \alpha, \gamma \neq 0 tales que:
| P(x) = ax^2 + bx + c | = (\alpha x + \beta)(\gamma x + \delta) |
| = \alpha \gamma \left(x +\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}\right)\left(x + \frac{\delta}{\gamma}\right) |
Como tenemos una igualdad entre lo de la izquierda y lo de la derecha, entonces tendremos que cuando se anula un lado el otro por necesidad también se anulará. Resulta que el lado derecho se anula cuando x=-\beta/\alpha o cuando x=-\delta/\gamma. Veamos ahora para qué valores se anula el lado izquierdo de ésta igualdad. Tendremos que
| ax^2 + bx + c | = 0 |
| ax^2 + bx | = -c |
| x^2 + \displaystyle \frac{b}{a}x | = - \displaystyle \frac{c}{a} |
| x^2 + \displaystyle \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} | =\displaystyle \frac{b^2}{4a^2} -\frac{c}{a} = \frac{ab^2 - 4a^2 c}{4a^3} = \frac{b^2 - 4ac }{4a^2} |
| \left(x + \displaystyle \frac{b}{2a}\right)^2 | = \displaystyle \frac{b^2 - 4ac }{4a^2} |
| x + \displaystyle \frac{b}{2a} | = \pm \sqrt{\displaystyle \frac{b^2 - 4ac }{4a^2}} = \frac{\pm\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} |
| x | = \displaystyle \frac{-b \pm\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} ✅ |
A partir de este razonamiento, tendremos que las constantes en letras griegas de la factorización deberán satisfacer (sin pérdida de generalidad) las siguientes condiciones:
- \alpha\gamma = a
- \displaystyle \frac{\beta}{\alpha} = - \left(\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} \right)
- \displaystyle \frac{\delta}{\gamma} = - \left(\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} \right)
Y con esto ya tenemos una técnica que nos permitirá factorizar cualquier polinomio de grado 2, y si tal no se puede factorizar, entonces te avisará a través del número dentro de la raíz: si tal número es negativo, entonces no se podrá factorizar (con números reales). Todo esto lo podemos simplificar introduciendo el convenio de notación:
- x_1 =\displaystyle \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}
- x_2 =\displaystyle \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}
Que a su vez se resume en la vieja y confiable
\color{blue}{x_{1,2} = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}} ✅
De modo que la factorización finalmente nos quedará de la forma
\color{blue}{P(x) = ax^2 +bx + c = a(x-x_1)(x - x_2)}✅
Expansión a la factorización del polinomio bi-cuadrático
Esta técnica se puede utilizar también para factorizar el polinomio bi-cuadrático de la siguiente manera:
Q(x) = ax^4 + bx^2 + c = a(x^2)^2 + bx^2 + c =a (x^2 - x_1^2)(x^2-x_2^2)
Donde x^2_{1,2} = \displaystyle \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}. De este modo, ahora podrás escribir
Q(x) = ax^4 + bx^2 + c = a\left(x^2 - \displaystyle \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}\right) \left(x^2- \dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}\right)
En este punto debes tener cuidado, ya que lo que viene a continuación tiene sus restricciones. Si x_1^2 no un número positivo, entonces podrás usar suma por diferencia para separar (x^2 - x_1^2) = (x-x_1)(x + x_1); en caso contrario te encontrarás con números complejos y por lo tanto ya no podrás seguir factorizando en los reales. Si las raíces quedan todas bien definidas, entonces podrás escribir:
\begin{array}{rl} Q(x) &= ax^4 + bx^2 + c \\ \\ & = a \left(x -\displaystyle \sqrt{\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\right) \left(x + \displaystyle \sqrt{\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\right) \\ \\ & \left(x- \displaystyle \sqrt{\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\right) \left(x+ \sqrt{\displaystyle \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\right) \end{array}
En caso contrario, te detendrás en el paso anterior.
Generalización a la factorización del polinomio (2n)-cuadrático
Con esto ya se entiende hacia donde apunta el método, para factorizar el polinomio (2n)-cuadrático sólo hay que replantear la forma en que se escribe y utilizar los métodos anteriores ahí donde las raíces queden bien definidas. De este modo tendremos que:
R(x) = a(x^n)^{2}+b (x^n) +c = a(x^n-x_1^n)(x^n-x_2^n)
Donde x^n_{1,2} =\displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}. Luego con esto, separamos con suma por diferencia ahí donde no nos aparezcan números complejos.
Ejercicios de ejemplo:
Ahora es tu turno de probar estas técnicas con algunos ejercicios. Los polinomios que aparecen a continuación son elegidos completamente al azar, de modo que te vendrán bastante bien para reconocer las posibles dificultades que se pueden encontrar al factorizar estas cosas
Primer Round
Estos polinomios son los que puse de ejemplo al inicio de ésta entrada
- P(x) = 3x^2 -x + 1
- Q(x) = 7x^4 +5x^2 + 3
- R(x) = -4x^6 +12x^3 + 2
- S(x) = 21x^8 -75 x^4 -9
Segundo Round
Y estos son algunos otros un poco más dificiles.
- P(x) = 78x^2 -21x - 13
- Q(x) = 27x^4 +5x^2 - 14
- R(x) = 9x^6 +12x^3 - 16
- S(x) = -9x^8 -2 x^4 + 10
- T(x) = 5x^{12} -2 x^6 - 15