Los números reales, junto con otros conjuntos numéricos que exploraremos en esta clase, se introducen mediante la expansión de los números naturales. Se da la circunstancia de que, con dos números naturales cualesquiera, no siempre es posible efectuar operaciones de resta o división, y estas expansiones tienen como objetivo resolver este inconveniente.

Durante esta clase, revisaremos las operaciones y propiedades de los números naturales, y sobre esta base, avanzaremos hacia la construcción de todos los demás conjuntos numéricos, hasta alcanzar los números reales y más allá.

Propiedades de los Números Naturales

Al abordar las operaciones con números naturales, nos referimos principalmente a la suma y el producto, junto con sus respectivas operaciones inversas. A continuación, se resumen estas propiedades:

Dado que a,b,c\in\mathbb{N}, se verifica que:

Transición de los Números Naturales a los Enteros

El primer aspecto a notar es que en el caso de las sumas: (\forall a,b\in\mathbb{N})(a+b\in\mathbb{N}), mientras que para las restas: (\forall a,b\in\mathbb{N})(a+b\in\mathbb{N} \leftrightarrow a\gt b). Un inconveniente surge cuando la resta entre dos números naturales a y b no tiene sentido si a\leq b; para remediar esta situación, se expanden los números naturales al conjunto de los números enteros, donde las restas de esta naturaleza adquieren un valor bien definido. Denotamos este nuevo conjunto de los números enteros con la letra \mathbb{Z}, y se compone de todos los números naturales, sus inversos aditivos y el cero.

\mathbb{Z} = \{\cdots, -3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots \}

Los números enteros heredan todas las propiedades y operaciones de los números naturales, con una extensión sobre la segunda propiedad, y se introducen las nociones de inverso y neutro aditivo.

El elemento b=-a es lo que denominamos inverso aditivo de a.

El Salto a los Números Racionales

En este punto la única operación que nos queda sin definir correctamente es la división. Para resolver esto realizaremos una expansión sobre el conjunto de los números enteros al conjunto de los números racionales, que estará dado por el siguiente conjunto:

\mathbb{Q}=\left\{a= \displaystyle\frac{n}{m}\;|\;n,m\in\mathbb{Z}\wedge m\neq 0 \right\}

Con esto se adquiere una nueva propiedad

Con estos números, operaciones y propiedades se definen nuevas operaciones con sus propiedades. En estos se define la potencia n-esima de un racional q a través de

q^n = \underbrace{q\cdot q \cdot \cdots \cdot q}_{n\;veces}; con n\in\mathbb{N}

q^{-n}= \displaystyle \frac{1}{q^n}

Notemos que, a partir de esto, y siempre que q\neq 0, podemos decir que

q^0 = 1

Además, siempre que aparezcan divisiones por cero, dados dos racionales cualesquiera a,b , y dos enteros n,m se cumplirán las siguientes propiedades:

Números Reales e Irracionales

Así como la operación de la resta (inversa de la suma) y la división (inversa del producto) hicieron necesario expandir los naturales a los enteros y racionales, respectivamente, para formar operaciones bien definidas, de forma análoga ocurre con las potencias. La operación inversa de la n-esima potencia es la raíz n– esima.

Definición de Raíz

Sea n un entero mayor que 1 y p,q números racionales cualquiera, se define la raíz n-esima de q, que representamos a través de las siguientes reglas:

En resumen, la n-esima raíz de q es un número p tal que, al ser elevado a n, te entrega de regreso el número q. En estos casos, cuando n=2, en lugar de escribir \sqrt[2]{q}, por simplicidad escribimos \sqrt{q}.

La Aparición de los Números Irracionales

Llegados a este punto es cuando nos preguntamos ¿Estará bien definida la raíz n-esima para todos los elementos de \mathbb{Q}? La verdad, es que a pesar de no ser tan evidente (en comparación a lo visto con la resta y la división), existen racionales que no tienen raíz n-esima racional. Para ver esto basta con revisar el siguiente ejemplo:

\sqrt{2} no es un número racional.

DEMOSTRACIÓN

Probaremos esto por reducción al absurdo.

Supongamos que \sqrt{2} es un número racional, es decir, que existen p,q\in\mathbb{Z}, con q\neq 0, tales que \sqrt{2}=p/q, y que además se ha simplificado hasta quedar irreducible. Si lo hacemos entonces podemos decir que

2 = \left(\sqrt{2} \right)^2 =\displaystyle \frac{p^2}{q^2} = \left(\displaystyle \frac{p}{q}\right)^2

Pero esto entra en contradicción con el hecho de que p/q estaba escrito en forma irreducible (ahora resulta que se puede simplificar (p/q)^2 y su resultado es 2). Como el suponer que \sqrt{2} es racional produce una contradicción, entonces éste no puede se un número racional y decimos, en consecuencia, que es irracional.

La Expansión a los Números Reales

Estos resultados ponen en evidencia el hecho de que, para definir correctamente la n-esima raíz es necesario ampliar los racionales a un nuevo conjunto, este es el conjunto de los números reales, que denotamos por \mathbb{R} y que contiene tanto a los racionales como los irracionales

\mathbb{R}= \mathbb{Q}\cup \mathbb{Q}^*

Los Complejos: La Clausula Algebraica de los Números Reales

En este punto debemos notar dos cosas: (1) cuando n es par, n-esima raíz queda multivariada y, (2) si además intentamos calcular \sqrt[n]{q} con q\lt 0, veremos que tal número no puede ser un número real.

Lo primero se resuelve definiendo la raiz principal aplicando un ligero cambio sobre el punto (17) que habla sobre la definición de la raíz, quedando de la siguiente manera:

La segunda se logra ampliando el conjunto de los reales al conjunto de los números complejos \mathbb{C}, pero esta construcción quedará para más adelante.