संख्या समुच्चयों की पहली पहचान: प्राकृतिक से जटिल तक
सारांश:इस कक्षा में हम जांचेंगे कि कैसे प्राकृतिक संख्याएँ अन्य संख्या समुच्चयों के निर्माण के आधार के रूप में उपयोग की जा सकती हैं ताकि वे कुछ संचालनीय सीमाओं को पार कर सकें। हम पूर्ण संख्याओं से शुरू करेंगे, जो हमें व्यापक रूप से घटाव करने की अनुमति देते हैं। फिर, हम परिमेय संख्याओं की ओर बढ़ेंगे, जो हमें पूरी तरह से विभाजन का उपकरण प्रदान करते हैं। बाद में, हम न-वां मूलों के साथ काम करने के लिए वास्तविक संख्याओं में प्रवेश करेंगे, और हम चर्चा करेंगे कि कैसे जटिल संख्याएँ न-वां मूलों के विशिष्ट परिप्रेक्ष्यों को संभोधित करने के लिए परिचयित की जाती हैं। इन विकासों के माध्यम से, समझा जाएगा कि प्रत्येक नई संख्या समुच्चय पूर्ववर्ती के अंतर्निहित समस्याओं को हल करने के लिए कैसे उत्पन्न होता है।
अध्ययन के उद्देश्य:
इस कक्षा को समाप्त करने पर छात्र सक्षम होगा:
- पहचानना प्राकृतिक, पूर्ण और परिमेय संख्याओं की मौलिक गुणवत्ताएँ।
- व्याख्या करना वे गुणवत्ताएँ और संचालन जो एक संख्या समुच्चय को उसके अगले में परिवर्तित कर देते हैं।
- तुलना करना विभिन्न संख्या समुच्चयों की गुणवत्ताएँ और ये कैसे एक दूसरे से संबंधित हैं।
सामग्री सूची
परिचय
प्राकृतिक संख्याओं की गुणवत्ताएँ
प्राकृतिक संख्याओं से पूर्ण संख्याओं में पारावृत्ति
परिमेय संख्याओं में जंप
वास्तविक और अतर्कित संख्याएँ
जटिल: वास्तविक संख्याओं की बीजगणितीय उपज
परिचय
वास्तविक संख्याएँ, जिन्हें हम इस कक्षा में अन्वेषण करेंगे, प्राकृतिक संख्याओं के विस्तार के माध्यम से परिचयित की जाती हैं। ऐसा होता है कि, किसी भी दो प्राकृतिक संख्याओं के साथ, हमेशा घटाव या विभाजन की संचालन करना संभव नहीं है, और इन विस्तारों का उद्देश्य इस समस्या का समाधान करना है।
इस कक्षा के दौरान, हम प्राकृतिक संख्याओं के संचालन और गुणवत्ता की समीक्षा करेंगे, और इस आधार पर, हम सभी अन्य संख्या समूहों की निर्माण की ओर बढ़ेंगे, जब तक वास्तविक संख्याओं तक पहुंच नहीं जाते और उससे भी आगे।
प्राकृतिक संख्याओं की गुणवत्ता
प्राकृतिक संख्याओं के संचालन को समझाने के लिए, हम मुख्य रूप से जोड़ और उत्पाद की ओर संदर्भित करते हैं, साथ ही उनके प्रतिस्थापित संचालन। निम्नलिखित में इन गुणवत्ताओं का संक्षेप किया गया है:
चूंकि a,b,c\in\mathbb{N}, यह सत्य है कि:
| 1. | a + b = b + a |
| 2. | a \pm (b \pm c) = (a\pm b)\pm c (निष्कर्षण के मामले में, यह सदैव सत्य है जब यह सही रूप से परिभाषित हो) |
| 3. | a\cdot b = b \cdot a |
| 4. | a\cdot(b\cdot c)= (a\cdot b)\cdot c |
| 5.\;\;\;\;\; | a\cdot b = a \leftrightarrow b=1 |
| 6. | \displaystyle \frac{a}{b}\in\mathbb{N} \leftrightarrow (\exists k\in\mathbb{N})(a=b\cdot k) |
| 7. | a\cdot(b+c)=a\cdot b + a \cdot c |
प्राकृतिक संख्याओं से पूर्ण संख्याओं में पारावृत्ति
पहली बात जिसे ध्यान में रखना है, यह है कि जोड़ के मामले में: (\forall a,b\in\mathbb{N})(a+b\in\mathbb{N}), जबकि घटाने के लिए: (\forall a,b\in\mathbb{N})(a+b\in\mathbb{N} \leftrightarrow a\gt b). एक समस्या तब उत्पन्न होती है जब दो प्राकृतिक संख्याओं a और b के बीच की घटाना मायने नहीं रखती अगर a\leq b; इस स्थिति को सुधारने के लिए, प्राकृतिक संख्याओं को पूर्ण संख्याओं के समूह में विस्तारित किया जाता है, जहां इस प्रकार की घटाना को अच्छी तरह से परिभाषित मान प्राप्त होता है। हम इस नई समूह को पूर्ण संख्याएँ के रूप में चिह्नित करते हैं \mathbb{Z}, और यह सभी प्राकृतिक संख्याओं, उनके योगिक विपरीत और शून्य से मिलकर बनता है।
\mathbb{Z} = \{\cdots, -3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots \}
पूर्ण संख्याएँ प्राकृतिक संख्याओं के सभी गुणों और संचारों को अधिग्रहण करते हैं, दूसरे गुण पर एक विस्तार के साथ, और योगिक विपरीत और योगिक तटस्थ की अवधारणाएँ प्रस्तुत की जाती हैं।
| 2*. | a \pm (b \pm c) = (a\pm b) \pm c |
| 8. | (\forall a\in\mathbb{Z})(\exists ! b\in\mathbb{Z})(a+b=0 \leftrightarrow b=-a) |
| 9. | (\forall a\in\mathbb{Z})(\exists ! b\in\mathbb{Z})(a+b=a \leftrightarrow b=0) |
तत्व b=-a वह है जिसे हम a का योगिक विपरीत कहते हैं।
राशनल संख्याओं में उछाल
इस बिंदु पर एकमात्र ऑपरेशन जो हमारे पास सही तरीके से परिभाषित नहीं है, वह विभाजन है। इसे हल करने के लिए हम पूर्ण संख्याओं के समूह में विस्तार करेंगे जो निम्नलिखित समूह द्वारा दिया जाएगा:
\mathbb{Q}=\left\{a= \displaystyle\frac{n}{m}\;|\;n,m\in\mathbb{Z}\wedge m\neq 0 \right\}
इससे एक नई प्रॉपर्टी प्राप्त होती है
| 10. | (\forall a \in \mathbb{Q}\setminus\{0\})(\exists ! b \in \mathbb{Q}) \left[(a\cdot b = 1) \leftrightarrow \left( b = \displaystyle \frac{1}{a} = a^{-1} \right)\right] |
| हर अ-शून्य राशनल में एक गुणज उल्टा होता है। a का गुणज उल्टा a^{-1} है | |
इन संख्याओं, ऑपरेशन्स और प्रॉपर्टीज के साथ नए ऑपरेशन्स और उनकी प्रॉपर्टीज को परिभाषित किया जाता है। इसमें एक राशनल q की न-वीं शक्ति को परिभाषित किया जाता है द्वारा
q^n = \underbrace{q\cdot q \cdot \cdots \cdot q}_{n\;बार}; साथ n\in\mathbb{N}
q^{-n}= \displaystyle \frac{1}{q^n}
ध्यान दें कि, इससे, और जब तक q\neq 0 है, हम कह सकते हैं कि
q^0 = 1
इसके अलावा, जब भी शून्य से विभाजन होते हैं, दो राशनल्स a,b और दो पूर्णांक n,m के लिए निम्नलिखित प्रॉपर्टीज मान्य होती हैं:
| 11. | a^n \cdot a^m = a^{n+m} |
| 12. | (a^n)^m = a^{n\cdot m} |
| 13. | (a\cdot b)^n = a^{n} \cdot a^{m} |
| 14. | \left(\displaystyle \frac{a}{a}\right)^n = \frac{a^n}{a^n} |
| 15. | \displaystyle \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} = \frac{1}{a^{m-n}} |
वास्तविक और अतर्कसंख्या
जैसे ही घटाने की प्रक्रिया (जोड़ की उल्ट) और विभाजन (उत्पाद की उल्ट) की जरूरत थी ताकि प्राकृतिक संख्या को पूर्णांक और तर्कसंख्याओं में विस्तार किया जा सके, ठीक उसी तरह से घातों के साथ भी होता है। घात n की उल्ट प्रक्रिया है जड़ n-esima।
जड़ की परिभाषा
मान लिजिए n 1 से अधिक एक पूर्णांक है और p,q किसी भी तर्कसंख्या होती है, हम q की n-esima जड़ को निम्नलिखित नियमों के माध्यम से परिभाषित करते हैं:
| 16. | q=0 \rightarrow \sqrt[n]{q} = 0 |
| 17. | q \gt 0 \rightarrow \left[ \sqrt[n]{q} = p \leftrightarrow p^n = q \right] |
| 18. | \left[ q \lt 0 \wedge n {\;है\;विषम} \right]\rightarrow \left[ \sqrt[n]{q} = p \leftrightarrow p^n = q \right] |
संक्षेप में, q की n-esima जड़ एक संख्या p होती है जो, n पर उठाया जाते हुए, आपको संख्या q वापस देती है। इस प्रकार, जब n=2 होता है, हम \sqrt[2]{q} लिखने के बजाय सरलता के लिए \sqrt{q}. लिखते हैं।
अतर्कसंख्या की उत्पत्ति
इस बिंदु पर पहुंचकर हम सोचते हैं कि क्या \mathbb{Q} के सभी तत्वों के लिए n-जड़ सही तरीके से परिभाषित है? सच यह है कि, यद्यपि यह इतना स्पष्ट नहीं है (तुलना में घटाना और विभाजन के साथ), कुछ तर्कसंख्या हैं जिनका तर्कसंख्या न-जड़ नहीं है। इसे देखने के लिए निम्नलिखित उदाहरण की समीक्षा करना काफी है:
\sqrt{2} एक तर्कसंख्या नहीं है।
प्रमाण
हम इसे अदर्श घटाने द्वारा प्रमाणित करेंगे।
मान लिजिए कि \sqrt{2} एक तर्कसंख्या है, अर्थात, p,q\in\mathbb{Z} मौजूद हैं, जहां q\neq 0, ऐसे कि \sqrt{2}=p/q, और यह भी सरल बनाया गया है। अगर हम ऐसा करते हैं तो हम कह सकते हैं कि
2 = \left(\sqrt{2} \right)^2 =\displaystyle \frac{p^2}{q^2} = \left(\displaystyle \frac{p}{q}\right)^2
लेकिन इसमें विसंगति है कि p/q सरल रूप में लिखा गया था (अब यह निकलता है कि (p/q)^2 को सरलीकृत किया जा सकता है और इसका परिणाम 2 है)। चूंकि \sqrt{2} एक तर्कसंख्या होने का मानना एक विसंगति पैदा करता है, इसलिए यह एक तर्कसंख्या नहीं हो सकता है और हम इसे अतर्कसंख्या कहते हैं।
तर्कसंख्या में विस्तार
इन परिणामों को स्पष्ट रूप से दिखाया गया है कि, न-जड़ को सही तरीके से परिभाषित करने के लिए यह जरूरी है कि तर्कसंख्या को एक नई समुदाय में बदल दिया जाए, यह वास्तविक संख्याओं का समुदाय है, जिसे हम \mathbb{R} के रूप में चिह्नित करते हैं और जिसमें तर्कसंख्या और अतर्कसंख्या दोनों शामिल हैं।
\mathbb{R}= \mathbb{Q}\cup \mathbb{Q}^*
संख्यात्मक संख्याएँ: वास्तविक संख्याओं की बीजगणितीय शर्त
इस बिंदु पर हमें दो बातें ध्यान में रखनी चाहिए: (1) जब n सम होता है, n-जड़ बहुमुखी बन जाता है और, (2) यदि हम \sqrt[n]{q} की गणना करने का प्रयास करते हैं जहाँ q\lt 0, तो हम देखेंगे कि ऐसा संख्या वास्तविक संख्या नहीं हो सकता।
पहली बात का हल है मुख्य जड़ को परिभाषित करना, जो 17 अंक पर जड़ की परिभाषा के बारे में बता रहा है, निम्नलिखित तरीके से होता है:
| 17*. | q\gt 0 \rightarrow \left[ 0\lt p=\sqrt[n]{q} \leftrightarrow p^n=q \right] |
दूसरा वास्तविक संख्या के समुदाय को संख्यात्मक संख्या के समुदाय \mathbb{C} में विस्तारित करके प्राप्त किया जाता है, लेकिन इस निर्माण को बाद में छोड़ दिया जाएगा।